2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试
数学试卷
参考答案：
一、填空题：
1、, 11,；2、3；3、0,1；4、2；5、15；6、x2y21；7、5；8、180；
43
9、4；10、
3
；11、
11
19
；12、4.4；
，
6
，
3
6
二、选择题：
13、A；14、C；15、D；16、B；
三、解答题：
17、（1）12 6；（2）3；
am
an
0
，则称{ an}是{ cn}的
N *，使得
cn 1
am
“分隔数列”
（1）设cn2n, ann1，证明：数列{ an}是{ cn}的分隔数列；
（2）设cnn4, Sn是{ cn}的前n项和，dnc3n 2，判断数列{ Sn}是否是数列{ dn}的分隔数列， 并说明
理由；
（3）设cnaqn 1,Tn是{ cn}的前n项和，若数列{ Tn}是{ Cn}的分隔数列，求实数a, q的取值范围？
第7题图第12题图
8、某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不
担任四辩，则不同的安排方法种数为_____________（结果用数值表示）。
2
9
a
9
9、设a
R，若x2
与x
的二项展开式中的常数项相等，则
a _______；
x
x2
10、设mR，若z是关于x的方程x2mxm210的一个虚根，则z的取值范围是________；
1
q
Tm
cn 1
qnqn 11qmqn 1qn1，
令mn，则qn 1qn1qnqnq210，对任意的nN恒成立，则q2，
而qnqn 11qnqn 11（恒成立），故数列Tn是cn的分隔数列，且此时a0；
③当
0 q 1
Tm
cn0，代入并化简得：
q
n
q
n 1
1 q
m
q
n 1
q
n
1
，
时，因为
Tm
cn 1
因为qm单调递减，而qnqn 11n1，qn 1qn1n
2
2
2
假设数列
Sn是否是数列
dn的分隔数列，则必定存在
Sm
dn
0
，
m N，使得
dn 1
Sm
代入不并化简得：
m2
7m 6n 12
m2
7m 6n 12 m2
7m 6n 6 0
m2
7m 6n 6
0
7m 6n 6 0
m2
所以，6n12m27m6n6，
又因为m m72k kZ，所以m(m7)6n12,6n10,6n8，
投影的直观图， 在图2与图3中，点
O
A B
OC
是抛物线的对称轴，
OC
AB
于
C AB 3
、 、 在抛物线上，
，
米，OC 4.5米.
（1）求抛物线的焦点到准线的距离；
（2）在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹
角的大小（精确到0.01）.
20.
20.设a
m2
7m
6n
12
①
对于任意的n
N，三个方程m2
7m
6n
10
②都不能确保m一直偶整数解，
m2
7m
6n
8
③
故不符合定义，所以数列Sn不是数列dn的分隔数列；
另解：举出反例即可！
1°当
2°当
6
m m 7 0
n 1时，
m 6，存在；
m
N
0m m76
n2时，m7，存在；
mN
6m m712
3°当n3时，m8，存在；
2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试
数学试卷
一、填空题（54分）
1、不等式x1的解集为______________；
2、计算：lim3n1_________；
nn 2
3、设集合A
x 0 x 2，B
x
1
x 1
，则A B
________；
4、若复数z
1 i（i是虚数单位），则z
2
______；
z
0，函数
1
f ( x)
1 a 2x
（1）.若a 1，求f ( x)的反函数f1(x)
（2）求函数y f ( x) f ( x)的最大值，（用a表示）
（3）设g( x)f ( x)f ( x1)，若对任意x(,0], g( x)g(0)恒成立，求a的取值范围？
21.若{ cn}是递增数列，数列
{ an}满足：对任意n R, m
，
a
t
则g a
a
,0，且g 0
a
g 0，符合题意；
3a 2
，故满足g x
a
2
a2
3a 2
2°当0
2
1时，即a
2，则y a2t
2
3a 2
2
3a 2 2a 3a，
a
t
a
则g a
2 2 3,0，因为g xming log2
2
g 0，故不符合题意，舍去；
a
综上：a0,2。
21、解析（1）依题意得，
am
cn
m
（1）.若点(2,1)在上，求的焦点坐标；
（2）.若a1，直线ykx1与相交于A, B两点，若线段AB中点的横坐标为1，求k的值；
19.利用“平行与圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理；某公司用两个射灯（射出的
光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯
11、设a0，函数f xx2(1x) sin( ax), x0,1，若函数y2x1与yf x的图像有且仅有两
个不同的公共点，则a的取值范围是__________；
12、如图，在正方形
ABCD的边长为20
米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点
P、Q分别在
线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点
5、已知an
是等差数列，若a2
a8
10，则a3a5a7
______；
6、已知平面上动点P到两个定点
1,0
和
1,0
的距离之和等于
4，则动点P的轨迹方程为_________；
7、如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，BC4，AA15，O是A1C1的中点，则三棱锥
AA1OB1的体积为_________；
62
18、（1）
3,0，
3,0
；（2）
5
1；
2
19、（1）1
；（2）9.59
；
4
20、解析：（1）
x
1
1 x
1
1
f
1
( x)
1
1
x
0,1；
2
y
log2y
log2x
（2）y
1
1
2x
2x
，设2x
t 0，
1 a 2x1 a 2x
a 1 a 2x
则y
t
1
，因为a
0，所以at
a
1时取等号，所以
at
2
a21 t
1
2n
m
2n
1
m (2n 1) 0
am
cn 1
m 1
(
0
m
(2n
1)
2n 1 m 2n 1
2n 2)
0
因为m
N，于是，可得，m
2n，故存在这样的
am
cn
0
，所以数列
am是cn的分隔
m，使得
cn 1
am
数列，得证；
（2）dn
c3n 23n 6，又因为Sn是cn
的前n项和，所以Sn
3 n 4 n
n2
7n，
Q在点P的“盲区”中，已知点P以米/秒的速度
从A出发向D移动，同时，点
Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，
点Q在点P的盲区中的时长均为
_____秒（精确到）.
二．选择题（20分）
13.
下列函数中，为偶函数的是（
）
y x2
1
1
Dy x3
A
B
y x3
C
y x2
14.
如图，在直三棱柱
a
a
2a，当且仅当t
at
a
2
1
t
t
at
a
a2
1 a2
2a 1，即y
0,
1
2；
t
a
1
1
2
a 2x
，设2
x
t，因为x
,0，
（3）g x
2 a 2x
a2t2
3a 2x
1 a 2x
2
所以t
0,1，则g t
a
，若a2t
2
t
2
，
2
2
3a
t
a
aபைடு நூலகம்
t
t
1°当
2
1时，即0 a
2，y a2t
2
3a单调递减，所以y a2
3a 2,
AP AB6，AQ2 AP，则动线段PQ所围成的面积为（）
A、50B、60C、72D、108
三、解答题（14+14+14+16+18=76分）