LCRRLC 串联谐振电路一、知识要求：理解 RLC 串联电路谐振的含义；理解谐振的条件、谐振角频率、频率；理解谐振电路的特点，会画矢量图。

二、知识提要：在 RLC 串联电路中，当总电压与总电流同相位时，电路呈阻性的状态称为串联谐振。

（1）、串联谐振的条件：U L = U C 即X L = X C（2）、谐振角频率与频率：由L = 1C 得： = 1（3）、谐振时的相量图：谐振频率f 0 =•Uc（4）、串联谐振电路的特点： ①.电路阻抗最小：Z=R②、电路中电流电大：I 0=U/R③、总电压与总电流同相位，电路呈阻性④、电阻两端电压等于总电压，电感与电容两端电压相等，相位相反，且为总电压的 Q 倍，。

U X L 即 ：U =U =I X =I X = X =U =QULC 0 L 0 CLR式中：Q 叫做电路的品质因数，其值为：Q = X LR = X C R = 2f 0 L = R 1 2f 0CR＞＞1(由于一般串联谐振电路中的 R 很小，所以 Q 值总大于 1，其数值约为几十，有的可达几百。

所以串联谐振时，电感和电容元件两端可能会产生比总电压高出 Q 倍的高电压，又因为 U L =U C ，所以串联谐振又叫电压谐振。

) （5）、串联谐振电路的应用：适用于信号源内阻较低的交流电路。

常被用来做选频电路。

三、例题解析：1、在 RLC 串联回路中，电源电压为 5mV ，试求回路谐振时的频率、谐振时元件 L 和 C 上的电压以及回路的品质因数。

解：RLC 串联回路的谐振频率为2LCU L•U R = U•1f 0 =谐振回路的品质因数为Q = 2f 0L R 谐振时元件 L 和 C 上的电压为U L = U C= 5Q mV = 5 R LmV C2、 在 RLC 串联电路中，已知 L ＝100mH ，R ＝3.4Ω，电路在输入信号频率为 400Hz 时发生谐振，求电容 C 的电容量和回路的品质因数。

解：电容 C 的电容量为C = 1(2 f 0) 2 L = 1 631014.4 ≈ 1.58 F回路的品质因数为Q = 2 f 0 L = 6.28 ⨯ 400 ⨯ 0.1 ≈ 74R 3.43、已知某收音机输入回路的电感 L=260μH,当电容调到 100PF 时发生串联谐振，求电路的谐振频率，若要收听频率为 640KHz 的电台广播，电容 C 应为多大。

（设 L 不变） 1 1解： f 0 == ≈KHZ 2 LC 2 X 3.14 X 260 X 10-6 X 10 X 10-12C = 1 (2 f )2 L = 1(2 X 3.14 X 640 X 103 )2 X 260 X 10-6≈238PF四、练习题： （一）、填空题1、串联正弦交流电路发生谐振的条件是， 谐振时的谐振频率品质因数Q= ，串联谐振又称为 。

2、在发生串联谐振时，电路中的感抗与容抗 ；此时电路中的阻抗最 ，电流最 ，总阻抗 Z= 。

3、在一 RLC 串联正弦交流电路中，用电压表测得电阻、电感、电容上电压均为 10V ，用电流表测得电流为 10A ，此电路中 R= ，P= ，Q= ，S= 。

4、在含有 L 、C 的电路中，出现总电压、电流同相位，这种现象称为 。

这种现象若发生在串联电路中，则电路中阻抗 ，电压一定时电流 ，且在电感和电容两端将出现。

5、谐振发生时，电路中的角频率0=， f 0 =。

（二）、判断题2LC1HL L CuS C2R L C1~ u1、串联谐振电路不仅广泛应用于电子技术中，也广泛应用于电力系统中。

（）2、串联谐振在L 和C 两端将出现过电压现象，因此也把串谐称为电压谐振。

（）（三）、选择题1、RLC 并联电路在f0时发生谐振，当频率增加到2f0时，电路性质呈（）A、电阻性B、电感性C、电容性2、处于谐振状态的RLC 串联电路，当电源频率升高时，电路将呈现出（）A、电阻性B、电感性C、电容性3、下列说法中，（）是正确的。

A、串谐时阻抗最小B、并谐时阻抗最小C、电路谐振时阻抗最小4、发生串联谐振的电路条件是（）A、0LRB 、f0 = C、0 =5、在RLC 串联正弦交流电路，已知XL=XC=20 欧，R=20 欧，总电压有效值为220V，电感上的电压为（）V。

