我们把函数增量的线性部分 f (x0 ) x 叫做函数在点x0处的微分。
2、定义 设函数 y = f (x) 在点 x0 处可导，则
称 f ( x0 )x 为函数 f (x) 在点 x0 的微分,
dy / 记作
xx0 即 dy /xx0 f (x0 )x.
3、定义 函数y = f (x)在任意点x的微分，称为函 数的微分，记为dy或df (x)。即
四、微分的应用
例 [金属立体受热后体积的改变量] 某一正方体金属的边长为2cm，当金属受热 边长增加0.01cm时，体积大约改变了是多少？ 解 设边长为xcm的正方体的体积为V立方厘米
d
(arcቤተ መጻሕፍቲ ባይዱan
x)
1
1 x2
dx
d
(arccot
x)
1
1 x
2
dx
2.函数和、差、积、商的微分法则
设 u、v 都是可导函数，c 为常数，则
d(u v) = du dv. d(uv) = vdu + udv. d(cu) = cdu.
d
v u
udv vdu u2
(u 0).
例 5 设函数 y = e1-3x cosx，求 dy . 解 dy = d(e1-3x cosx)
(sec x)sec x tan x d(sec x)sec x tan xdx
(csc x)csc x cot x d(csc x)csc x cot xdx
(a x )a x ln a
d(ax)ax ln adx
(e x)e x
d(ex)exdx
(log
a
x)
1 x ln
a
(ln x ) 1 x
= e1-3x d(cos x) + cosxd(e1-3x ) = e1-3x (- sin x)dx + cosx e1-3x (-3)dx = - e1-3x (sin x + 3cos x)dx .
3、微分形式的不变性
设函数 y f ( x)有导数 f ( x),
(1) 若x是自变量时, dy f ( x)dx;
(不考虑f ( x0 ) 0的特殊情况）
即
y lim x0 x
f (x0 ) 0
y x
f (x0 ) a
其中a是△x→0时的无穷小。
于是
y f (x0) x a x
(1)
(2)
(1)是x的线性函数f (x0)x，
(2)x 是比x高阶无穷小（x 0),
因此，当△x很小时， y f (x0 ) x
dy = [sin(1 - 2x)]dx = cos(1 - 2x) (1 - 2x)dx = - 2cos(1 - 2x)dx.
方法2 把 (1 - 2x) 看成中间变量 u ,则有 dy = d(sinu) = cosudu = cos(1 - 2x)d(1 - 2x) = - 2cos(1 - 2x)dx.
(2) 若x是中间变量时, x (t), 对于复合函数y f ((t)) 有
dy f ( x)(t)dt (t)dt dx, dy f ( x)dx.
结论：无论 x是自变量还是中间变量, 函数 y f ( x)的微分形式总是 dy f ( x)dx
微分形式的不变性
例 7 设函数 y = sin(1 - 2x)，求dy . 解 方法1 利用微分公式 dy = y dx计算, 有
函数的微分
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分公式及运算法则 四、微分在近似计算中的应用
一、微分的概念
1、案例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
x0
x (x)2
x0x
x
正方形面积 y x2,
y (x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
(1)
(arcsin x) 1 1 x2
(arccos x) 1 1 x2
(arctan
x)
1 1 x2
(arccot
x)
1
1 x2
d
(log a x)
1 x ln a
dx
d (ln x ) 1 dx x
d (arcsin x) 1 dx 1 x2
d (arccos x) 1 dx 1 x2
解 因为 dy = ( x2 )′dx = 2xdx = 2xx,
所以
dy x3 23 0.01 0.06, x0.01
而 y (x x)2 – x2 = 2xx + (x)2
= 0.06+ (0.01)2 = 0.0601.
例 2 求函数 y = lnsinx 的微分. 解 dy = (lnsinx)′dx = cot xdx .
(2)
y x02 x0x x0
(1) : x的线性函数,且为y的主要部分;
(2) :x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
因此△y≈2x0△x。
由于y x2 f (x0) 2x0 所以y f (x0 )x
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
设f ( x)在x0处可导, 且f ( x0 ) 0,
dy f (x) x
若y = x，则 dy dx (x) x x
dy f (x)dx 微分公式
说明（1）x 很小时，y dy
(2)dy f (x)dx
dy f ( x).
dx
导数也叫作微商
(3)可导 可微
例 1 求函数 y = x2 在 x = 3, x = 0.01 时的
dy 和 y.
前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是
微分学的一个重要概念。在工程技术中，还会遇 到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变 量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的 增量。一般来说，计算函数增量的准确值是比较 繁难的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算 它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概 念——微分。
二、微分的几何意义
如图所示， PN = dx，NM = y，f (x)= tan dy= f (x)dx = tan PN = NT，
即函数 y = f (x) 的微分 dy y
就是曲线 y = f (x) 在点 x 处的切线纵坐标增量，
y=f (x)
M
P
T dy
N
O
x x + x x
三、微分公式与微分运算法则
1．基本初等函数的微分公式
(x m)m x m1
d(x m)mx m1dx
(sin x)cos x
d(sin x)cos xdx
(cos x)sin x
d(cos x)sin xdx
(tan x)sec 2 x
d(tan x)sec 2xdx
(cot x)csc 2x
d(cot x)csc 2xdx