2018年辽宁省沈阳市沈河区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．（2分）实数π是（）A．整数B．分数C．有理数D．无理数2．（2分）如图，是由几个相同的小正方形搭成几何体的左视图，这个几何体的摆搭方式可能是（）A．B．C．D．3．（2分）中华人民共和国国家统计局网站公布，2016年国内生产总值约为74300亿元，将74300亿用科学记数法可以表示为（）A．743×1010B．74.3×1011C．7.43×1010D．7.43×1012 4．（2分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则它是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形5．（2分）在平面直角坐标系内，点P（a，a+3）的位置一定不在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，P是反比例函数y＝的图象上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，若△OPQ的面积为2，则k的值是（）A．﹣2B．2C．﹣4D．47．（2分）下列运算正确的是（）A．x2+x3＝x5B．x2+x3＝x6C．（x2）3＝x5D．（x2）3＝x6 8．（2分）“车辆随机到达一个路口，遇到红灯”这个事件是（）A．不可能事件B．不确定事件C．确定事件D．必然事件9．（2分）一次数学测试后，随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下：91，78，98，85，98．关于这组数据说法错误的是（）A．极差是20B．中位数是91C．众数是98D．平均数是91 10．（2分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：3a2﹣12＝．12．（3分）不等式组的解集是．13．（3分）化简（1﹣）•（1﹣m）＝．14．（3分）某田径队中甲、乙两名跳高运动员最近10次成绩的平均数相同，在“区运动会跳高纪录”附近，若甲跳高成绩的方差为S甲2＝65.84，乙跳高成绩的方差为S乙2＝285.21，那么单从方差的角度看，为了打破“区运动会跳高纪录”应选参加区运动会．15．（3分）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，如果∠1＝27°，那么∠2＝°．16．（3分）在平面直角坐标系内，一次函数y＝2x﹣b与y＝2x﹣1的图象之间的距离为3，则b的值为．三、解答题（共22分）17．（6分）计算：|1﹣|﹣2﹣1+2cos30°+（3.14﹣π）0．18．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，点E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果AB＝AC＝BC＝10，求四边形AEDF的面积S．19．（8分）某中学为了了解在校学生对校本课程的喜爱情况，随机调查了九年级学生对A，B，C，D，E五类校本课程的喜爱情况，要求每位学生只能选择一类最喜欢的校本课程，根据调查结果绘制了如下的两个统计图．请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（1）本次被调查的学生的人数为；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中，C类所在扇形的圆心角的度数为；（4）若该中学有4000名学生，请估计该校喜爱C，D两类校本课程的学生共有多少名．四、解答题（每小题8分，共16分）20．（8分）在一个不透明的布袋中装两个红球和一个白球，这些球除颜色外均形同．（1）搅匀后从袋中任意摸出1个球，摸出红球的概率是（2）甲、乙、丙三人依次从袋中摸出一个球，记录颜色后不放回，试求出乙摸到白球的概率．21．（8分）如图，直线y＝x+4与双曲线y＝（k≠0）相交于A（﹣1，a）、B两点．（1）a＝，点B坐标为；（2）在x轴上找一点P，在y轴上找一点Q，使BP+PQ+QA的值最小，求出点P、Q两点坐标．五、解答题（本题10分）22．（10分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝120°，CA平分∠BCD．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）若BD＝3，求⊙O的半径．六、解答题（本题10分）23．（10分）我们知道△ABC中，如果AB＝3，AC＝4，那么当AB⊥AC时，△ABC的面积最大为6．（1）若四边形ABCD中，AD+BD+BC＝16，且BD＝6，直接写出AD，BD，BC满足什么位置关系时四边形ABCD面积最大？并直接写出最大面积．（2）已知四边形ABCD中，AD+BD+BC＝16，求BD为多少时，四边形ABCD面积最大？并求出最大面积是多少？七、解答题（本题12分）24．（12分）（1）如图1，四边形ABCD为正方形，BF⊥AE，那么BF与AE相等吗？为什么？