k
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n xi yi xi yi n xi2 ( xi ) 2
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x y x x y b n x ( x )
2 i i 2 i i i 2 i
i
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最小二乘拟合方法
y
y=kx+b
x
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2、灵敏度

传感器输出的变化量与引起该变化量的输 入变化量之比即为其静态灵敏度
St

其中, s j , 拉氏变换自变量
是收敛因子， 为角频率
dny d n 1 y dy an n an 1 n 1 ......a1 a 0 y dt dt dt d mx d m 1 x dx bm m bm 1 m 1 ......b1 b0 x dt dt dt
X(s)
H(s)
Y(s)
（3）相同的传递函数可以表征不同物理系统
（4）通过实验求传递函数
1. 瞬态响应特性

在时域内研究传感器的动态特性时，常用的激 励信号有阶跃函数、脉冲函数和斜坡函数等。
传感器对所加激励信号的响应称为瞬态响应。

理想情况下，阶跃输入信号的大小对过渡过程 的曲线形状是没有影响的。但在实际做过渡过 程实验时，应保持阶跃输入信号在传感器特性 曲线的线性范围内。
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对于初始状态为零的传感器，当输入为单位阶跃信号时， X(s)=1/s,传感器输出的拉氏变换为
1 1 Y ( s) H ( s) X ( s) s 1 s
则一阶传感器的单位阶跃响应为
y( t ) L Y ( s ) 1 e
1
t
时间常数τ：一阶传感器输出上升 到稳态值的63.2%所需的时间。表 征传感器响应速度的快慢。 一阶传感器的时间常数τ越小越好
其中b0 0, b1 b2 ... bm 0
dny d n 1 y dy an n an 1 n 1 ......a1 a 0 y b0 x dt dt dt
零阶环节 a 0 y b0 x 零阶传感器 比例环节、 无惯性环节
dy a 0 y b0 x 一阶环节 a1 dt
简写为：
any ( n ) an 1 y ( n 1) ......a1 y (1) a 0 y bmx ( m ) bm 1 x ( m 1) ......b1 x (1) b0 x
两边取拉氏变换：
(ans n an 1s n1 ......a1s a 0)Y ( s) (bms m bm 1s m1 ......b1s b0) X ( s)
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⑴ 一阶传感器的单位阶跃响应

设x ( t )、y ( t ) 分别为传感器的输入量和输出 量，均是时间的函数，则一阶传感器的传递函 数为
Y ( s) K H ( s) X (s) s 1
式中 τ——时间常数； K——静态灵敏度。 由于在线性传感器中灵敏度 K为常数，在动态特性分析中，K只 起着使输出量增加K倍的作用。讨论时采用 K=1。
时间常数τ越小，频率响应特性越好。 当ωτ<< 1时，A (ω)≈1，Φ (ω)≈ωτ， 表明传感器输出与输入为线性关系，相位差与频率ω成线性关系， 输出 y ( t ) 比较真实地反映输入x ( t ) 的变化规律。 因此，减小τ可以改善传感器的频率特性。
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⑶ 二阶传感器的频率特性
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⑵ 二阶传感器的单位阶跃响应
二阶传感器的传递函数为
2 n Y ( s) H ( s) 2 X (s) s 2 2 n s n
式中 ωn—— 传感器的固有频率； ζ—— 传感器的阻尼比。 在单位阶跃信号作用下，传感器输出的拉氏变换为
2 n Y ( s) H ( s) X ( s) 2 s(s 2 2 n s n )
6. 零点漂移

传感器在长时间工作的情况下，输入量不变而输 出量发生的变化，长时间工作稳定性或零点漂移
零漂＝
Y0 100% YFS
式中 ΔY0 ——最大零点偏差；
YFS ——满量程输出。
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6、温漂

传感器在外界温度发生变化的情况下， 输入量不变输出量发出的变化
温漂＝
max 100% YFS T
二阶传感器的频率特性表达式、幅频特性、相频特性分别为
H ( j ) 1 n
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⑶ 瞬态响应特性指标

时间常数 τ 是描述一阶传感器动态特性的重要参数， τ 越小，响应速度越快。 二阶传感器阶跃响应的典型性能指标可由下图表示，
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各指标定义如下： ① 上升时间tr 输出由稳态值的10%变化到稳态值 的90%所用的时间。 ② 响应时间ts 系统从阶跃输入开始到输出值进入 稳态值所规定的范围内所需要的时间。 ③ 峰值时间tp 阶跃响应曲线达到第一个峰值所需 时间。