A、0B、220C、73.36、正弦交流电路如图所示，已知电源电压为220V，频率f=50HZ 时，电路发生谐振。

现将电源的频率增加，电压有效值不变，这时灯泡的亮度（）。

A、比原来亮B、比原来暗C、和原来一样亮7、正弦交流电路如图所示，已知开关S 打开时，电路发生谐振。

当把开关合上时，电路呈现（）。

A、阻性B、感性C、容性（三）、计算题1、在RLC 串联电路中,已知L=100mH,R=3.4Ω,电路在输入信号频率为400Hz 时发生谐振,求电容C 的电容量和回路的品质因数.2、一个串联谐振电路的特性阻抗为100Ω,品质因数为100,谐振时的角频率为1000rad/s,试求R,L 和C 的值.3、一个线圈与电容串联后加1V 的正弦交流电压,当电容为100pF 时,电容两端的电压为100V 且最大,此时信号源的频率为100kHz,求线圈的品质因数和电感量.LC LC1 1LC＋ 1 0 4、已知一串联谐振电路的参数 R = 10Ω ， L = 0.13mH ， C = 558pF ，外加电压U = 5mV 。

试求电路在谐振时的电流、品质因数及电感和电容上的电压。

5、已知串谐电路的线圈参数为“ R = 1Ω，L = 2mH ”，接在角频率= 2500rad/s 的 10V 电压源上，求电容 C 为何值时电路发生谐振？求谐振电流 I 0、电容两端电压 U C 、线圈两端电压 U RL 及品质因数 Q 。

6、如右图所示电路，其中u = 100 cos 314t V ，调节电容 iR L C 使电流i 与电压u 同相，此时测得电感两端电压为200V ，电 C流I ＝2A 。

求电路中参数R 、L 、C ，当频率下调为 f 0/2 时，电路呈 u 何种性质？ －答案：一、填空1、U L = U C 即X L = X C ，X L /R ，电压谐振2、相等，最小，最大，R 。

