Received: Sep. 1st, 2020; accepted: Sep. 18th, 2020; published: Sep. 25th, 2020
Abstract
In this paper, the qualitative theory of differential equations and the bifurcation method of dynamical systems are used to find nonlinear wave solutions of the generalized Fornberg-Whitham equation. When n = 2, we obtained four nonlinear wave solutions. When n = 3, we obtained one nonlinear wave solution.
(5)
证明了光滑和非光滑行波解的存在性，并给出了显示孤立波解[12]。 本文主要研究当 n = 2, 3 时，方程(1)的某些非线性波解。
2. 主要结果
当 n = 2 时，令
( ) c0 = 4 2 + 4 − b
(6)
( ) c1 =
1 1+ 2
1− 4b
(7)
( ) c2 =
1 1− 2
1− 4b
n +1
f0
(ϕ
)
=(b
−
c
)ϕ
+
n
1 +
ϕ 1
n +1
(39)
则
f (ϕ )= g + f0 (ϕ )
(40)
系统(34)变为
= ddddϕττy=
(ϕ − c) y f (ϕ ) − y2
(41)
DOI: 10.12677/aam.2020.99187
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应用数学进展
朱贇，刘锐
显然，系统(41)的奇点都在 ϕ 轴或直线 ϕ = c 上。由(40)可得
u1 ( x,t ) ， u2 ( x, t ) ， u3 ( x,t ) ， u4 ( x, t ) ， u5 ( x,t ) 的正确性
D[u,t] − D[u, x, x,t] + bD[u, x] + unD[u, x]
− 3D[u, x] D[u, x, x] − uD[u, x, x, x].
朱贇，刘锐
ρ
=
1 40
−12bc
+ 12c 2
−
63 125
c4
−
q 13500
c
+
2916 125
lc7
−
243 125
2
l 3c6
+
1
36bl 3c3
+ 126 125
1
l 3c5
+
2 3
(c
−
1
b)l3
−
7 375
1
13 l
c3
−
1 1500
2
13 l
c2
(25)
u5
(
x,
t
)
具体推导如下。
3. 行波系统及首次积分
首先，对方程(1)做行波变换
u ( x,t )= ϕ (ξ ), ξ= x − ct
(28)
其中 c > 0 为常波速。 得到常微分方程
3ϕ′ϕ′′ + ϕϕ′′′ + cϕ′ − cϕ′′′ − bϕ′ − ϕ nϕ′ = 0
(29)
再将方程(29)进行积分一次，得到
ut − uxxt + 3uu=x 2uxuxx + uuxxx
(3)
这样完全可积和双 Hamilton 结构[8]等良好性质，一直并未引起广泛研究。直到近年来，F-W 方程重新引 起了大家的关注。
当 b = 1，n = 2 时，He 和 Meng 等人给出了方程(1)的尖孤立波解[9]，Liang 给出了精确的行波解[10]。 此外，Yang 和 Fan 将 F-W 方程推广成二元 F-W 方程
1 4
c0
(15)
1) 当 b ≤ 0 ，且 0 < c < c0 , c ≠ c1 时， u1 ( x,t ) ， u2 ( x,t ) ， u3 ( x,t ) ， u4 ( x,t ) 是方程(1)的解；
2)
当
0
<
b
<
1 4
，且
b
<
c
<
c0 , c
≠
c1, c
≠
c2
时，
u1
(
x,t )
，
u2
(
f0′(ϕ ) = (b − c) + ϕn
(42)
当=n 2m +1 时， f0′(ϕ ) 有一个零点
1
ϕn=0 (c − b)n
(43)
为 f (ϕ ) 的极小值点。
当n
=
2m
时，
f0′(ϕ ) 有两个零点
±ϕn0
，其中
−ϕ
0 n
为
f
(ϕ )
的极大值点， ϕn0 为
f
(ϕ )
的极小值点。
令
( ) g
1
γ
=− c 5
−
9
l
1 3
c2
5
+
1 13 30 l
(20)
p = −54000b + 54000c −1512c3
(21)
=q 629856c6 + p2
(22)
=e 4 c + 2γ
(23)
5
l= 2
(24)
p+q
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Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2020, 9(9), 1589-1603 Published Online September 2020 in Hans. /journal/aam https:///10.12677/aam.2020.99187
Keywords
Fornberg-Whitham Equation, Traveling Wave System, Bifurcation, Exact Solutions
文章引用: 朱贇, 刘锐. 广义 Fornberg-Whitham 方程的某些非线性波解[J]. 应用数学进展, 2020, 9(9): 1589-1603. DOI: 10.12677/aam.2020.99187
令
Hn
(ϕ,
y)
= (ϕ − c)2
y2
−
(n
+
2
3)(
n
+
1)
ϕ
n
+3
−
(n
+
2c
2)(
n
+
1)
ϕ
n
+
2
(36)
+
2 3
(b
−
c)ϕ3
+
(
g
+
c
(c
−
b))ϕ2
−
2gcϕ
则有
h = Hn (ϕ, y)
(37)
4. 分支曲线
令
f (ϕ ) = g + (b − c)ϕ + 1 ϕ n+1
(38)
(ϕ
−
c)2
y2
−
(n
+
2
3)(n
ϕ n+3
+ 1)
−
(n
+
2c
ϕ n+2
2)(n +1)
+
2 3
(b
− c)ϕ3
+
(g
+
c(c
− b))ϕ 2
− 2gcϕ
= h
(35)
所以两个系统除了奇直线 ϕ = c 之外有相同的拓扑相图。因此我们可以通过研究系统(34)的相图达到研究 系统(32)的相图的目的。
朱贇，刘锐
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). /licenses/by/4.0/
(c − b)ϕ + [ϕ′]2 + (ϕ − c)ϕ′′ − 1 ϕ n+1 = g
(30)
n +1
其中，g 为积分常数。 令
dϕ = y dξ
(31)
将(31)带入方程(30)，得到平面系统
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朱贇，刘锐
dϕ
dξ
=
y
2)
当
0
<
b
<
2 33
，且
0
&
c31 , c
≠
c32
时，
u5
( x,t ) 是方程(1)的解；
3)
当b
=
2 33
，且
0
<
c
<
+∞, c
≠
c31
时，
u5
( x,t ) 是方程(1)的解；