Y ( s) L( y (t )) y (t )e St dt X ( s) L( x(t )) x(t )e St dt
0 0
输出量拉氏变换 输入量拉氏变换
传递函数：
Y ( s) bms m bm 1s m1 ......b1s b0 H ( s) X ( s) ans n an 1s n1 ......a1s a 0
4、迟滞

正（输入量增大）反（输入量减小）行程中输 出输入曲线不重合称为迟滞 Y
H (Hmax YFS ) 100%
H max —正反行程间输出的最大差值。
ΔHmax
迟滞误差的另一名称叫回程误差，常用绝对误差表示 检测回程误差时，可选择几个测试点，对应于每一输入信号， 传感器正行程及反行程中输出信号差值的最大者即为回程误差。
④ 超调量σ 传感器输出超过稳态值的最大值ΔA， 常用相对于稳态值的百分比σ表示。
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2. 频率响应特性

传感器对正弦输入信号的响应特性 频率响应法是从传感器的频率特性出发研究传 感器的动态特性。 （1）零阶传感器的频率特性 （2）一阶传感器的频率特性 （3） 二阶传感器的频率特性 （4）频率响应特性指标
2.1 传感器的静态特性

定义：在稳态信号作用下的输入－输出关系。 不含有时间变量。
– 线性度 – 灵敏度 – 分辨率 – 迟滞 – 重复性 – 漂移
1、线性度:输出输入间成线性关系的程度
y a0 a1x a2 x2 a3 x3 an xn
输 出 量 零 点 输 出 理 输 论 灵 入 敏 量 度
一阶传感器
d2y dy a 0 y b0 x 二阶传感器 二阶环节 a 2 2 a1 dt dt
2. 传递函数
定义：初始条件为零时，输出量（响应函数）的拉普 拉斯变换与输入量（激励函数）拉普拉斯变换之比。 拉氏变换： 当t 0时，y (t ) 0
Y ( s) 0 y (t )e dt
y
ΔLmax
x
②过零旋转拟合
曲线过零的传感器。拟合时，使 L1 L2 LMax
y
ΔL1
ΔL2
x
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③端点连线拟合

把输出曲线两端点的连线作为拟合直线
y
ΔLmax
x
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④端点连线平移拟合

在端点连线拟合基础上使直线平移，移动距离 为原先的一半 L2 L1 L3 LMax y
Y ( s) bms bm 1s ......b1s b0 H ( s) X ( s) ans n an 1s n 1 ......a1s a 0
m
m 1
特点：
（1）反映传感器系统本身特性，与 x(t) 无关。 （2）X(s)、Y(s)、H(s) 知二求一
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对Y（s）进行拉氏反变换，即可得到单位阶跃响应。 图1.4.6为二阶传感器的单位阶跃响应曲线。
传感器的响应在很大程度上取决于阻尼比ζ和固有频率ωn 。 在实际使用中，为了兼顾有短的上升时间和小的超调量， 一般传感器都设计成欠阻尼式的，阻尼比ζ一般取在0.6~0.8之间。 带保护套管的热电偶是一个典型的二阶传感器。
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动态模型
1. 微分方程
微分方程 传递函数
条件：线性定常系统
dny d n 1 y dy an n an 1 n 1 ......a1 a 0 y dt dt dt d mx d m 1 x dx bm m bm 1 m 1 ......b1 b0 x dt dt dt
非线性项系数
直线拟合线性化
L (Lmax YFS ) 100%
最大非线性误差 满量程输出
非线性误差或线性度 y
ΔLmax
x
直线拟合线性化

出发点
拟合方法：
获得最小的非线性误差
①理论拟合； ②过零旋转拟合； ③端点连线拟合； ④端点连线平移拟合； ⑤最小二乘拟合；
①理论拟合
拟合直线为传感器的理论特性，与实际测试值无关。 方法十分简单，但一般说 LMax 较大
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⑵ 一阶传感器的频率特性
将一阶传感器的传递函数中的s用jω代替， 即可得到频率特性表达式
H ( j ) 1 ( j ) 1