零点定理 yf(x(1) )
f
C[
a
f
,
(bb])；(2)f (a) f (b)0 ，
则至少 (a, b) ，使 f ( ) 0 ．
o a c b x f (a)
o ac1 c2 c 3 b x
例 9 证明方程 x a sin x b （ a 0, b 0 ） 至少有一个实根．
例 10 证：实系数三次方程 x3 px2 qx r 0 必有实根．
若函数 f ( x) 在区间 I 上的每一点处都可导，则得到
一个新函数 f ( x) ， 称之为 f ( x) 在 I 上的导函数，
简称为导数．记为 f ( x) 或 y 或 dy ． dx
注意 导 函 数 f ( x ) 与 导 数 f ( x ) 的 区 别 和 联 系
例 2 求 y cos x 在 x0 (, ) 处的导数．
零点T定 hm理7（(介1)值f定理C）[a, b] ； 设(f2) Cf[(aa, b)]，f (mb)0m[a， ,ibn] f ( x),
则M至少max f ((xa),．b则) ，对使f()[m ,0 M．] ，至少存在 [a, b]
一点 [a, b] ，使 f ( ) ．
y
y
yf(x)
f(
讨论 x0 )
f (x) lim
x 0
f
(s0xi,0nx,xxxx)00, f在( xx0
0处的可导性．
)
f (x) f (
lim
x x0
x x0
x0
)
f
( x0 )
lim
x 0
f
( x0 x) x
f
( x0 ) lim x x0
f
(x) f (x0 ) x x0
4．导函数 f ( x)
增量 x x x0 （ x0 x ( x0 )），函数 f ( x) 相应的增量
y f ( x0 x) f ( x0 ) ．
若 x
0 （或
x
x0 ）时，
y x
的极限存在，
即极限值为常数 A ，则称该极限值 A 为 y f ( x) 在 x0 处
的导数（或变化率），记为
f
(
x0
)
lim
x 0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) lim x x0
f
( x) f ( x0 ) , x x0
f
( x0 )
lim
x 0
f
( x0 x) x
f
( x0 )
lim
x x0
f
( x) f ( x0 ) , x x0
或
y x x0
或
dy
．
dx x x0
1)
若 lim x 0
f ( x0 ) lim x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
结论： f( x 0 ) A f ( x 0 ) f ( x 0 ) A
例f(3x0
)
lim
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) lim
x, x x 0,
x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
求导归为三步：算增量，求比值，取极限．
例 2 求 y cos x 在 x0 (, ) 处的导数．
cos x sin x ．
熟记 P.76 页的求导公式表．
物理意义
v(t0
)
lim
t 0
S(t0
t ) t
S(t0
)
速度是路程对时间的变化率
I
(t0
)
lim
t 0
Q(t0
t ) t
Q(t0
)
电流是电量对时间的变化率
(
x0
)
lim
x 0
m
(
x0
x) x
m
(
x0
)
线密度是质量对长度的变化率
3．左导数与右导数（单侧导数）
Def. 2
左导数
f( x0 )
lim _
x 0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) lim x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
右导数
f(
x0
)
lim
x 0
f ( x0 x) x
( x0 )
lim m lim m ( x0 x) m ( x0 ) ．
x x 0
x 0
x
导数
函数增量 自变量增量 之极限
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 )
x x 0
x 0
x
2．导数的定义 Def. 1 设 f ( x) 在 ( x0 ) 内有定义，给自变量 x0 以
y x
（为有限数），称
f ( x) 在 x0 可导；
2) 若 lim y 不 （包括 lim y , , ），
x 0 x
x0 x
称 f ( x) 在 x0 不可导．
例 1 求幂函数 y x ( R) 在 x0 (0, ) 处的导数．
x x 1 ， R, x 0 ．
零点定理 (1) f C[a, b] ；(2) f (a) f (b)0 ，
则至少 (a, b) ，使 f ( ) 0 ．
6. 一致连续性 （不要求）
例 11 设 f C[a, b] ， a x1 x2 xk b ，又
k
ti (i 1, 2, , k) 均 0 ，且 ti 1 ． i 1
k
则存在 c[a, b]，使 f (c) ti f ( xi )． i1
f ( )
特别地，取 ti
1 k
,
1
i
k
，则
f
(c)
1 k
k i1
f
(xi ) ．
该结论称为连续函数的平均值性质．
Ch3 一元函数微分学及其应用
§1 导数
一、导数的概念
1. 实例
微积分思想：局部范围内 以不变代替变化，再通过 取极限达到两者的统一．
I(t0 )
Q t
Q(t0
t) t
Q(t0 )
,
I(t0 )
lim Q lim Q(t0 t ) Q(t0 ) ．
t t 0
t 0
t
微积分思想：局部范围内 以不变代替变化，再通过 取极限达到两者的统一．
3) 非均匀细棒的线密度
微积分思想：局部范围内 以不变代替变化，再通过 取极限达到两者的统一．
(cos x) xx0 sin x0
若函数 f (
也f称( x0 f) ( x)lxi在m0
Ixf)上(在x的0区可间导xIx)，上 记f的(为每x0 )一f(点xxli)m处x0 都Df I(可x．x)导，xf0(
1) 变速直线运动的瞬时速度：已知 S S(t) ，求 v(t0 ) ．
v(t0 )
v
S(t0
t) t
S(t0) ,
v(t0 )
lim v lim S(t0 t) S(t0 ) ．
t 0
t 0
t
2) 变流电的电流强度： Q Q(t) ，求 t0 时刻流过导线
横截面的电量 I(t0 ) ．