（2）如图2，在Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，求AF：FC的值；（3）如图3，Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝3，BC＝4，求CF．八、解答题（共1小题，满分12分）25．（12分）如图1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形成为“果圆”，已知A，B，C，D分别为“果圆”与坐标轴的交点，直线y＝x﹣3与“果圆”中的抛物线y＝x2+bx+c交于BC两点．（1）求“果圆”中的抛物线的解析式，并直接写出“果圆”被y 轴截得的线段BD 的长； （2）如图2，E 为直线BC 下方“果圆”上一点，连接AE 、AB 、BE ，设AE 与BC 交于F ，△BEF 的面积记为S △BEF ，△ABF 的面积记为S △ABF ，求的最小值．（3）“果圆”上是否存在点P ，使∠APC ＝∠CAB ，如果存在，直接写出点P 坐标，如果不存在，请说明理由．2018年辽宁省沈阳市沈河区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．（2分）实数π是（）A．整数B．分数C．有理数D．无理数【分析】由于圆周率π是一个无限不循环的小数，由此即可求解．【解答】解：实数π是一个无限不循环的小数．所以是无理数．故选：D．【点评】本题主要考查无理数的概念，π是常见的一种无理数的形式，比较简单．2．（2分）如图，是由几个相同的小正方形搭成几何体的左视图，这个几何体的摆搭方式可能是（）A．B．C．D．【分析】根据左视图的概念得出各选项几何体的左视图即可判断．【解答】解：A选项几何体的左视图为；B选项几何体的左视图为；C选项几何体的左视图为；D选项几何体的左视图为；故选：A．【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是熟练掌握左视图的概念．3．（2分）中华人民共和国国家统计局网站公布，2016年国内生产总值约为74300亿元，将74300亿用科学记数法可以表示为（）A．743×1010B．74.3×1011C．7.43×1010D．7.43×1012【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：74300亿＝7.43×1012，故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（2分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则它是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360°＝720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得（n﹣2）×180°＝2×360°，解得：n＝6．即这个多边形为六边形．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．5．（2分）在平面直角坐标系内，点P（a，a+3）的位置一定不在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】判断出P的横纵坐标的符号，进而判断出相应象限即可．【解答】解：当a为正数的时候，a+3一定为正数，所以点P可能在第一象限，一定不在第四象限，当a为负数的时候，a+3可能为正数，也可能为负数，所以点P可能在第二象限，也可能在第三象限，故选：D．【点评】此题主要考查了点的坐标，根据a的取值判断出相应的象限是解决本题的关键6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，P是反比例函数y＝的图象上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，若△OPQ的面积为2，则k的值是（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4【分析】根据反比例函数k的几何意义，求出k的值即可解决问题【解答】解：∵过点P作PQ⊥x轴于点Q，△OPQ的面积为2，∴||＝2，∵k＜0，∴k＝﹣4．故选：C．【点评】本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．（2分）下列运算正确的是（）A．x2+x3＝x5B．x2+x3＝x6C．（x2）3＝x5D．（x2）3＝x6【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、x2+x3，无法计算，故此选项错误；B、x2+x3，无法计算，故此选项错误；C、（x2）3＝x6，故此选项错误；D、（x2）3＝x6，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．8．（2分）“车辆随机到达一个路口，遇到红灯”这个事件是（）A．不可能事件B．不确定事件C．确定事件D．必然事件【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：“车辆随机到达一个路口，遇到红灯”是随机事件，故选：B．