第2章《直线与圆的位置关系》单元提升培优测试题一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1﹒如图，∠APB＝30°，O为P A上一点，且PO＝6，以点O为圆心，半径为33的圆与OB的位置关系是（）A﹒相离B﹒相切C﹒相交D﹒以上三种情况均有可能第1题图第2题图第3题图第4题图2﹒如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连结BC并延长交AE于点D.若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为（）A﹒20°B﹒40°C﹒50°D﹒60°3﹒如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线DM，交BC于M，切点为N，则DM的长为（）A﹒133B﹒92C﹒433D﹒254﹒如图，两个同心圆（圆心相同半径不同的圆）的半径分别为6cm和3cm，大圆的弦AB 与小圆相切，则劣弧AB的长为（）A﹒2πB﹒4πC﹒6πD﹒8π5﹒如图，P A，PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径.若∠P＝40°，则∠BAC 的度数为（）A﹒20°B﹒25°C﹒30°D﹒40°第5题图第6题图第7题图第8题图6﹒如图，如果等边△ABC的内切圆⊙O的半径为2，那么△ABC的面积为（）A﹒3B﹒3C﹒3D﹒37﹒如图，以半圆O中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若AD＝2，且AB＝10，则CB的长为（）A ﹒45B ﹒43C ﹒42D ﹒4 8﹒如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 为直径作圆，交斜边AB 于点E ，D 为AC 的中点，连结DO ，DE .则下列结论中不一定正确的是（ ）A ﹒DO ∥AB B ﹒△ADE 是等腰三角形C ﹒DE ⊥ACD ﹒DE 是⊙O 的切线 9﹒如图，在△ABC 中，∠BCA ＝60°，∠A ＝40°，AC ＝26， 经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点 M ，N ，则线段MN 长度的最小值是（ ） A ﹒3 B ﹒23 C ﹒22 D ﹒610.如图，在△ABC 中，AB ＝CB ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过点C 作CF ∥AB ，在CF 上取一点E ，使DE ＝CD ，连结AE .给出以下结论： ①AD ＝DC ；②△CBA ∽△CDE ；③BD ＝AD ；④AE 为 ⊙O 的切线，其中正确的结论是（ ） A ﹒①② B ﹒①②③C ﹒①④D ﹒①②④ 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案. 11.在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（3，0），⊙A 的半径为1，若直线y ＝mx －m （m ≠0）与⊙A 相切，则m 的值为_______________. 12.已知：在Rt ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点O 和M 分别为Rt ABC 的外心和内心，则线段OM 的长为_____________.13.如图，AB 是⊙O 的直径，OA ＝1，AC 是⊙O 的弦，过点C 的切线交AB 的延长线于点D .若BD ＝2－1，则∠ACD ＝__________.第13题图 第14题图 第16题图14.如图，AB 为⊙O 的直径，延长AB 至点D ，使BD ＝OB ，DC 切⊙O 于点C ，点B 是CF 的中点，弦CF 交AB 于点E .若⊙O 的半径为2，则CF ＝__________.15.已知：点P 是半径为1的⊙O 外一点，P A 切⊙O 于点A ，且P A ＝1，AB 是⊙O 的弦，AB ＝2，连结PB ，则PB ＝_______________.第10题图 第9题图相交于点Q，连结DQ，给出如下结论：①DQ＝1；②PQBQ＝32；③S△PDQ＝18；④cos∠ADQ＝35，其中正确结论是_________________.（只填写序号）三、解答题（本题有7小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17.