不等式及其基本性质
设u=f(x1，x2，…，x n)，v=g(x1，x2，…，x n)是两个取值为实数的函数，若u－v是正数，就说u大于v，记成u＞v，也说v小于u，记成v＜u．
用记号“＞”、“＜”、“≥”或“≤”连结两个这样的函数所组成的式子，叫做不等式．
设上面两个函数的定义域分别为D f，D g，则称D f∩D g为下列不等式的允许值集：
f(x1，x2，…，x n)＞g(x1，x2，…，x n)
(或f(x1，x2，…，x n)＜g(x1，x2，…，x n)，
或f(x1，x2，…，x n)≥g(x1，x2，…，x n)，
或f(x1，x2，…，x n)≤g(x1，x2，…，x n)．
不等式两边的函数，如果都是代数函数，则称这个不等式为代数不等式；如果至少有一个是超越函数，则称这个不等式为超越不等式．前者可以划分为有理不等式(整式不等式和分式不等式)和无理不等式；后者包括指数不等式、对数不等式、三角不等式和反三角不等式等．
不等式具有如下的基本性质(本文所用字母除特别声明以外，均表示实数)．
定理1 若a＞b，b＞c，则a＞c．
定理2 在a＞b，a=b，a＜b中有且只有一个成立．
定理3 若a＞b，则a＋c＞b＋c．
推论1 可以把不等式中任何一项变为相反的符号后，从一边移到另一边．
推论2 若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d．
一般地，若a i＞b i，i=1，2，…，n，则
a1＋a2＋…＋a n＞b1＋b2＋…＋b n．
推论3 若a≥b，c＜d，则a－c＞b－d．
定理4若a＞b，则当c＞0时，ac＞bc；当c＜0时，ac＜bc；当c=0时，ac=bc．
推论1 若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd．
一般地，若a i＞b i＞0，i=1，2，…，n，则
a1a2…a n＞b1b2…b n．
推论2 若a≥b＞0，0＜c＜d，则a/c＞b/d．
推论3 若a＞b＞0，整数n＞1，则a n＞b n．
含有绝对值符号的不等式还具有如下的常用性质．
定理5 设a＞0，则|x|＜a的充要条件是－a＜x＜a；|x|＞a的充要条件是x ＞a或x＜－a．
定理6 |a＋b|≤|a|＋|b|，
其中等号当且仅当ab≥0时成立．
推论1|a＋b|≥||a|－|b||．
推论2 |a1±a2±…±a n|≤|a1|＋|a2|＋…＋|a n|．。