常见线性递推数列通项的求法对于由递推式所确定的数列通项公式问题，往往将递推关系式变形转化为我们熟知的等差数列或等比数列，从而使问题简单明了。
这类问题是高考数列命题的热点题型，下面介绍常见线性递推数列求通项的基本求法。
一、一阶递推数列1、q pa a n n +=+1型形如q pa a n n +=+1（q p 且1≠为不等于0的常数）的数列，可令)(1x a p x a n n +=++ 即x p pa a n n )1(1-+=+与q pa a n n +=+1比较得1-=p q x ，从而构造一个以11-+p qa 为首项以p 为公比的等比数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1p q a n 例1．在数列{a n }中，,13,111-⋅==+n n a a a 求n a .解：在131-⋅=+n n a a 的两边同加待定数λ，得n n n a a a (3131⋅=+-⋅=++λλ+（λ－1）/3），令,3)1(-=λλ得).21(321.211-⋅=-∴-=+n n a a λ数列{}21-n a 是公比为3的等比数列, ∴a n 21-=).13(21,32111+=∴⋅--n n n a2、 ()n g a c a n n +⋅=+1型(1)1=c 时：解题思路：利用累差迭加法，将)1(1-=--n g a a n n ，--1n a 2-n a =)2(-n g ，…，-2a 1a =)1(g ,各式相加，正负抵消，即得n a .例2．在数列{}n a 中，01=a 且121-+=+n a a n n ，求通项n a .解：依题意得，01=a ，()32112,,3,112312-=--=-=-=--n n a a a a a a n n ，把以上各式相加，得【评注】由递推关系得，若()n g 是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；若n n a a -+1非常数，而是关于n 的一个解析式，可以肯定数列n a 不是等差数列，将递推式中的n 分别用2,3,4,,2,1 --n n 代入得1-n 个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得n a ，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。
（2）1≠c 时：例3．在数列{}n a 中，,3,1211n a a a n n +==+求通项n a .解：作新数列}{n b ，使),(2C Bn An a b n n ++-=即),(2C Bn An b a n n +++=（A ，B ，C 为待定常数）。
由213n a a n n +=+可得：C n B n A b n ++++++)1()1(21=,)(322n C Bn An b n ++++所以，B A C n A B n A b b n n --+-+++=+2)22()12(321，设2A+1=0，2B-2A=0，2C-A-B=0，可得：A=B=C=-1/2，n n b b 31=∴+，25)(11=++-=C AB A a b ，所以}{n b 是公比为3的等比数列， 1325-⨯=∴n n b ，)1(2132521++-⨯=∴-n n a n n 。
当一个数列是一阶递推或二阶递推齐次数列时，可通过线性代换把问题化为等差或等比数列，本题是设])1()1([21C n B n A a n ++++-+=)]([32C Bn An a n ++-，用待定系数法求A 、B 、C 即可。
【评注】求递推数列的通项的主要思路是通过转化, 构造新的熟知数列,使问题化陌生为熟悉.我们要根据不同的递推关系式,采取不同的变形手段,从而达到转化的目的.例4．在数列{}n a 中，,23,111nn n a a a +==+求通项n a .解：设)2(3211n n n n k a k a ⋅-=⋅-++，,231n n n k a a ⋅-=∴+又,231n n n a a +=+ ,1-=∴k ∴)2(3211n n n n a a +=+++，}2{2+∴n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，n n n n n n n a a 23,33321-=∴=⨯=+∴-。
3、n n a n f a )(1=+型解题思路：利用累乘法, 将()()()1,,2,112211f a an f a a n f a a n n n n =-=-=--- 各式相乘得，()()()12112211f n f n f a aa a a a n n n n -⋅-=⋅⋅⋅---，即得n a . 例5．在数列{}n a 中，11=a ，11+=+n na a n n ，求通项n a . 解：由条件等式11+=+n n a a n n 得，n n n n n a a a a a a n n n n 12112112211=--⋅-=⋅⋅⋅--- ，得na n 1=. 【评注】此题亦可构造特殊的数列，由11+=+n na a n n 得，()111=++nn na a n ，则数列{}n na 是以1a 为首项，以1为公比的等比数列，∴111.11=⋅==-n n qa na 得na n 1=. 4、n n a S 与关系型（求差法）数列有形如)(),(1n n n a g S S f =-的关系（非递推关系），可考虑用求差n n n a S S =--1后，再用其它初等方法求得.n a例6．