(6分)如图，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切于点E，交AB的延长线于点D，连结BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连结AC.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD＝OB＝4，求弦AE的长.18.(8分)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于点B.（1）当AD是多少时，四边形BCOE是平行四边形？（2）试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由.19.(8分)如图，已知直线y＝－3x+3分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P是反比例函数y＝3x（x＜0）图象上的一动点，PH⊥x轴于点H，若以点P为圆心，PH为半径作⊙O，当⊙O与直线AB恰好相切时，求此时OH的长.20.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，以BC边上一点O为圆心的半圆与AB切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD＝2，AE＝3，tan∠BOD＝23.（1）求⊙O的半径OD长；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图两部分阴影面积的和.21.(10分)已知，AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP＝OB＝2，点Q在⊙O上，连结PQ.（1）如图1，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长；（2）如图2，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC＝CQ，连结OQ，交AC于点D.①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；②求线段PQ的长.图1 图222.(12分)如图，已知AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2＝EH EA；（3）若⊙O的半径为5，sin A＝35，求BH的长.23.(12分)如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y＝34x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B.（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离.参考答案Ⅰ﹒答案部分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A B A D A C A D 二、填空题11.±33. 12. 5. 13. 112.5°.14. 23. 15. 1或5. 16.①②④．三、解答题17.解答：（1）证明：连结OE，∵CD切⊙O于点E，∴OE⊥CD，∴∠CEO＝90°，∵BE∥OC，∴∠AOC＝∠OBE，∠COE＝∠OEB，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠AOC＝∠COE，又∵OA＝OE，OC＝OC，∴△AOC≌△EOC（SAS），∴∠CAO＝∠CEO＝90°，即AC⊥OA，∴AC是⊙O的切线；（2）在Rt△DEO中，BD＝OB，∴BE＝12OD＝OB＝4，∵OB＝OE，∴△BOE是等边三角形，∴∠ABE＝60°，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴AE＝BE tan60°＝43.18.解答：（1）如图，连结BD，∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE＝90°，假设四边形BCOE是平行四边形，则BC∥OE，BC＝OE＝1，在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC＝12AD＝1，∴AD＝2，∴当AD＝2时，四边形BCOE为平行四边形；（2）BC与⊙O相切，理由如下：∴四边形BCDO为平行四边形，∵AD切⊙O于点D，∴OD⊥AD，∴平行四边形BCDO为矩形，∴OB⊥BC，19.