2０16-２0１7第二学期弹性力学考试答案及评分标准一、 概念问答题1、 以应力作未知量,应满足什么方程及什么边界条件?答:以应力作为未知量应满足平衡微分方程、相容方程及边界条件。
(5分） 2、平面问题的未知量有哪些？方程有哪些？答：平面问题有σｘ、σy 、τxy 、εx 、εy 、γxy 、u 、v 八个,方程有两个平衡方程,三个几何方程,三个物理方程。
（5分) 3、已知200x Pa σ= ，100y Pa σ=-，50xy Pa τ=-及100r Pa σ=，300Pa θσ=，100r Pa θτ=-,试分别在图中所示单元体画出应力状态图。
（2分) (3分） 4、简述圣维南原理。
答:如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同,对同一点的主矩也相同）,那么,近处的应力分量将有显著的改变,但远处所受的影响可以不计。
(5分）5、简述应变协调方程的物理意义。
答：⑴ 形变协调条件是位移连续性的必然结果。
连续体→位移连续→几何方程→形变协调条件。
（2分) ⑵ 形变协调条件是与形变对应的位移存在且连续的必要条件。
形变协调→对应的位移存在→位移必然连续;形变不协调→对应的位移不存在→不是物体实际存在的形变→微分体变形后不保持连续。
(３分）6、刚体位移相应于什么应变状态。
答：刚体位移相应于零应变状态，对平面问题为εx =εy =γxy ＝０ (5分)7、简述最小势能原理，该原理等价于弹性力学的哪些基本方程? 答：由位移变分方程可得()()0U Xu Yv Zw dxdydz Xu Yv Zw dS δ⎡⎤-++-++=⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 或0δ∏= xy200Pa=PaPa100r Pa=-100Pa=-()()U Xu Yv Zw dxdydz Xu Yv Zw dS δ∏=-++-++⎰⎰⎰⎰⎰其中∏ 为物体得总势能（形变势能和外力势能在之和),0δ∏=称为最小势能原理，它表明物体处于平衡位置时,总势能的一阶变分为零。
可以证明：在线弹性体中,20δ∏>,即在所有几何可能的位移中,实际的位移使总势能取最小值。
最小势能原理等价于平衡微分方程和静力边界条件。
(5分）二、已知下述应变状态是物体变形时产生的，试求各系数之间应满足的关系(5分）)()()(22210442210442210C y x xy C C y x y x B B y x y x A A xy y x +++=++++=++++=γεε 答:应变分量存在的必要条件是满足形变相容条件,即22222y xyx y x x yεγε∂∂∂+=∂∂∂∂ (2分） 由题中给出的应变可得：2212212x A y y ε∂=+∂,2212212y B x x ε∂=+∂，222111233xy C x C y C C x yγ∂=++∂∂ 则由相容条件可得:222211111221221233A y B x C x C y C C +++=++ 上式对任意ｘ,ｙ均成立，则有： 1111121221234222C C A B C C A A C ==⎧⎧⇒⎨⎨+=+=⎩⎩ （３分）三、试写出图中所示各边的精确边界条件，图中ｓ、q 均为均匀分布荷载，ＡF 为固定边界。
(１5分)解:ＡF 边:u =0，v =0 (２分)ＡＢ边:σｙ=０,τxy =0 （2分）yEF 边:σy =0,τxy =０ (2分） ＢC 边: (4分）sin l α=-=,cos m α=-=cos 222sin 222xxy xy y s s s sσαα⎧--==⎪⎪⎨⎪--=-=-⎪⎩ ⇒ x xy xy y ssσττσ+=-⎧⎪⎨+=⎪⎩ CD 边:（2分) 0x xy qστ=-=DE 边：（3分）sin 2l α=-=-,cos 2m α==cos sin 222xxy xy y s s s sσαα⎧-==⎪⎪⎨⎪-+==⎪⎩⇒ x xy xy y ssσττσ-+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 四、对于图中所示结构，l 远大于ｈ,已知233322842M h y y y y qx h h h ϕ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭M 是集中弯矩,q 为均匀分布荷载，试证明它是圣维南条件下的解。
（１5)解：（1） 验证相容方程:40ϕ∇= ，这里ϕ显然满足。
（1分） （2） 应力分量:22321216x My y qx y h h h ϕσ∂⎛⎫==+-+ ⎪∂⎝⎭220y xϕσ∂==∂222134xy y y q x y h h ϕτ⎛⎫∂=-=---+ ⎪∂∂⎝⎭(3分）（3） 边界条件 左侧2hy = ,0y σ=⇒ 成立ﻩ ﻩ 11300424xy τ=⇒--+= （2分）右侧:2hy =-,0y σ=⇒ 成立ﻩﻩ 113424xy q q q τ⎛⎫=-⇒--++=- ⎪⎝⎭成立 (2分）顶部22322120,0,0h hh h x My x dy dy h σ--= = =⎰⎰ ，积分后为偶数，故为0 （2分）220h h xy dy τ-=⎰2232222132********hh hy y y y y h h q dy q q h h h h h -⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎰,成立 （２分)22h h x ydy M σ-=⎰23233212422h h hMy My dy M hh h -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦-⎰，成立 （3分) 五、试按逆解法推导轴对称问题的应力解和位移解。