（94年全国高考试题）设}{n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对于所有的自然数n a n ,与2的等差中项等于n S 与2的等比中项：（1）写出数列}{n a 的前3项； （2）求数列}{n a 的通项公式.出题者的意图是：通过（1）问求出数列前3项再猜想出通项公式；（2）再用数学归纳法证明猜想正确.实际上用求差法求通项公式更简单.解：（1）略（2）由条件，得,222n n S a =+ 即,8)2(2n n S a ⋅=+….①, .8)2(121--⋅=+n n S a … ②, ①－②得212)2()2(8+-+=-n n n a a a ，即.0)2()2(212=+---n n a a 分解因式得.0)4)((11=--+--n n n n a a a a对于n ∈n a ,N ＞0，∴.41=--n n a a ∴}{n a 是公差为4的等差数列， 5、da c ba a a n n n +⋅+⋅=+1（d c a ,,为非零常数）型（1）0=b 时，上式可化为：1111+⨯=+nn a c d a ，即转化为第一种类型可求解。
例6．设数列}{n a 满足,21=a ),N (31∈+=+n a a a n nn 求.n a 解：原条件变形为.311n n n n a a a a =⋅+⋅++两边同乘以,11+⋅n n a a 得11131+=⋅+n n a a .∵113211,211)2113-+=+∴+=+n n n n a a a （， ∴.13221-⨯=-n n a （2）0≠b 时，等式两边同加参数t ，则da c ct a dtb a ct a t d ac b a a t a n n n n n +⋅++++=++⋅+⋅=++)(1……① 令cta dtb t ++=，即 0)(2=--+b t d a ct ……. ② 记此方程的两根为21,t t ，（1） 若21t t ≠，将21,t t 分别代入①式可得 d a c t a ct a t a n n n +⋅++=++1111)(， da c t a ct a t a n n n +⋅++=++2221)(以上两式相除得21212111t a t a ct a ct a t a t a n n n n ++⋅++=++++，于是得到⎭⎬⎫⎩⎨⎧++21t a t a n n 为等比数列，其公比为21ct a ct a ++， 数列{}n a 的通项n a 可由121211121)(-++⋅++=++n n n ct a ct a t a t a t a t a 求得；（2）若21t t =，将1t t =代入①式可得da c t a ct a t a n n n +⋅++=++1111)(,考虑到上式结构特点，两边取倒数得111111)(11t a ct d t a c ct a t a n n n +-++⋅+=++ ……③由于21t t =时方程②的两根满足cda t --=12，∴11ct d ct a -=+ 于是③式可变形为111111t a ct a c t a n n +++=++∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11t a n 为等差数列，其公差为1ct a c +， 数列{}n a 的通项n a 可由1111)1(11ct a c n t a t a n +⋅-++=+求得．这样，利用上述方法，我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列，从而求得其通项。
如果我们引入分式线性递推数列d a c b a a a n n n +⋅+⋅=+1（0,,,,≠∈c R d c b a ）的特征方程为dcx bax x ++=，即0)(2=--+b x a d cx ，此特征方程的两根恰好是方程③两根的相反数，于是我们又有如下结论：分式线性递推数列d a c b a a a n n n +⋅+⋅=+1（0,,,,≠∈c R d c b a ），其特征方程为dcx b ax x ++=，即0)(2=--+b x a d cx ，（1）若方程有两相异根1s 、2s ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧--21s a s a n n 成等比数列，其公比为21cs a cs a --； （2）若方程有两等根21s s =，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11s a n 成等差数列，其公差为1cs a c -. 例7、设数列{}n a 满足n n n n a a a a a 求,7245,211++==+解： 对等式两端同加参数t 得()()解之可得令,5247,7252475272475272451++=++++⋅+=++++=+++=++t t t a t t a t a t a t t a a t a n n n n n n n 1-=t ，2，代入72)52(1++⋅+=++n n n a ta t t a ，得,72292,7213111++⋅=++-⋅=-++n n n n n n a a a a a a 相除得,21312121+-⋅=+-++n n n n a a a a即31,41212111公比为是首项为=+-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-a a a a n n 的等比数列， 134234,34121111-⋅+⋅=⋅=+----n n n n n n a a a 解得。