解答：作PC⊥AB于C，连结AP，∵直线y＝﹣3x+3分别与x轴、y轴交于A、B，当y＝0时，x＝3，当x＝0时，y＝3，∴A（3，0），B（0，3），∵∠AOB＝90°，tan∠OAB＝33＝3，∴∠OAB＝60°，∵以P为圆心，PH为半径的圆与直线AB相切，∴PH＝PC，∴AP平分∠OAB，∴∠P AH＝12∠OAB＝30°，设OH＝x，则AH＝x+3，∵PH⊥x轴，∴∠PHA＝90°，∴tan∠P AH＝PH AH，∴PH＝AH tan30°＝33（x+3），∵点P是y＝﹣3x（x＜0）的图象上一点，∴PH OH＝3，即33(x+3)x＝3，解得：x＝1532-（负值舍去），∴OH＝153 2-.20.解答：（1）∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD＝2，tan∠BOD＝BDOD＝23，∴OD＝3；（2）连结OE，∵AE＝OD＝3，AE∥OD，∴AD ∥EO ，∵DA ⊥AE ，∴OE ⊥AC ， 又∵OE 为⊙O 的半径， ∴AE 为⊙O 的切线； （3）∵OD ∥AC ，∴BD AB ＝OD AC ，即223+＝3AC，∴AC ＝7.5，∴EC ＝AC ﹣AE ＝7.5﹣3＝4.5，∴S 阴影＝S △BDO +S △OEC ﹣S 扇形FOD ﹣S 扇形EOG＝12×2×3+12×3×4.5﹣2903360π⨯＝3+274﹣94π＝3994π-．21.解答：（1）如图1，连结OQ ， ∵PQ 切⊙O 于点Q ， ∴OQ ⊥PQ ， 又∵BP ＝OB ＝OQ ＝2，∴PQ ＝22OP OQ -＝2242-＝23； （2）OQ ⊥AC ，理由如下：如图②，连结BC ， ∵BP ＝OB ，∴点B 是OP 的中点， 又∵PC ＝CQ ，∴BC 是△PQO 的中位线， ∴BC ∥OQ ， 又∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ， ∴OQ ⊥AC ；（3）如图②，连结AQ ，∵四边形ABCQ 内接于⊙O ，∴∠PCB ＝∠P AQ ， 又∵∠P ＝∠P ，∴△PCB ∽△P AQ ， ∴PC PA＝PB PQ ，即PC PQ ＝PB P A ， ∴12PQ 2＝2×6，解得PQ ＝26． 22.解答：（1）证明：∵∠ODB ＝∠AEC ，∠AEC ＝∠ABC ， ∴∠ODB ＝∠ABC ，∵OF ⊥BC ，∴∠BFD ＝90°，∴∠ABC +∠DBF ＝90°，即∠OBD ＝90°， ∴BD ⊥OB ，∴BD 是⊙O 的切线；（2）证明：连结AC ，∵OF ⊥BC ， ∴BE ＝CE ， ∴∠CAE ＝∠ECB ， ∵∠CEA ＝∠HEC ， ∴△CEH ∽△AEC ，∴CE EH ＝EACE，∴CE 2＝EH EA ； （3）解：连结BE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，∵⊙O 的半径为5，sin ∠BAE ＝35，∴AB ＝10，BE ＝AB sin ∠BAE ＝10×35＝6，∴EA ＝22AB BE -＝22106-＝8， ∵BE ＝CE ， ∴BE ＝CE ＝6， ∵CE 2＝EHEA ，∴EH ＝268＝92，在Rt △BEH 中，BH ＝22BH EH +＝2296()2+＝152．23.解答：（1）如图，连结AE ，由已知得：AE ＝CE ＝5，OE ＝3， 在Rt △AOE 中，由勾股定理得：OA ＝22AE OE -＝2253-＝4， ∵OC ⊥AB ，∴由垂径定理得：OB ＝OA ＝4， ∴OC ＝OE +CE ＝3+5＝8， ∴A （0，4），B （0，－4），C （8，0）， ∵抛物线的顶点为C ，设抛物线的解析式为：y ＝a (x －8)2，将点B 的坐标代入上解析式得：64a ＝－4，解得a ＝－116，∴y ＝－116(x －8)2， ∴抛物线的解析式为y ＝－116x 2+x －4；3316∴点D的坐标为（－163，0），∴OD＝163，当x＝0时，y＝4，∴点A在直线l上，在Rt△AOE和Rt△DOA中，∵OEOA＝34，OAOD＝34，∴OEOA＝OAOD，∵∠AOE＝∠DOA＝90°，∴△AOE∽△DOA，∴∠AEO＝∠DOA，∵∠AOE+∠EAO＝90°，∴∠DAO+∠EAO＝90°，即∠DAE＝90°，∴直线l与⊙O相切于A.（3）过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作PM⊥x轴，交直线l于点M，设M(m，34m+4)，P(m，－116x2+x－4)，则PM＝34m+4－(－116x2+x－4)＝116(m－2)2+314，当m＝2时，PM取得最小值314，此时，P（2，－94），对于△PQM，∵PM⊥x轴，∴∠QMP＝∠DAO＝∠AEO，又∠PQM＝90°，∴△PQM的三个内角固定不变，∴在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变，∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，∴PQ最小值＝PM最小值sin∠QMP＝PM sin∠AEO＝314×45＝315，∴当抛物线上的动点P的坐标为（2，－94）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为315.