2・1.3两条直线的平行与垂直
第一课时两条直线的平行
课前自主学习，基稳才能楼高
预习课本P89〜90,思考并完成以下问题
1.如果两条直线互相平行，那么这两条直线的斜率一定相等么?
2.如何判断平面内两条直线互相平行?
3.如何证明坐标系中的平面图形中的边之间的平行关系?
两条直线的平行
斜率存在时两条直线
的平行h： y = fei 兀 + bi 9
则h // h-y=◎工+ S，
斜率不存在时
则h // 0工1丰工2
乜，
［点睛］两直线平行与斜率的关系
(l)l1//l2^k l=k2成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；®h与11不重合.
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，h与12的倾斜角都是90°,贝弭〃仏.
(3)两条不重合的直线平行的判定的一般结论是:
I\〃l20k\=k2或G仏斜率都不存在.
［小试身孚］
1.判断下列命题是否正确•(正确的打“ J"，错误的打“X”)
(1)不重合的两条直线的倾斜角相等，则它们一定互相平行. (V ) (2)如果两条直线互相平行，那么它们的斜率一定相等.
(X ) (3)直线人：＜tv+y+2«=0与(z： x+«j+2=0互相平行，则实数a = ±l
［点睛］两直线平行与斜率的关系
・(X )
绪台逋技法课堂讲练设计，举一能通类题2.平行于直线兀+丿一1=0且过原点的直线方程为 ______ •
答案：x+j=O
3.两直线2x—丁+花=0和4x— 2y + l = 0的位置关系是
答案：平行或重合
4.若两直线2x—ky-\~l=0和4x—2y + l = 0不平行，则花应
当满足的条件是_______ •
答案：心1
课堂讲练设计，举一能通类题
［典例］判断下列各题中直线厶与?2是否平行?
⑴人的斜率为1,仏经过点Q(3,3)；
(2“i 经过点A(-3,2), B(—3,10), ?2经过点C(5, —2), P(5, 5)；(3"i 经过点A(O，1), 经过点C(—l，3), D(2,0).
[解](1)^ = 1, k2=~~=l f k\=k2, •"与仏重合或li//12.
(2”1与＜2都与兀轴垂直，通过数形结合知h//l2.
0—1 0—3
(3)斛=]_0=_1,层=2_(_])=_1, k x=k2f数形结合
知21〃仏・
判断两条直线平行的方法
(1)①若两条直线Z1，h的斜率都存在，将它们的方程都化成斜截式.如：li： y=3+〃i，Z2：y=k2x-\-b2\
k\=k2,
则k刊2 ②若两条直线G仏的斜率都不存在，将方程化成h：X=Xx，
【2： X=X29则兀1工兀2 3/1 〃?2・
（2）若直线Z1： Aix+〃u+Ci=O（Ai，Bi 不全为0）, Z2：A/+ B^+C2=O（A2,园不全为0）,由A1B2-A1B X=0 得到h//l2或b
仏重合；排除两直线重合，就能判定两直线平行.
［活学活用］
1.判定下列直线的位置关系.
(1)Zi： 3x—4y—2=0, 6x—8y + l=0；
(2)Zj: 3x~F2y —1=0，?2： 6xd~4y—2=0；
(3)Zi: 4x+2y —1=0^ 心 2x—y—2=0.
解：⑴因为3X(—8)—(一4)X6=0,而3X1_(_2)X6HO, 所以l\//lz，
(2)因为3X4—2X6=0,而3X(-2)—(一l)X6=0,所以厶, <2重合•
⑶ 因为4X( —1)—2X2H0,所以仏相交.
2. 已知B(2,3), C(1,O), D(-2, _2),判定四边形
ABCD 的形状•
同理可计算得呛c=3, kcD=），kAD=3,
2
故 kAD = kBC = 3, kAB=kcD = m
所以 4D//BC 9 AB//CD,
故四边形4BCD 为平行四边形.
因为R AB = 3-1 2 2-(-l)=?
题型二V 应用两直线平行求参数值
7
［典例］已知直线 h /MX +J —(wz4-l)=0, l 2z x+my —2m =0,当加
为何值时，
⑴直线人与仏互相平行？
(2)直线人与乙重合？
［解］⑴若Zi 〃b 需满足
m 2一1=0,
—2/»2+(/^ + 1)#=0, 即当加=—1时，h//l 2.
(2)若1\与仏重合，需满足
m 1_1=0,
—2/M 2+(/W + 1)=0, 即当加=1时，1\与〔2重合•
解得m =
— l.
解得m = l.
(1)解决此类问题的方法：需依据直线平行的条件，研究斜率是否存在；斜率存在，再根据斜率相等，截距不等；列关于参数的方
程或方程组求解.若斜率都不存在，排除重合.
(2)若两直线方程中含有参数，判断两直线平行或重合时, 为避免讨论，有如下方法：
Zi： Aix+Bjj+Ci=O, I2：A2X+B M+C2=0.
旳〃2 —人2〃1 = 0,
A1C1-A2C1^.
[A 1^2 —人2〃1 = 0‘
\A X C2-A1C1=^.
［活学活用］
1.若直线厶：ax+y+2a=0与仏：x+«j+3=0互相平行，则实数a = .
解析：由于两直线平行，所以/ —1=0,解得a=±l.
答案：±1
2.直线人经过A(3,4), 5(5,8),直线仏经过点M(l, 一2), N(0,
b),且li//h则实数方= __________ •
解析:•: k、=免=些;=一(〃+2),
又•••/］〃:・k\=k2,
即_方_2=2,・・』=_4・
答案：一4
题型三由平行关系求直线方程
求过点(2, —1)且与直线3x-4y-2=0平行的直［典例］
线方程.
［解］法一：由题意设所求直线方程为y^l=k(x-2)9 又它与直
线3x-4j-2=0平行，所以两直线斜率相等，即k 3 3
=/故所求直线方程为丿+ 1=尹一2),即3x—4y —10=0.
法二：因为所求直线与已知直线平行，故设所求直线方程为3x-4y+C=0(CH-2). 又过点(2, —1), 所以3X2-4X(-l)+C=0, 即C=-10.
所以所求直线方程为3x-4j-10=0.
与已知直线平行的直线方程的求法
⑴若直线/与已知直线y=kx+b平行，则可设？的方程为丿=也+加(加工方)，然后利用待定系数法求参数加，从而求出直线I的方程.
⑵若直线2与已知直线Ax+By+C=0平行，则可设2的方程为：Ax +By +m = O(TW C),然后用待定系数法求参数加, 从而求出直线？的方程.
［活学活用］
求与直线3x+4j+9=0平行，并且和两坐标轴在第一象限所围
成的三角形面积是24的直线方程.
3
解：法一：•••直线3x+4y+9=0的斜率为一 "•••设所求直
3
4b 线方程为丿=—尹+方，令x=0,得y=b ；令j=0,得兀=了
,
.•・；XbX 譽=24, ・・.b=6,故所求直线方程为尸—|x+6,
即 3x+4y-24=0.
由题意，方＞0, 4b
>0,
法二：与3x + 4j + 9 = 0平行的直线也可设为3兀+4丁+加= 0（加工9）,则令兀=0, ^y=——;
所以珂-訓一鸟=24,
解得加= —24,
故所求直线方程为3x+4j-24=0.
令y=0,得X=—y 由题意，知“
tn.小 一4>0, 故加V0,
一亍＞0
“多练提能•熟生巧”见“课时跟踪检测（十六）”
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