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概率论与数理统计知识点总结(详细)

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 (2)§2.样本空间、随机事件..................................... 2..§4 等可能概型(古典概型)................................... 3..§5.条件概率.............................................................. 4.. .§6.独立性.............................................................. 4.. .第二章随机变量及其分布 (5)§1随机变量.............................................................. 5.. .§2 离散性随机变量及其分布律................................. 5..§3 随机变量的分布函数....................................... 6..§4 连续性随机变量及其概率密度............................... 6..§5 随机变量的函数的分布..................................... 7..第三章多维随机变量. (7)§1 二维随机变量............................................ 7...§2边缘分布................................................ 8...§3条件分布................................................ 8...§4 相互独立的随机变量....................................... 9..§5 两个随机变量的函数的分布................................. 9..第四章随机变量的数字特征.. (10)§1.数学期望............................................................ 1..0 .§2 方差............................................................ 1..1 .§3协方差及相关系数 (11)第五章大数定律与中心极限定理 (12)§1.大数定律.............................................. 1.2§2中心极限定理 (13)第一章概率论的基本概念§ 2 .样本空间、随机事件1•事件间的关系 A B 则称事件B包含事件A,指事件A发生必然导致事件B发生A」B ={x|x E A或x € B}称为事件A与事件B的和事件,指当且仅当A , B中至少有一个发生时,事件 A 一 B发生Ac B ={x|x乏A且X乏B}称为事件A与事件B的积事件,指当A , B同时发生时,事件A^B发生A —B ={x|x E A且x更B}称为事件A与事件B的差事件,指当且仅当A发生、B不发生时,事件A —B发生B =,则称事件A与B是互不相容的,或互斥的,指事件A与事件B不能同时发生,基本事件是两两互不相容的A _•B =S且 B =•,则称事件A与事件B互为逆事件,又称事件A与事件B互为对立事件2.运算规则交换律A -• B = B -• A AB = B - A结合律(A B) C = A (B C) (A - B)C = A(B - C)分配律A _( B - C) (A 一B) - (A 一C)A - (B C) =(A - B)(A - C)徳摩根律A B = A - B A - B = A 一B§ 3.频率与概率定义在相同的条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数n A称为事件A发生的频数,比值n A.. n称为事件A发生的频率概率:设E是随机试验,S是它的样本空间,对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件的概率1.概率P(A)满足下列条件:(1)非负性:对于每一个事件 A Q <P(A)叮(2)规范性:对于必然事件S P(S) =1n n(3)可列可加性:设A,A2,…,A n是两两互不相容的事件,有P( A k)=» P(A k) ( n可k占kV以取::)2.概率的一些重要性质:(i)P( ) =0n n(ii)若A,A2,…,A n是两两互不相容的事件,则有P( A k)八P(A k) ( n可以取::)(iii )设A, B 是两个事件若A B,贝U P(B - A)二P(B) - P( A) , P(B) _ P(A)(iv)对于任意事件A, P(A)乞1(v)p(A)=1-P(A) (逆事件的概率)(vi)对于任意事件A, B 有P(A_. B)二P(A) P(B)-P(AB)§ 4等可能概型(古典概型)等可能概型:试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个事件发生的可能性相同若事件 A 包含k 个基本事件,即A二6]}{勺}…{飢}, 里i“ i 2,…,i k 是1,2, n 中某k 个不同的数,则有 kk A 包含的基本事件数P(A) = 了纟卩貯卫二匚二s 中基本事件的总数§ 5 .条件概率(1) 定义:设A,B 是两个事件,且P(A) . 0,称P(B | A)二P(AB)为事件A 发生的条P(A)件下事件B 发生的条件概率(2) 条件概率符合概率定义中的三个条件1。