Ⅱ﹒解答部分：1﹒如图，∠APB＝30°，O为P A上一点，且PO＝6，以点O为圆心，半径为33的圆与OB的位置关系是（）A﹒相离B﹒相切C﹒相交D﹒以上三种情况均有可能解答：过点O作OC⊥PB于点C，∵∠APB＝30°，∴OC＝12PO＝3，∵3＜33，∴半径为33的圆与OB的位置关系是相交，故选：C.2﹒如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连结BC并延长交AE于点D.若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为（）A﹒20°B﹒40°C﹒50°D﹒60°解答：∵AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，∴∠BAD＝90°，∵∠B＝12∠AOC＝40°，∴∠ADB＝90°﹣∠B＝50°，故选：B．3﹒如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线DM，交BC于M，切点为N，则DM的长为（）A﹒133B﹒92C﹒433D﹒25解答：连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，∴四边形AFOE，FBGO是正方形，∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，∴DE＝3，∵DM是⊙O的切线，∴DN＝DE＝3，MN＝MG，∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN，在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，即(3+NM)2＝(3﹣NM)2+42，解得：NM＝43，∴DM＝3+43＝133，故选：A．4﹒如图，两个同心圆（圆心相同半径不同的圆）的半径分别为6cm和3cm，大圆的弦AB 与小圆相切，则劣弧AB的长为（）A﹒2πB﹒4πC﹒6πD﹒8π解答：如图所示，连结OA，OC，∵弦AB切小圆于点C，∴OC⊥AB，∵OA＝6，OC＝3，∴OC＝12OA，∴∠A＝30°，∴∠AOC＝60°，同理，∠BOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∴劣弧AB的长＝1206180π⨯＝4π，故选：B.5﹒如图，P A，PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径.若∠P＝40°，则∠BAC的度数为（ ） A ﹒20° B ﹒25° C ﹒30° D ﹒40° 解答：连结BC ，OB ，∵P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，又∠P ＝40°，∴∠AOB ＝180°－∠P ＝140°，∴∠BOC ＝40°，∴∠BAC ＝12∠BOC ＝20°， 故选：A .6﹒如图，如果等边△ABC 的内切圆⊙O 的半径为2，那么△ABC 的面积为（ ） A ﹒43 B ﹒63 C ﹒83 D ﹒123 解答：连结OB ，OD ，OA ，∵⊙O 是等边△ABC 的内切圆，∴∠OBD ＝30°，∠BDO ＝90°，∴OB ＝2OD ＝4，由勾股定理得：BD ＝22OB OD ＝23，同理，CD ＝23，∴BC ＝BD +CD ＝43，∵△ABC 是等边三角形，A ，O ，D 三点共线，∴AD ＝6，∴S △ABC ＝12BC AD ＝123， 故选：D .7﹒如图，以半圆O 中的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ， 若AD DB ＝23，且AB ＝10，则CB 的长为（ ） A ﹒45 B ﹒43 C ﹒42 D ﹒4 解答：如图，∵AD DB ＝23，且AB ＝10， ∴AD ＝4，BD ＝6，作AB 关于直线BC 的对称线段A′B ，交半圆于D′，连接AC 、CA′，可得A 、C 、A′三点共线，∵线段A′B 与线段AB 关于直线BC 对称，∴AB ＝A′B ，∴AC ＝A′C ，AD ＝A′D′＝4，A′B ＝AB ＝10．而A′C A′A ＝A′D′A′B ，即2A′C 2＝4×10＝40．