量子力学自测题8
一、填空题（本题25分）
1．自由粒子平面波函数ikx ce x =)(ψ的动量不确定度=∆p ，坐标不确定度=∆x 。

2．波函数kx x cos )(=ψ是否自由粒子的能量本征态？答： 。

如果是，能量本征值是 。

该波函数是否是动量本征态？答： ，因为 。

3．设B A
ˆˆ是两个互为不对易的厄米算符。

在下列算符 （1）B A ˆ,ˆ； （2）B A ˆˆ—A B ˆˆ； （3）2
ˆA ； （4）B A ˆˆ+A B ˆˆ 中，算符 和 的本征值必为实数。

4．设两个电子散射波的自旋波函数()↓↑+↑↓=
2
1χ，则散射波的空间波函数应为 。

因此微分散射截面 。

5．设一个二能级体系的两个能量本征值分别为E 1和E 2，相应的本征矢量为21n n 和。

则在能量表象中，体系Hamilton 量的矩阵表示是 ，体系的可能状态是 ，在各可能状态下，能量的可能测值是 ，相应的几率是 。

二、（本题15分）
1．已知在坐标表象中，自由粒子的坐标本征函数为 )()(0x x x -=δψ
求在动量表象中坐标的本征函数。

2．氢原子中的电子在径向坐标dr r r +→的球壳内出现的几率为
dr r r R dr r P nl nl 22)()(=。

已知，0/2/30
1012)(a r e a r R -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，求IS 电子的径向几率最大的
位置。

三、（本题15分） 1．求证：iz y +=1ψ，ix z +=2ψ，iy x +=3ψ分别为角动量算符z
y x l l l ˆ,ˆ,ˆ的本征值为 的本征态。

2．试证明：在电子的任意自旋态⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=b a χ下，只要22b a =，则自旋角动量z
S ˆ的平均值必为零。

四、（本题15分）
1．已知),())((B A i B A B A ⨯⋅+⋅=⋅⋅σσσ其中，A 、B 为与Pauli 矩阵z y x σσσ,,对易的任意两个矢量算符。

试证明：
22)ˆ(p p
=⋅σ，⋅-=⋅σσ 22)(l l l 其中，p 为三维动量， l 为三维角动量。

2．设力学量A
ˆ（不显含时间）为守恒量。

求证：A ˆ的平均值不随时间改变，即0=dt
A d 五、（本题15分）
已知一维谐振子处于基态，坐标的不确定度 l x x x =+=∆2)(
求该谐振子跃迁到第一激发态所需能量。

六、（本题15分）
设一电子在沿x 方向的均匀磁场B 中运动。

在t=0时，电子的自旋向z 轴的正向极化。

求：
（1）在任意时刻t ，电子的自旋波函数。

（2）z
y x S 、S 、S ˆˆˆ的平均值。

（3）z
S ˆ的测值为2/ 和—2/ 的几率。