非负性:对于某一事件 B ,有P(B | A) _ 0 2。

规范性:对于必然事件 S ,P(S|A) =1 3可列可加性:设B 「B 2,…是两两互不相容的事件,则有QOQQP(U B i A )=瓦 P(B i A )i 吕i =1设P(A) ■ 0,则有P(AB) =P(B)P(A| B)称为乘法公式n(4) 全概率公式:P(A)=v P(B i )P(A| B i )1' P(B i )P(A|B i )i A§ 6 .独立性定义 设A , B 是两事件,如果满足等式 P(AB)二P(A)P(B),则称事件A,B 相互独立 定理一 设A , B 是两事件,且P(A) 0 ,若A , B 相互独立,则 P(B | A) = P B定理二 若事件A 和B 相互独立,则下列各对事件也相互独立:A 与B ,A 与B ,A 与B(3) 乘法定理贝叶斯公式:P(B k | A)二P(BQP(A|B k )n第二章 随机变量及其分布§ 1随机变量定义设随机试验的样本空间为S ={e}. X =X(e)是定义在样本空间 S 上的实值单值函数,称X =X(e)为随机变量§ 2离散性随机变量及其分布律1.离散随机变量:有些随机变量,它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个,这种随 机变量称为离散型随机变量□0P(X =X k )二 P k 满足如下两个条件(1) P k - 0 , (2) v P k =1k=12.三种重要的离散型随机变量u(1)分布P(A) -p (0 ::: p <1),此时P(A 1- p .将E 独立重复的进行独立实验为n 重伯努利实验。

f、oO!pq ' , k =0,1,2,…n 满足条件(1) P k 兰0, (2)送P k =1注意到总丿km设随机变量 X只能取 0 与1 两个值,它的分布律是P(X 二 k) =p k (1-p )1-k , k 分布。

(2)伯努利实验、二项分布= 0,1 (0 2:1),则称X 服从以 P 为参数的-分布或两点设实验E 只有两个可能结果:A与A ,则称E 为伯努利实验.设 n 次,则称这一串重复的P(X =k)=k q n-k是二项式(p - q)n的展开式中出现p k的那一项,我们称随机变量X服从参数为n , p 的二项分布。

(3 )泊松分布设随机变量X 所有可能取的值为0,1,2…,而取各个值的概率为P(X =k),k= 0,1,2…,其中,0是常数,则称k!§ 3随机变量的分布函数定义 设X 是一个随机变量,x 是任意实数,函数 F(x) = P{X < x}, - :: ::: x :::::称为X 的分布函数分布函数F(x)二P(X 乞x),具有以下性质(1) F(x)是一个不减函数 (2 )0< F(x)岂 1,且 F(-::) =0,F(::) =1 (3) F(x 0) = F(x),即F(x)是右连续的§ 4连续性随机变量及其概率密度连续随机变量:如果对于随机变量X 的分布函数F (x ),存在非负可积函数f (x),使x对于任意函数 x 有F(x)二f (t ) dt,则称x 为连续性随机变量,其中函数 f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度1概率密度f (x)具有以下性质,满足(1) f(x)_0,(2)__ f(x)dx = 1;X 2(3) P(x^i X < x 2^ J f (x)dx ; (4)若 f (x)在点 x 处连续,则有 F ,(x)二 f (x) x 12,三种重要的连续型随机变量 (1)均匀分布均匀分布•记为X ~ U (a , b ) (2)指数分布I 1 -XV若连续性随机变量 X 的概率密度为f (X )二丁:: ei 0X 服从参数为■的泊松分布记为若连续性随机变量 X 具有概率密度〔丄f(x)二 b-aI 0 a £ x £ b■ ■,则成X 在区间(a,b)上服从 ,其他,x. 0 ,其他其中二0为常数,则称X服从参数为V 的指数分布。

(3 )正态分布若 连 续 型 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 为d (x-P 2f (x ): ----- e 匚,-:::::x ::::,<'2ncr其中」,二(二■ 0)为常数,则称X 服从参数为」,二的正态分布或 高斯分布,记 为X ~ N (,二2)特别,当-0, ;「=1时称随机变量X 服从标准正态分布§ 5随机变量的函数的分布h(y) !h '(y)^ a < y < P 0 ,其他第三章 多维随机变量§ 1二维随机变量定义 设E 是一个随机试验,它的样本空间是 S 二{e }. X =X (e )和丫二丫(e )是定义在S上的随机变量,称 X =X (e )为随机变量,由它们构成的一个向量( X ,Y )叫做二维随机变量设(X , Y )是二维随机变量,对于任意实数x , y ,二元函数 F (x ,y )二 P {(X <x ) f(Y ^y )}记成P {X 空 x ,Y < y }称为二维随机变量(X ,Y )的 分布函数如果二维随机变量(X ,Y )全部可能取到的值是有限对或可列无限多对,则称( X , Y )是离散型的随机变量。

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