则A′C 2＝20，又∵A′C 2＝A′B 2﹣CB 2，∴20＝100﹣CB 2，∴CB ＝45，故选：A ．8﹒如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 为直径作圆，交斜边AB 于点E ，D 为AC 的中点，连结DO ，DE .则下列结论中不一定正确的是（ ）A ﹒DO ∥AB B ﹒△ADE 是等腰三角形C ﹒DE ⊥ACD ﹒DE 是⊙O 的切线 解答：连接OE ，∵D 为AC 的中点，O 为BC 的中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴DO ∥AB ，故选项A 正确；∴∠COD ＝∠B ，∠DOE ＝∠OEB ，∠CDO ＝∠A ，∠EDO ＝∠DEA ，∵OE ＝OB ，∴∠OEB ＝∠B ，∴∠COD ＝∠DOE ，在△COD 和△EOD 中，OC OE COD EOD OD OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COD ≌△EOD （SAS ），∴∠OED ＝∠OCD ＝90°，∠CDO ＝∠EDO ，∴DE 为⊙O 的切线，故选项D 正确；∵∠A ＝∠DEA ，∴△AED 为等腰三角形，故选项B 正确，则不一定正确的为DE ⊥AC ．故选：C .9﹒如图，在△ABC 中，∠BCA ＝60°，∠A ＝40°，AC ＝26，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点M ，N ，则线段MN 长度的最小值是（ ）A ﹒3B ﹒23C ﹒22D ﹒6解答：如图，作CF ⊥AB 于点F ，以CF 为直径作⊙O ，与CB ，CA 分别相交于点M ，N ，则线段MN 的长最小，∵⊙O 的直径是点C 到AB 距离最小的，此时∠MON 为定值，∴线段MN 此时长最小，∴∠CF A ＝90°，∵∠A ＝45°，AC ＝26，∴CF ＝2AC ＝23，即⊙O 的半径为3， 作OE ⊥MN 于点E ，连结OM ，ON ，则∠MOE ＝12∠MON ， ∵∠BCA ＝60°，∴∠MON ＝120°，∴∠MOE＝60°，∴ME＝OM sin60°＝3 2∴MN＝2ME＝3，故选：A.10.如图，在△ABC中，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE＝CD，连结AE.给出以下结论：①AD＝DC；②△CBA∽△CDE；③BD＝AD；④AE为⊙O的切线，其中正确的结论是（）A﹒①②B﹒①②③C﹒①④D﹒①②④解答：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，而AB＝CB，∴AD＝DC，故①正确；∵AB＝CB，∴∠1＝∠2，而CD＝ED，∴∠3＝∠4，∵CF∥AB，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴△CBA∽△CDE，故②正确；∵△ABC不能确定为直角三角形，∴∠1不能确定等于45°，∴BD与AD不能确定相等，故③错误；∵DA＝DC＝DE，∴点E在以AC为直径的圆上，∴∠AEC＝90°，∴CE⊥AE，而CF∥AB，∴AB⊥AE，∴AE为⊙O的切线，故④正确，故选：D．二、填空题11.在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（3，0），⊙A的半径为1，若直线y＝mx－m（m≠0）与⊙A相切，则m的值为_______________.解答：如图所示，设直线y＝mx－m（m≠0）与x轴相交于点C，与y轴交于点D，令y＝0，则mx－m＝0，解得：x＝1，令x＝0，则y＝－m，故B（0，－m），C（1，0），∴OB＝m＝m，∵直线y＝mx－m与⊙A相切，∴易得△ACD∽△BCO，∴DC：OC＝AD：OB，即3：1＝1：m，解得：m＝±33，故答案为：±33.12.已知：在Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点O和M分别为Rt ABC的外心和内心，则线段OM 的长为_____________. 解答：如图，作△ABC 的内切圆⊙M ，过点M 作MD ⊥BC 于D ，ME ⊥AC 于E ，MN ⊥AB 于N ，在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，∴AB ＝22AC BC +＝10，∵点O 为外接圆的外心，∴AO ＝12AB ＝5， 设⊙M 的半径为R ，则MD ＝ME ＝R ，又∵∠MDC ＝∠MEC ＝∠C ＝90°，∴四边形MECD 是正方形，∴CE ＝CD ＝R ，AE ＝AN ＝6－R ，BD ＝BN ＝8－R ，∵AB ＝10，∴8－R +6－R ＝10，解得：R ＝2，∴MN ＝R ＝2，AN ＝6－R ＝4，在Rt △OMN 中，∵∠MNO ＝90°，ON ＝AO －AN ＝1， ∴OM ＝22MN ON +＝5，故答案为：5.13.