2020年淮南二中高二上学期文科数学第八次周练一、单选题1．曲线221259x y +=与曲线221(9)259x y k k k+=<--的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等2．双曲线2214y x m-=的离心率为32，则其渐近线方程是（ ）A ．54y x =±B ．45y x =±C ．52y x =±D ．255y x =±3．设1F ，2F 是双曲线222:1y C x b-=的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF +=，且12PF F △的最小内角为30，则双曲线C 的焦距为（ ）A ．2B ．22C ．3D ．234．已知()30A -,，B 是圆()2241x y +-=上的点，点P 在双曲线22145x y -=的右支上，则PA PB +的最小值为（ ） A ．9B ．254+C ．8D ．75．已知双曲线()2222=10,0x y a b a b->>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．5,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(]1,2 D ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦6．如图，焦点在x 轴上的椭圆22213x ya +=（0a >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点，1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若14FQ =，则该椭圆的离心率为（ ） A ．14B ．12C ．7 D ．13二、填空题7．双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为()3,0F ，且点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为1，则双曲线C 的离心率为 .8．一个动圆与圆221:(3)1C x y ++=外切，与圆22:(3)81C x y +-=内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为 .三、解答题9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 的焦点为(0,、，实轴长为（1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点()1,1Q 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且恰好为线段MN 的中点，求线段MN 长度.10. 已知点(0,1)P 为椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>上一点，且直线220x y +-=过椭圆C 的一个焦点． （1）求椭圆C 的方程．（2）不经过点(0,1)P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，记直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，若122k k +=-，直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由．参考答案1．D解：曲线221259x y +=表示焦点在x 轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为45，焦距为8．曲线221(9)259x y k k k+=<--表示焦点在x 轴上，长轴长为，短轴长为，焦距为8．对照选项，则D 正确． 2. D双曲线2214y x m-=，即2,a b ==c =，由离心率为32，所以322c a ==， 解得5m =，所以双曲线22145y x -=，则渐近线方程为a y x x xb =±==， 3．D因为1F ，2F 是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上一点，且满足126PF PF +=， 不妨设P 是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知1222PF PF a -==，所以14PF =，22PF =，因为a c <，1a =，所以1222F F PF >=， 所以2PF 为12PF F △最小边，12PF F △的最小内角1230PF F ∠=︒， 由余弦定理可得，2222121121122cos PF F F PF F F PF PF F =+-∠，即24416224c c =+-⨯⨯230c -+=，c =所以12223F F c ==.4．C如图所示：设圆心为C ，双曲线右焦点为()3,0A '，且1PB PC ≥-，4PA PA '=+，所以338PB PA PC PA A C ''+≥++≥+=，当且仅当A '，B ，C 三点共线时取得等号． 5．D因为点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得122PF PF a -=， 又124PF PF =，所以232PF a =，即223aPF =，则183a PF =， 因为双曲线中，1212+≥PF PF F F ， 即1023a c ≥，则53c a ≤，即53e ≤， 又双曲线的离心率大于1，所以513e <≤. 6．D由椭圆定义可得122PF PF a +=，即122QF QP PF a ++=，因为PT PQ =，所以122QF TP PF a ++=，即21224TF a QF a =-=-，又112SF QF TF ==，故244a -=，也即2a =，由于2234313b c =⇒=-=，故椭圆的离心率为13c e a ==， 7. 324c e a ==因为双曲线的右焦点为()3,0F ，即3c =，双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为0bx ay ±=；又点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为1， 所以2231b b a =+，即31bc=，所以1b =，则2222a c b =-=， 因此324c e a ==.8. 2251162x y += 设动圆半径为r ，圆心为M ，根据题意可知，2(0,3C ）和1(0,3C -），1||1+MC r =，2||9MC r =-，12|C |3(3)6C =--=12||+||91+106MC MC r r =-+=>，故动圆圆心的轨迹为焦点在y 轴上椭圆，且焦点坐标为2(0,3C ）和1(0,3C -），其中210,5a a ==, 122||6,3c C C c === ， 所以222=25916b a c -=-=，故椭圆轨迹方程为: 2251162x y +=，9.（1）双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为，则a =c =222321b c a =-=-=，∴双曲线C 的标准方程2212y x -=； 6分 （2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，点()1,1Q 恰好为线段MN 的中点，即有122x x +=，122y y +=，又221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得121212121()()()()2y y y y x x x x -+=-+，∴12122y y x x --=，∴直线l 的斜率为2k =，其方程为12(1)y x -=-，即21y x =-， 12分由222122y x y x =-⎧⎨-=⎩，即22410x x --=，可得1212x x =-，则MN === 18分10.（1）点(0,1)P 为椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>上一点，则211b=，解得1b =， 直线220x y +-=过椭圆C 的一个焦点， 令0y =，可得2x =，即2c =， 所以222145a b c =+=+=，所以椭圆C 的方程为2215x y +=.6分（2）当直线l 的斜率不存在时，设()00,A x y ，()00,B x y -，（0x 且00x ≠），则001200112y y k k x x ---+=+=-，解得01x =，直线恒过点()1,1-； 8分当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx m =+， 直线与椭圆的交点()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程2215y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 可得()2221510550k x kmx m +++-=， 则1221015km x x k -+=+，21225515m x x k-=+， 12分所以()()12211212121211112kx m x kx m x y y k k x x x x +-++---+=+==-， 整理可得()()()12122210k x x m x x ++-+=， 14分所以()()2221111515km m m k k k--+⋅=++， 即()()110m k m -++=，因为直线l 不过点(0,1)P ，所以1m ≠， 所以10k m ++=，即1m k =--， 直线()111y kx m kx k k x =+=--=--， 当1x =时，则1y =-，所以直线恒过定点()1,1- 18分。