【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．9．（2分）一次数学测试后，随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下：91，78，98，85，98．关于这组数据说法错误的是（）A．极差是20B．中位数是91C．众数是98D．平均数是91【分析】根据极差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可．【解答】解：将数据从小到大排列为：78，85，91，98，98，A、极差为98﹣78＝20，说法正确，故本选项错误；B、中位数是91，说法正确，故本选项错误；C、众数是98，说法正确，故本选项错误；D、平均数是＝90，说法错误，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查了极差、中位数、众数及平均数的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握各部分的定义．10．（2分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）的顶点坐标为（h，k），它的开口方向向下，即可解答．【解答】解：二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）的顶点坐标为（h，k），它的开口方向向下，故选：B．【点评】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：3a2﹣12＝3（a+2）（a﹣2）．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：3a2﹣12＝3（a+2）（a﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后要继续利用平方差公式进行因式分解，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．12．（3分）不等式组的解集是﹣3＜x≤2．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得：x＞﹣3；由②得：x≤2，则不等式组的解集为﹣3＜x≤2，故答案为﹣3＜x≤2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．13．（3分）化简（1﹣）•（1﹣m）＝2﹣m．【分析】根据分式的运算法则先算括号里面，再作乘法亦可利用乘法对加法的分配律求解．【解答】解：法一、（1﹣）•（1﹣m）＝（﹣）•（1﹣m）＝•（1﹣m）＝2﹣m．故答案为：2﹣m．法二、原式＝（1+）•（1﹣m）＝1﹣m+1＝2﹣m．故答案为：2﹣m．【点评】本题考查了分式的加减和乘法，解决本题的关键是熟练运用运算法则或运算律．14．（3分）某田径队中甲、乙两名跳高运动员最近10次成绩的平均数相同，在“区运动会跳高纪录”附近，若甲跳高成绩的方差为S甲2＝65.84，乙跳高成绩的方差为S乙2＝285.21，那么单从方差的角度看，为了打破“区运动会跳高纪录”应选甲参加区运动会．【分析】根据方差的意义进行判断．【解答】解：∵S甲2＝65.84，S乙2＝285.21，∴S甲2＜S乙2，∴甲的成绩比乙稳定．故答案为甲．【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．15．（3分）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，如果∠1＝27°，那么∠2＝57°．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠4的度数，根据平行线性质求出∠3，根据邻补角定义求出即可．【解答】解：∵将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，∠1＝27°，∴∠4＝90°﹣30°﹣27°＝33°，∵AD∥BC，∴∠3＝∠4＝33°，∴∠2＝180°﹣90°﹣33°＝57°，故答案为：57°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，邻补角的定义的应用，解此题的关键是能求∠3的度数，难度适中．16．（3分）在平面直角坐标系内，一次函数y＝2x﹣b与y＝2x﹣1的图象之间的距离为3，则b的值为1+3或1﹣3．【分析】设直线y＝2x﹣1与x轴交点为C，与y轴交点为A，过点A作AD⊥直线y＝2x﹣b 于点D，根据直线的解析式找出点A、B、C的坐标，通过同角的余角相等可得出∠BAD ＝∠ACO，再利用∠ACO的余弦值即可求出直线AB的长度，从而得出关于b的含绝对值符号的方程，解方程即可得出结论．【解答】解：设直线y＝2x﹣1与x轴交点为C，与y轴交点为A，过点A作AD⊥直线y＝2x﹣b于点D，如图所示．∵直线y＝2x﹣1与x轴交点为C，与y轴交点为A，∴点A（0，﹣1），点C（，0），∴OA＝1，OC＝，AC＝＝，∴cos∠ACO＝＝．∵∠BAD与∠CAO互余，∠ACO与∠CAO互余，∴∠BAD＝∠ACO．∵AD＝3，cos∠BAD＝＝，∴AB＝3．