如图，AB 是⊙O 的直径，OA ＝1，AC 是⊙O 的弦，过点C 的切线交AB 的延长线于点D .若BD ＝2－1，则∠ACD ＝__________.解答：如图，连结OC ，∵OC 是⊙O 的切线，∴OC ⊥DC ，∵BD ＝2－1，OA ＝OB ＝OC ＝1，∴OD ＝2，∴CD ＝22OD OC -＝1，∴OC ＝OD ，∴∠DOC ＝45°，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝12∠DOC ＝22.5°， ∴∠ACD ＝∠OCA +∠OCD ＝22.5+90°＝112.5°，故答案为：112.5°. 14.如图，AB 为⊙O 的直径，延长AB 至点D ，使BD ＝OB ，DC 切⊙O 于点C ，点B 是CF 的中点，弦CF 交AB 于点E .若⊙O 的半径为2，则CF ＝__________.解答：连结OC ，∵DC 切⊙O 于点C ，∴∠OCD ＝90°，∵BD ＝OB ，∴OB ＝12OD ， ∵OC ＝OB ，∴OC ＝12OD ， ∴∠D ＝30°，∴∠COD ＝60°，∵AB为⊙O的直径，点B是CF的中点，∴CF⊥OB，CE＝EF，∴CE＝OC sin60°＝2×32＝3，∴CF＝23，故答案为：23.15.已知：点P是半径为1的⊙O外一点，P A切⊙O于点A，且P A＝1，AB是⊙O的弦，AB＝2，连结PB，则PB＝_______________.解答：分两种情况：（1）如图1，连结OA，∵P A＝AO＝1，OA＝OB，P A是⊙O的切线，∴∠AOP＝45°，∵OA＝OB，∴∠BOP＝∠AOP＝45°，又∵OP＝OP，∴△POA≌△POB（SAS），∴PB＝P A＝1；（2）如图2，连结OA，与PB交于点C，∵P A是⊙O的切线，∴OA⊥P A，而P A＝PO＝1，∴OP＝2，∵AB＝2，而OA＝OB＝1，∴AO⊥BO，∴四边形P ABO是平行四边形，∴PB与AO互相平分，设AO交PB于点C，则OC＝12OA＝12，∴BC＝52，∴PB＝5，故答案为：1或5.16.如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD的中点，BP与半圆相交于点Q，连结DQ，给出如下结论：①DQ＝1；②PQBQ＝32；③S△PDQ＝18；④cos∠ADQ＝35，其中正确结论是_________________.（只填写序号）解答：①连结OQ，OD，如图1所示，易证四边形DOBP是平行四边形，∴DO∥BP．∵OQ＝OB，∴∠AOD＝∠QOD，∴△AOD≌△QOD，∴DQ＝DA＝1．故①正确；②连接AQ，如图2．则CP＝12，BP＝2211()2+＝52，易证Rt△AQB∽Rt△BCP，运用相似三角形的性质可求得BQ＝55，则PQ＝52﹣55＝3510，∴PQBQ＝32．故②正确；③过点Q作QH⊥DC于H，如图3．易证△PHQ∽△PCB，运用相似三角形的性质可求得QH＝35，∴S △DPQ＝12DP QH＝12×12×35＝320，故③错误；④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．易得DP∥NQ∥AB，根据平行线分线段成比例可得DNAN＝PQBQ＝32，则有1DNDN-＝32，解得：DN＝35．由DQ＝1，得cos∠ADQ＝DNDQ＝35，故④正确．综上所述：正确结论是①②④．故答案为：①②④．三、解答题17.如图，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切于点E，交AB的延长线于点D，连结BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连结AC.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD＝OB＝4，求弦AE的长.解答：（1）证明：连结OE，∵CD切⊙O于点E，∴OE⊥CD，∴∠CEO＝90°，∵BE∥OC，∴∠AOC＝∠OBE，∠COE＝∠OEB，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠AOC＝∠COE，又∵OA＝OE，OC＝OC，∴△AOC≌△EOC（SAS），∴∠CAO＝∠CEO＝90°，即AC⊥OA，∴AC是⊙O的切线；（2）在Rt△DEO中，BD＝OB，∴BE＝12OD＝OB＝4，∵OB＝OE，∴△BOE是等边三角形，∴∠ABE＝60°，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴AE＝BE tan60°＝43.18.