3、1 欧，100W ，Q=0var ，S=100VA4、串联谐振，最小，最大，过电压；=1 5、f 0 =二、判断 1、对，2 错三、选择题：1、B2、B3、A4、C5、B6、B7、B 四、计算题：1、解： C = 12f 0 X C = 2 f X = 1 (2f 0 )2 L = 1 (2 X 3.14 X 400)2 X 100 X 10-3≈ 1.58 FQ =X L=2f 0 L = 2 X 3.14 X 400 X 0.1 ≈ 74RR 3.42、R=100 欧，L=10H ，C=0.1μF3、C 两端产生过电压，说明发生了串联谐振，U L = U C 即X L = X C2 2LC1 LI = Uc X c = 2f 0CU c≈ 6.28mAR = UI ≈ 160ΩQ = XC R L = X L 2f 0≈ 100≈ 250mH解：4、f 0 =≈ 600KHZQ = 2f 0 L=49 I=U/R=0.5mAUc=QU=245mVRC =1(2f 0)2L= 1 2 L= 80 FI = UR = 10 A 5、Q = X L/ R =L / R = 5U C = U L = QU = 50V U RL == 51V6、R=50 欧，L=0.42H ，C=0.0076F1 2LCU R + U L22U SRLC 串联电路谐振特性的研究目的1. 研究 LRC 串联电路的幅频特性;2. 通过实验认识 LRC 串联电路的谐振特性.仪器及用具音频信号发生器、交流毫伏表、电阻箱、电容箱、电感箱及开关等. 实验原理LRC 串联电路如图 3.12-1 所示.若交流电源 U S 的电压为 U ,角频 RCL率为ω,各元件的阻抗分别为Z R = RZ L = j L Z C =1 j C则串联电路的总阻抗为Z = R + j (L - 1)C串联电路的电流为图 3.12-1(3.12 - 1)•I = U •=U= Ie j(3.12 - 2)ZR + j (L - 1)CU ZR 2 + (L -C1 )2R 2 + (L - C 1 )2R 2+(L -C1 )21C R 2 + (L -C1 )2 1 1 - 1 2Q 21 - 1 2Q 21 式中电流有效值为I = =U(3.12 - 3)电流与电压间的位相差为L - 1= arctanC R它们都是频率的函数,随频率的变化关系如图 3.12-2 所示.(3.12 - 4)Iπ / 2I m(a)- π /2图 3.12-2电路中各元件电压有效值分别为U R = RI =U L = LI =RLU(3.12 - 5)(3.12 - 6)U C =CI = U (3.12 - 7)比较(3.12-3)和(3.12-5)式可知,U R 随频率变化曲线的形状与图 3.12-2(a )的 I ~ω曲线相似, 而 U L 和 U C 随频率变化关系如图 3.12-3 所示.(3.12-5),(3.12-6)和(3.12-7)式反映元件 R 、L 和 C 的幅频特性,当1= LC(3.12 - 8)时,=0,即电流与电压同位相,这种情况称为串联谐振,此时的角频率称为谐振角频率,并以 0表示,则有 0 =(3.12 - 9)从图 3.12-2 和图 3.12-3 可见,当发生谐振时,U R 和 I 有极大值,而 U L 和 U C 的极大值都不出现在谐振点,它们极大值 U LM 和 U CM 对应的角频率分别为L ==(3.12 - 10)C = = ⋅0(3.12 - 11)LC22LC - R 2C 22 LC 2L 2 1 - R12R 2 + ( X - X L C )2 1 - 14Q 20 L UCQ =L= R1 = 0CRR (3.12 -12)式中 Q 为谐振回路的品质因数,为电路特性阻抗,是一个仅与电路参数有关而与频率无关1的量.如果满足Q >,可得相应的极大值分别为2Q 2U QL U LM = =(3.12 -13)U CM =4Q 2 -1 QU 1- 1 4Q 2(3.12 - 14)图3.12-3图 3.12-4 串联谐振向量图综上所述,有以下结论1. 谐振时=0,电流与电源电压同位相,此时电路阻抗Z = = R其中 LC 串联部分相当于短路.故谐振时电路呈电阻性,阻抗最小.因此,电源电压一定时,谐振电流最大I = I 0 = R(3.12 - 15)2. 谐振时电感上电压（感抗电压） U 0=0 LI 0 与电容上的电压（容抗电压）U = I0 ,大小相等,方向相反(如图 3.12-4 所示),二者互相抵消,这时电源上的全部电压 C 0C 都降落在电阻上,即U = U R = I 0 R而感抗电压及容抗电压均为电源电压的 Q 倍,即均略小于 U LM 和 U CM .U = U 0 O= QU(3.12 - 16)3. 电流随频率变化的曲线即电流频率响应曲线（如图 3.12-5 所示）也称谐振曲线.为了分析电路的频率特性.将(3.12-3)式作如下变换U电容性 V C电感性V LU LU RIU CL1 2 R 2 + (L -C1 )2 R 2 + 0L (-C)20 R 2 + 2 (- 0 )2R 1 + Q 2 (- 0 )2I 01 + Q2 (- 0 )211 + Q2 (- 0 )2I () =U=U=U=U=从而得到I =I 0此式表明,电流比 I /I 0 由频率比/0 及品质因数 Q 决定.谐振时/0,I /I 0=1,而在失谐时/0 ≠1, I /I 0<1.由图 3.12-5(b )可见,在 L 、C 一定的情况下,R 越小,串联电路的 Q 值越大,谐振曲线就越尖锐.Q 值较高时, 稍偏离0.电抗就有很大增加,阻抗也随之很快增加,因而使电流从谐振时的最大值急剧地下降,所以 Q 值越高,曲线越尖锐,称电路的选择性越好.II 0带宽I 0210 2IQ 1Q 〈1 Q 〈2 Q 5 Q 5 Q 2(a)（b ）为了定量地衡量电路的选择性,通常取图曲3线.12上-5 两半功率点(即在 I= I 0处)间的频率 宽度为“通频带宽度”,简称带宽如图 3.12-5 所示,用来表明电路的频率选择性的优劣.由(3.12-17)式可知,当I = 时, - 0 = ± 1,若令 I 0 1 -0 0 1Q = - 1 Q(3.12 -18) 2- 0 =1 (3.12 -19)0 2Q 121 + ( 1)22Q1 + ( 1 )2 2Q解(3.12-18)和(3.12-19)式,得= -(3.12 - 20) 12Q= + 0(3.12 - 21)所以带宽为2 02Q ∆= - =(3.12 - 22)21Q可见,Q 值越大,带宽∆越小,谐振曲线越尖锐,电路的频率选择性就好.实验内容1. 计算电路参数(1)根据自己选定的电感 L 值,用(3.12-9)式计算谐振频率 f 0=2kHz 时,RLC 串联电路的电容 C 的值,然后根据(3.12-12)式计算品质因数 Q =2 和 Q =5 时电阻 R 的值.(2)根据(3.12-10)、(3.12-11)及(3.12-20)、(3.12-21)式,分别计算 Q =2 和 Q =5 时,在上 述 R 、L 、C 取值情况下的特定频率 f L 、f C 、f 1 和 f 2 的值.2. 测定串联谐振曲线实验电路如图 3.12-6 所示, r 为电感线圈的直流电阻,C 为电容箱,R 为电阻箱,U S 为音频信号发生器.分别取 Q =5 和 Q =2,根据表1 测量各种频率下(保持信 U S号源输出电压恒定)U R 值的大小.3. 在同一坐标纸上画出两条谐振曲线.图 3.12-64. 根据 Q =2 的曲线找出测量的 f 0 和 Q 值与理论值比较计算误差,分析产生误差的原因.注意的问题1. 由于信号发生器的输出电压随频率而变化，所以在测量时每改变一次频率，均要调节输出电压,本实验要求在整个测量过程中输出电压保持 1.0 伏.2. 测量时,在谐振点附近频率要密一些,以保证曲线的光滑.思考题1. RLC 串联电路的 Q 值与哪些量有关？2. 在 RLC 串联电路中,当电源频率 f <f 0 及 f >f 0 时电路呈什么特性？为什么？表 1Q =5f (kHz ) 0.1 0.5 0.8 1.2 1.5 1.8 1.95 2.0V R (V)I (mA )f (kHz ) 2.052.12.32.5ⁿ.0ⁿ.54.05.0V R (V) I (mA )Q=2f (kHz ) 0.10.50.81.21.51.81.952.0V R (V)I (mA )f (kHz ) 2.052.12.32.5ⁿ3.03.54.05.0V R (V)C L rK R mV。