∵直线y＝2x﹣b与y轴的交点为B（0，﹣b），∴AB＝|﹣b﹣（﹣1）|＝3，解得：b＝1﹣3或b＝1+3．故答案为1+3或1﹣3．【点评】本题考查了两条直线相交与平行的问题，利用平行线间的距离转化成点到直线的距离得出关于b的方程是解题关键．三、解答题（共22分）17．（6分）计算：|1﹣|﹣2﹣1+2cos30°+（3.14﹣π）0．【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣1﹣++1＝2﹣．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，点E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果AB＝AC＝BC＝10，求四边形AEDF的面积S．【分析】（1）先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出DE＝AB＝AE，DF＝AC＝AF，再根据AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，即可得到AE＝AF＝DE＝DF，进而判定四边形AEDF是菱形；（2）根据等边三角形的性质得出EF＝5，AD＝5，进而得到菱形AEDF的面积S．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴Rt△ABD中，DE＝AB＝AE，Rt△ACD中，DF＝AC＝AF，又∵AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴AE＝AF，∴AE＝AF＝DE＝DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）如图，∵AB＝AC＝BC＝10，∴EF＝5，AD＝5，∴菱形AEDF的面积S＝．【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质的运用，解题时注意：四条边相等的四边形是菱形；菱形的面积等于对角线长乘积的一半．19．（8分）某中学为了了解在校学生对校本课程的喜爱情况，随机调查了九年级学生对A，B，C，D，E五类校本课程的喜爱情况，要求每位学生只能选择一类最喜欢的校本课程，根据调查结果绘制了如下的两个统计图．请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（1）本次被调查的学生的人数为300；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中，C类所在扇形的圆心角的度数为108°；（4）若该中学有4000名学生，请估计该校喜爱C，D两类校本课程的学生共有多少名．【分析】（1）根据A种类人数及其占总人数百分比可得答案；（2）用总人数乘以B的百分比得出其人数，即可补全条形图；（3）用360°乘以C类人数占总人数的比例可得；（4）总人数乘以C、D两类人数占样本的比例可得答案．【解答】解：（1）本次被调查的学生的人数为69÷23%＝300（人），故答案为：300；（2）喜欢B类校本课程的人数为300×20%＝60（人），补全条形图如下：（3）扇形统计图中，C类所在扇形的圆心角的度数为360°×＝108°，故答案为：108°；（4）∵4000×＝1680，∴估计该校喜爱C，D两类校本课程的学生共有1680名．【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．四、解答题（每小题8分，共16分）20．（8分）在一个不透明的布袋中装两个红球和一个白球，这些球除颜色外均形同．（1）搅匀后从袋中任意摸出1个球，摸出红球的概率是（2）甲、乙、丙三人依次从袋中摸出一个球，记录颜色后不放回，试求出乙摸到白球的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出乙摸到白球的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）搅匀后从袋中任意摸出1个球，摸出红球的概率是；故答案为；（2）画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中乙摸到白球的结果数为2，所以乙摸到白球的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．21．（8分）如图，直线y＝x+4与双曲线y＝（k≠0）相交于A（﹣1，a）、B两点．（1）a＝3，点B坐标为（﹣3，1）；（2）在x轴上找一点P，在y轴上找一点Q，使BP+PQ+QA的值最小，求出点P、Q两点坐标．【分析】（1）由点A在一次函数图象上，将A（﹣1，a）代入y＝x+4，求出a的值，得到点A的坐标，再由点A的坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点B坐标；（2）作点A关于y轴的对称点A′，作点B作关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x 轴于点P，交y轴于点Q，连接PB、QA．利用待定系数法求出直线A′B′的解析式，进而求出P、Q两点坐标．