(8分)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于点B.（1）当AD是多少时，四边形BCOE是平行四边形？（2）试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由.解答：（1）如图，连结BD，∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE＝90°，假设四边形BCOE是平行四边形，则BC∥OE，BC＝OE＝1，在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC＝12AD＝1，∴AD＝2，∴当AD＝2时，四边形BCOE为平行四边形；（2）BC与⊙O相切，理由如下：连结OB，∵BC∥OD，BC＝OD，∴四边形BCDO为平行四边形，∵AD切⊙O于点D，∴OD⊥AD，∴平行四边形BCDO为矩形，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线.19.(8分)如图，已知直线y＝－3x+3分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P是反比例函数y＝3x（x＜0）图象上的一动点，PH⊥x轴于点H，若以点P为圆心，PH为半径作⊙O，当⊙O与直线AB恰好相切时，求此时OH的长. 解答：作PC⊥AB于C，连结AP，∵直线y＝﹣3x+3分别与x轴、y轴交于A、B，当y＝0时，x＝3，当x＝0时，y＝3；∴A（3，0），B（0，3）；∵∠AOB＝90°，tan∠OAB＝33＝3，∴∠OAB＝60°，∵以P为圆心，PH为半径的圆与直线AB相切，∴PH＝PC，∴AP平分∠OAB，∴∠P AH＝12∠OAB＝30°，设OH＝x，则AH＝x+3，∵PH⊥x轴，∴∠PHA＝90°，∴tan∠P AH＝PH AH，∴PH＝AH tan30°＝33（x+3），∵点P是y＝﹣3x（x＜0）的图象上一点，∴PH OH＝3，即33(x+3)x＝3，解得：x＝1532-（负值舍去），∴OH＝153 2-.20.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，以BC边上一点O为圆心的半圆与AB切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD＝2，AE＝3，tan∠BOD＝23.（1）求⊙O的半径OD长；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图两部分阴影面积的和.解答：（1）∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD＝2，tan∠BOD＝BDOD＝23，∴OD＝3；（2）连结OE，∵AE＝OD＝3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD∥EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE为⊙O的半径，∴AE 为⊙O 的切线； （3）∵OD ∥AC ， ∴BD AB ＝OD AC，即223+＝3AC ， ∴AC ＝7.5，∴EC ＝AC ﹣AE ＝7.5﹣3＝4.5，∴S 阴影＝S △BDO +S △OEC ﹣S 扇形FOD ﹣S 扇形EOG ＝12×2×3+12×3×4.5﹣2903360π⨯ ＝3+274﹣94π ＝3994π-． 21.(10分)已知，AB 是⊙O 的直径，点P 在线段AB 的延长线上，BP ＝OB ＝2，点Q 在⊙O 上，连结PQ .（1）如图1，线段PQ 所在的直线与⊙O 相切，求线段PQ 的长；（2）如图2，线段PQ 与⊙O 还有一个公共点C ，且PC ＝CQ ，连结OQ ，交AC 于点D . ①判断OQ 与AC 的位置关系，并说明理由；②求线段PQ 的长.解答：（1）如图1，连结OQ ，∵PQ 切⊙O 于点Q ， ∴OQ ⊥PQ ，又∵BP ＝OB ＝OQ ＝2，∴PQ ＝22OP OQ -＝2242-＝23；（2）OQ ⊥AC ，理由如下：如图②，连结BC ，∵BP ＝OB ，∴点B 是OP 的中点，又∵PC ＝CQ ，∴BC 是△PQO 的中位线，∴BC ∥OQ ，又∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，∴OQ ⊥AC ；（3）如图②，连结AQ ，∵四边形ABCQ 内接于⊙O ，∴∠PCB ＝∠P AQ ，又∵∠P ＝∠P ，∴△PCB ∽△P AQ ，∴PC PA＝PB PQ ，即PC PQ ＝PB P A ， ∴12PQ 2＝2×6，解得PQ ＝26． 