An an n 0,12 nmπm 为 整 数
f(t)为奇函数，则系数为
an0,
bnT 40 T 2f(t)sin n t)(dt
Anbn n12
n2m21πm为 整数
11
• 任何函数都可分解为奇函数和偶函数两部分
f(t)＝fod(t)＋fev(t) 由于 f(−t)＝fod(−t)＋fev(−t)＝−fod(t)＋fev(t) 所以
其展开的级数统称为傅里叶级数。
一. 周期信号的分解
设有周期信号f(t)，可分解为
f(t)a 2 0n 1a nco n s t) (n 1b nsin n t)(
an、bn称为傅里叶系数。可由下式求得
anT 2 T 2T 2f(t)con st()d,t n0,1,2,
6
bnT 2 T 2T 2f(t)sin n t()d,t n1, 2,
傅里叶级数的展开式为
n2,4 ,6, n1,3 ,5,
f( t ) 4 s it ) n 1 3 s (3 i n t ) 1 5 ( s5 i n t ) ( n 1 sn i n t ) (
9
图示方波信号分解 吉布斯(Gibbs)现象 ：当n时，在间断点处有9% 的偏差。 如果方波信号如图所示
0
8
bn
2 T
T
2Tf(t)sinn(t)dt 2
T 2 0 T 2(－ 1)sin n t)(d＋ tT 20 T 21sin n t)(dt
T 2n 1 [cn o t)s 0 ] T 2 (T 2n 1 [ co n ts )0 T 2 ] (
n2[1cons()]0n4,
i j i j
正交函数集例：（在区间[t0，t0+T]，且T=2） 三角函数集：{1，cos(nt)，sin(nt)；n＝1，2，3，…}
复指数函数集：{ejnt；n＝0，1，2，…}
2
二. 信号分解为正交函数
• 对任一函数f(t)用n个正交函数的线性组合来近似
n
f(t) Cjj(t) j1
选择Cj时使实际函数与近似函数之间的误差最小，取
均方误差
2t2 1t1 tt12f(t)j n1Cjj(t)2dt
要使均方误差最小，就是求函数的极值。对上式求极
值得
Cj
ft 2
t1
(
t
)
j
(
t
)dt
t 2
t1
2 j
(t
)dt
1
Kj
tt12f(t)j(t)dt
3
于是可得误差
2
1 t2
n
2
t2t1 t1f(t)j1Cjj(t) dt
t2 1 t1 t t 1 2 f2 (t)d 2 tj n 1C jt t 1 2 f(t) j(t)d j t n 1C 2 jt t 1 2 2 j(t)d t
t2 1t1 tt1 2f2(t)d t2j n 1C 2 jK jj n 1C 2 jK j
t2 1t1tt12f2(t)d t j n1C2jKj
f(t) 1
-T
T
t
-1
则傅里叶级数的展开式为
f( t) 4 c o t) s 1 3 c (3 o t)s 1 5 ( c5 o t)s 7 1 ( c7 o t)s (
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二. 奇、偶函数的傅里叶系数
• 根据傅里叶系数计算式，f(t)为偶函数，则系数为
anT 40 T 2f(t)con st)(d,t bn0
解：傅里叶系数为
f(t) 1
-T
T
t
-1
an
2 T
T
2Tf(t)cosn ( t)dt 2
T 2 0T 2( 1)co n st)d ( tT 20 T 21co n st)d ( t
T 2n 1 [ sin n t)(0 ]T 2T 2n 1 [sn i n t)0 T 2 ](
4.1 信号分解为正交函数
• 在线性空间中，任何矢量可用相互垂直的单位矢量表 示。这组矢量称为正交矢量集。
一. 正交函数集 • 正交函数：函数1(t)和2(t)在区间(t1，t2)内正交，则
tt121(t)2(t)dt0
• 正交函数集：n个函数1(t)，…，n(t)在区间(t1，t2) 内构成的正交函数集{i(t)}满足
则单位电阻上信号的总能量等于信号的各正交分量的
能量之和。
C2jKj C2j
j1
j1
tt122j(t)dt
j1
tt12[Cjj(t)]2dt
5
4.2 傅里叶级数
• 周期信号在区间(t0，t0＋T)上可以展开成在完备正交 信号空间中的无穷级数。
• 三角函数集或复指数函数集是完备的正交函数集，由
• an是n的偶函数，即 a−n＝an ； bn是n的奇函数，即 b−n＝−bn 。
• f(t)分解式的另一种形式
式中
f(t)A 20n 1A ncon st＋ ( n)
A0=a0
An an 2bn 2
na
rcbtnan an
a n A n c o n sb n A n s i nn
7
例：将方波信号 展开为傅里叶 级数。
tt12i(t)j(t)d t K 0,i 0
i j i j
1
• Ki为常数，如果Ki＝1，则称该函数集为归一化正交 函数集。
• 完备正交函数集：在正交函数集之外，不存在函数 与之正交。
一个完备的正交函数集通常包括无穷多个函数。
• 正交复函数的定义：
tt12i(t)*j(t)d t K 0,i 0
F
T
t
F fev(t)
T
t
13
全波整流信号 f1(t)=E|sin0t|
f1(t) E
-T
Tt
a n T 40 T 2 f(t)co n ts )d( t 4 T E 0 T 2 si 0 n t)c(o n ts )d(t
均方误差总是大于等于0，增大n可使误差减小。
4
• 当n，误差为0，则有帕斯瓦尔(Parseval)方程
t2f2(t)dt＝
t1
j1
C2jKj
因此f(t)在区间(t1,t2)可分解为无穷多项正交函数之和
f(t) Cjj(t) j1
1
Cj
Kj
tt12f(t)j(t)dt
帕斯瓦尔方程物理意义：如果f(t)是电压或电流信号，
fod(t)f(t)2f(t) fev(t)f(t)2f(t)
例f(t)=e−t(t)，则
0.5 f(t)
fod (t)et(t)2et(t) fe v(t)et(t)2et(t)
0 −0.5 0.5 f(t)
0
t
t
12
半波整流波形
-T -T -T -T
f(t) F
f(-t)
T
t
F
fod(t)
T
t