【解答】解：（1）把点A（﹣1，a）代入一次函数y＝x+4，得：a＝﹣1+4，解得：a＝3，∴点A的坐标为（﹣1，3）．把点A（﹣1，3）代入反比例函数y＝，得：k＝﹣3，∴反比例函数的表达式y＝﹣．联立两个函数关系式成方程组得：，解得：，或，∴点B的坐标为（﹣3，1）．故答案为3，（﹣3，1）；（2）作点A关于y轴的对称点A′，作点B作关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x 轴于点P，交y轴于点Q，连接PB、QA，如图所示．∵点B、B′关于x轴对称，点B的坐标为（﹣3，1），∴点B′的坐标为（﹣3，﹣1），PB＝PB′，∵点A、A′关于y轴对称，点A的坐标为（﹣1，3），∴点A′的坐标为（1，3），QA＝QA′，∴BP+PQ+QA＝B′P+PQ+QA′＝A′B′，值最小．设直线A′B′的解析式为y＝mx+n，把A′，B′两点代入得：，解得：，∴直线A′B′的解析式为y＝x+2．令y＝0，则x+2＝0，解得：x＝﹣2，点P的坐标为（﹣2，0），令x＝0，则y＝2，点Q的坐标为（0，2）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、轴对称中的最短线路问题，解题的关键是：（1）联立两函数解析式成方程组，解方程组求出交点坐标；（2）根据轴对称的性质找出点P、Q的位置．本题属于基础题，难度适中，解决该题型题目时，联立解析式成方程组，解方程组求出交点坐标是关键．五、解答题（本题10分）22．（10分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝120°，CA平分∠BCD．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）若BD＝3，求⊙O的半径．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠ACB＝60°，根据圆周角定理证明；（2）连接OB、OD，作OH⊥BD于H，利用正弦的定义计算．【解答】解：（1）∵∠BCD＝120°，CA平分∠BCD，∴∠ACD＝∠ACB＝60°，由圆周角定理得，∠ADB＝∠ACB＝60°，∠ABD＝∠ACD＝60°，∴△ABD是等边三角形；（2）连接OB、OD，作OH⊥BD于H，则DH＝BD＝，∠BOD＝2∠BAD＝120°，∴∠DOH＝60°，在Rt△ODH中，OD＝＝，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，掌握等边三角形的判断方法、圆周角定理是解题的关键．六、解答题（本题10分）23．（10分）我们知道△ABC中，如果AB＝3，AC＝4，那么当AB⊥AC时，△ABC的面积最大为6．（1）若四边形ABCD中，AD+BD+BC＝16，且BD＝6，直接写出AD，BD，BC满足什么位置关系时四边形ABCD面积最大？并直接写出最大面积．（2）已知四边形ABCD中，AD+BD+BC＝16，求BD为多少时，四边形ABCD面积最大？并求出最大面积是多少？【分析】（1）由题意当AD∥BC，BD⊥AD时，四边形ABCD的面积最大，由此即可解决问题．（2）设BD＝x，由题意：当AD∥BC，BD⊥AD时，四边形ABCD的面积最大，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）由题意当AD∥BC，BD⊥AD时，四边形ABCD的面积最大，最大面积为×6×（16﹣6）＝30．（2）设BD＝x，由题意：当AD∥BC，BD⊥AD时，四边形ABCD的面积最大，最大面积＝×x（16﹣x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣8）2+32，∵﹣＜0，∴x＝8时，四边形ABCD的面积最大，最大值为32．即BD＝8时，四边形ABCD的面积最大，最大面积为32．【点评】本题考查三角形的面积，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决问题．七、解答题（本题12分）24．（12分）（1）如图1，四边形ABCD为正方形，BF⊥AE，那么BF与AE相等吗？为什么？（2）如图2，在Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，求AF：FC的值；（3）如图3，Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝3，BC＝4，求CF．【分析】（1）先判断出AB＝AD，再利用同角的余角相等，判断出∠ABF＝∠DAE，进而得出△ABF≌△DAE，即可得出结论；（2）构造出正方形，同（1）的方法得出△ABD≌△CBG，进而得出CG＝AB，再判断出△AFB∽△CFG，即可得出结论；（3）先构造出矩形，同（1）的方法得，∠BAD＝∠CBP，进而判断出△ABD∽△BCP，即可求出CP，再同（2）的方法判断出△CFP∽△AFB，建立方程即可得出结论．