(15分)解：应力数值轴对称—仅为ρ的函数,应力方向轴对称— 0ρφφρττ==相应的应力函数()ΦΦρ= ,应力分量：d ,d ρ1Φσρρ= 22d ,d φΦσρ=0.ρφτ= （a ） （3分） (1) 相容方程22d d ()0d d 21Φρρρ+= 其中：22d d d d ()d d d d 211ρρρρρρρ∇=+=4d d d {[()]}0, ()d d d d 111ΦΦρρb ρρρρρρ∇== 相容方程成为常微分方程,积分四次得Φ的通解,22ln ln ()ΦA ρB ρρC ρD c =+++。
（3分）(2) 应力通解：将式(c )代入式(a),22(12ln )2,(32ln )2, ()0A B C A B C d ρφρφσρρσρρτ⎫=+++⎪⎪⎪=-+++⎬⎪⎪=⎪⎭(３分）（3） 应变通解:将应力(d )代入物理方程，得对应的应变分量的通解。
应变ρφρφε,ε,γ 也为轴对称。
(４) 求对应的位移：将应变代入几何方程,对应第一、二式分别积分,,ρρu ερ∂=∂ d ();ρρu ερf φ=+⎰,ρφφu u 1ερρφ∂+=∂ ,φφρu ρεu φ∂=-∂ ()d )φφρ1u ρεu φf (ρ∴=-+⎰。
将ρφu ,u 代入第三式,0,ρρρρφu u u 1γρφφφ∂∂+-==∂∂ 分开变量，两边均应等于同一常量F ,()()()()d d d ,d d 11f ρf φf ρρf φφF ρφ-=+=⎰ (3分)即得两个常微分方程,11d ()(),d f ρf ρρF ρ-= 1 ();f ρH ρF ∴=+d ()()d ,d f φf φφF φ+=⎰ 22d () ()0,d f φf φφ∴+= ()cos sin f φI φK φ=+得：。
代入ρφu ,u ,得轴对称应力对应的位移通解,1[(1)2(1)(ln 1)(13)2(1)cos sin ()4sin cos A u B B E C I K e Bu H I K E ρφμμρρμρρμρφφρφρφφ⎫=-++--+-⎪⎪⎪+-++⎬⎪⎪=+-+⎪⎭，。
（3分）其中Ｉ，K —为ｘ、y 向的刚体平移， H —为绕ｏ点的刚体转动角度。
六、一端固定、另一端弹性支撑的梁，其跨度为l ，抗弯刚度ＥI 为常数,弹簧系数为k ，承受分布荷载q （ｘ)的作用(如图所示)。
试用位移变分方程（或最小势能原理)导出该梁以挠度形式表示的平衡微分方程和静力边界条件（15分)解:用位移变分方程推导 (1) 梁内总应变能的改变为22222220012l l d v d v d v U EJ dx EJ dx dx dx dx δδδ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰ (1分）(2) 外力总虚功为()()()()0llAAx l q x vdx R v q x vdx k v v δδδδ=-=-⎰⎰ (1分）(3) 由位移变分方程得()()222200l lx l d v d v EJ dx q x vdx k v v dx dx δδδ=⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ (a)(1分）对上式左端运用分部积分得 2222220023230023423400l l ll ll d v d v d v dv EJ dx EJ d dx dx dx dx d v dv d v dv EJ EJ dx dx dx dx dx d v dv d v d v EJ v EJ dxdx dx dx dx δδδδδδ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 代入(a)式,经整理得()2323423234000l x x l d v dv d v d v dv d v d vEJ v EJ kv EJ v EJ q x vdx dx dx dx dx dx dx dx δδδδδ==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫--++-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎰ (b ） （３分）由于变分v δ 的任意性，式（ｂ)成立的条件为()440d vEJ q x dx-= (c) 232300x d v dv d v v dx dx dx δδ=⎡⎤⎛⎫-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ (d)23230x ld v dv d v EJ kv EJ v dx dx dx δδ=⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (e) （3分)(4) 式(c)就是以挠度ｖ表示的平衡微分方程。
下面讨论边界条件。
由于梁的左端为固定端,因此有()00x v δ== ，00x dv dx δ=⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ （f) (2分）梁的右端为弹性支撑,则有()0x l v δ=≠ ,0x l dv dx δ=⎡⎤⎛⎫≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ (g ） (２分)注意到式(d)能满足,而欲使式(e)成立,必须满足220x l d v dx =⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，330x l d v kv EJ dx =⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （h) (2分)式(f)、(h ）即为题意所求的边界条件。