22.(12分)如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，OF ⊥BC 于点F ，交⊙O 于点E ，AE 与BC 交于点H ，点D 为OE 的延长线上一点，且∠ODB ＝∠AEC .（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）求证：CE 2＝EH EA ；（3）若⊙O 的半径为5，sin A ＝35，求BH 的长. 解答：（1）证明：∵∠ODB ＝∠AEC ，∠AEC ＝∠ABC ，∴∠ODB ＝∠ABC ，∵OF ⊥BC ，∴∠BFD ＝90°，∴∠ODB +∠DBF ＝90°，∴∠ABC +∠DBF ＝90°，即∠OBD ＝90°，∴BD ⊥OB ，∴BD 是⊙O 的切线；（2）证明：连结AC ，∵OF ⊥BC ， ∴BE ＝CE ，∴∠CAE ＝∠ECB ，∵∠CEA ＝∠HEC ，∴△CEH ∽△AEC ，∴CE EH ＝EA CE，∴CE 2＝EH EA ； （3）解：连结BE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，∵⊙O 的半径为5，sin ∠BAE ＝35， ∴AB ＝10，BE ＝AB sin ∠BAE ＝10×35＝6， ∴EA ＝22AB BE -＝22106-＝8，∵BE ＝CE ，∴BE ＝CE ＝6，∵CE 2＝EH EA ，∴EH ＝268＝92， 在Rt △BEH 中，BH ＝22BH EH +＝2296()2+＝152． 23.(12分)如图，⊙E 的圆心E （3，0），半径为5，⊙E 与y 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的上方），与y 轴的正半轴交于点C ，直线l 的解析式为y ＝34x +4，与x 轴相交于点D ，以点C 为顶点的抛物线过点B .（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l 与⊙E 的位置关系，并说明理由；（3）动点P 在抛物线上，当点P 到直线l 的距离最小时，求出点P 的坐标及最小距离. 解答：（1）如图，连结AE ，由已知得：AE ＝CE ＝5，OE ＝3，在Rt △AOE 中，由勾股定理得：OA ＝22AE OE -＝2253-＝4，∵OC ⊥AB ，∴由垂径定理得：OB ＝OA ＝4，∴OC ＝OE +CE ＝3+5＝8，∴A （0，4），B （0，－4），C （8，0），∵抛物线的顶点为C ，设抛物线的解析式为：y ＝a (x －8)2，将点B 的坐标代入上解析式得：64a ＝－4，解得a ＝－116，∴y ＝－116(x －8)2， ∴抛物线的解析式为y ＝－116x 2+x －4； （2）在直线l 的解析式y ＝34x +4中，令y ＝0，则34x +4＝0，解得x ＝－163， ∴点D 的坐标为（－163，0），∴OD ＝163， 当x ＝0时，y ＝4，∴点A 在直线l 上，在Rt △AOE 和Rt △DOA 中，∵OE OA ＝34，OA OD ＝34， ∴OE OA ＝OA OD， ∵∠AOE ＝∠DOA ＝90°，∴△AOE ∽△DOA ，∴∠AEO ＝∠DOA ，∵∠AOE +∠EAO ＝90°，∴∠DAO +∠EAO ＝90°，即∠DAE ＝90°，∴直线l 与⊙O 相切于A .（3）过点P 作直线l 的垂线段PQ ，垂足为Q ，过点P 作PM ⊥x 轴，交直线l 于点M ，设M (m ，34m +4)，P (m ，－116x 2+x －4)，则PM ＝34m +4－(－116x 2+x －4)＝116(m －2)2+314， 当m ＝2时，PM 取得最小值314， 此时，P （2，－94）， 对于△PQM ，∵PM ⊥x 轴，∴∠QMP ＝∠DAO ＝∠AEO ，又∠PQM ＝90°，∴△PQM 的三个内角固定不变，∴在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变，∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，∴PQ最小值＝PM最小值sin∠QMP＝PM sin∠AEO＝314×45＝315，∴当抛物线上的动点P的坐标为（2，－94）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为315.。