【解答】解：（1）BF＝AE，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°，∴∠BAE+∠DAE＝90°，∵AE⊥BF，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE，∴BF＝AE，（2）如图2，过点A作AM∥BC，过点C作CM∥AB，两线相交于M，延长BF交CM于G，∴四边形ABCM是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴▱ABCM是矩形，∵AB＝BC，∴矩形ABCM是正方形，∴AB＝BC＝CM，同（1）的方法得，△ABD≌△BCG，∴CG＝BD，∵点D是BC中点，∴BD＝BC＝CM，∴CG＝CM＝AB，∵AB∥CM，∴△AFB∽△CFG，∴＝2；（3）如图3，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，∵点D是BC中点，∴BD＝BC＝2，过点A作AN∥BC，过点C作CN∥AB，两线相交于N，延长BF交CN于P，∴四边形ABCN是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴▱ABCN是矩形，同（1）的方法得，∠BAD＝∠CBP，∵∠ABD＝∠BCP＝90°，∴△ABD∽△BCP，∴，∴，∴CP＝，同（2）的方法，△CFP∽△AFB，∴，∴，∴CF ＝．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质和判定，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，构造出（1）题的图形，是解本题的关键．八、解答题（共1小题，满分12分）25．（12分）如图1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形成为“果圆”，已知A ，B ，C ，D 分别为“果圆”与坐标轴的交点，直线y ＝x ﹣3与“果圆”中的抛物线y ＝x 2+bx +c 交于BC 两点．（1）求“果圆”中的抛物线的解析式，并直接写出“果圆”被y 轴截得的线段BD 的长； （2）如图2，E 为直线BC 下方“果圆”上一点，连接AE 、AB 、BE ，设AE 与BC 交于F ，△BEF 的面积记为S △BEF ，△ABF 的面积记为S △ABF ，求的最小值．（3）“果圆”上是否存在点P ，使∠APC ＝∠CAB ，如果存在，直接写出点P 坐标，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出点B，C坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点A坐标，即可求出半圆的直径，再构造直角三角形求出点D的坐标即可求出BD；（2）先判断出要的最小值，只要CG最大即可，再求出直线EG解析式和抛物线解析式联立成的方程只有一个交点，求出直线EG解析式，即可求出CG，结论得证．（3）求出线段AC，BC进而判断出满足条件的一个点P和点B重合，再利用抛物线的对称性求出另一个点P．【解答】解：（1）对于直线y＝x﹣3，令x＝0，∴y＝﹣3，∴B（0，﹣3），令y＝0，∴x﹣3＝0，∴x＝4，∴C（4，0），∵抛物线y＝x2+bx+c过B，C两点，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3；令y＝0，∴x2﹣x﹣3＝0，∴x＝4或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∴AC＝5，如图2，记半圆的圆心为O'，连接O'D，∴O'A＝O'D＝O'C＝AC＝，∴OO'＝OC﹣O'C＝4﹣＝，在Rt△O'OD中，OD＝＝2，∴D（0，2），∴BD＝2﹣（﹣3）＝5；（2）如图3，∵A（﹣1，0），C（4，0），∴AC＝5，过点E作EG∥BC交x轴于G，∵△ABF的AF边上的高和△BEF的EF边的高相等，设高为h，∴S△ABF ＝AF•h，S△BEF＝EF•h，∴＝＝，∵的最小值，∴最小，∵CF∥GE，∴＝，∴最小，即：CG最大，∴EG和果圆的抛物线部分只有一个交点时，CG最大，∵直线BC的解析式为y＝x﹣3，设直线EG的解析式为y＝x+m①，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3②，联立①②化简得，3x2﹣12x﹣12﹣4m＝0，∴△＝144+4×3×（12+4m）＝0，∴m＝﹣6，∴直线EG的解析式为y＝x﹣6，令y＝0，∴x﹣6＝0，∴x＝8，∴CG＝4，∴＝；（3）如图1，∵AC是半圆的直径，∴半圆上除点A，C外任意一点Q，都有∠AQC＝90°，∴点P只能在抛物线部分上，∵B（0，﹣3），C（4，0），∴BC＝5，∵AC＝5，∴AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC，当∠APC＝∠CAB时，点P和点B重合，即：P（0，﹣3），由抛物线的对称性知，另一个点P的坐标为（3，﹣3），即：使∠APC＝∠CAB，点P坐标为（0，﹣3）或（3，﹣3）．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，圆的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，抛物线的对称性，等腰三角形的判定和性质，判断出CG最大时，两三角形面积之比最小是解本题的关键．。