专题11 巧解二元一次方程组
专题解读】 解二元一次方程组的基本思路是“消元”，常用的解法有两种：“代入法”与“加减法”，这两种解法的基本思想是通过消元把二元一次方程组化为一元一次方程.对于一些特殊形式的方程组，如果我们能够通过观察发现其结构特征与规律，比如其未知数的系数、常数项的特征，那么我们就可采用灵活、巧妙的方式进行变式，从而最终达到消元的目的.
思维索引
例1.解方程组：（1）9779212, 7997140; x y x y +=⎧⎨+=⎩①② （2）()()3536, 3436; x x y y x y ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩
①②
例2.解方程组：（1）23237, 43
23238; 32x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩①② （2）12, 57
12; 7
5
x
y
x y
⎧+=⎪⎪⎨
⎪+=⎪⎩①②
例3.（1）当a 取什么值时，方程组5331x y a
x y +=⎧⎨+=⎩的解是正数？
（2）要使方程组21x ky k
x y +=⎧⎨-=⎩
的解都是整数，k 应取哪些整数值？
素养提升
1.若2310x y z ++=，43215x y z ++=，则x y z ++的值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5
2.解方程组32 3 2411 75 1 x y z x y z x y z -+=⎧⎪
+-=⎨⎪+-=⎩①②③，若要使运算简便，消元的方法应选取（ ）
A.先消去x
B.先消去y
C.先消去z
D.以上说法都可 3.若237
a b c
==，且12a b c -+=， 则23a b c -+等于（ ） A.
3
7
B.2
C.4
D.12 4.若201720182016 201820172019 x y x y +=⎧⎨+=⎩①②
，则()()23
x y x y ++-的值是（ ）
A.28
B.0
C.10
D.19
5.今有上等谷子三捆，中等谷子二捆，下等谷子一捆，共得谷子三十九斗；如果有上等谷子二捆，中等谷子三捆，下等谷子一捆，共得谷子三十六斗：上等谷子一捆，中等谷子二捆，下等谷子三捆，共得谷子三十三斗，则上、中、下三等谷子一捆各有斗数是（ ）
A.3，3，4
B.8，5，5
C.7，9，12
D.12，13，14
6.已知代数式2ax bx c ++，当1x =-时，其值为4；当1x =时，其值为8；当2x =时，其值为25；则当3x =时，其值为 .
7.一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，这对夫妇共有子女 个.
8.在解关于x 、y 的方程组()()2 1 21 4 ax b y b x ay ⎧+-=⎪⎨--=⎪⎩①
②时，可以用2⨯-①②消去未知数x ，也可用
4⨯+⨯①②3消去未知数y .则a = ，b = .
9.当2x =-，1y =，或1x =-，2y =，或0x =，1y =时，等式220x y Dx Ey F ++++=都成立，则D = 、E = 、F =
10.某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成.如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排 名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套.
11.解方程组：（1）361463102 463361102 x y x y +=-⎧⎨+=⎩
①
②
（2）73890 2367180 x y x y -=⎧⎨-=⎩
①
②
12.拓展创新：
（1）已知方程组
2340
3450
x y z
x y z
+-=
⎧
⎨
++=
⎩
①
②
，求
x y z
x y z
++
-+
的值。

（2）根据要求，解答下列问题.
（a）解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：
①
23
23
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
的解为；②
3210
2310
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
的解为；
③
24
24
x y
x y
-=
⎧
⎨
-+=
⎩
的解为；
（b）以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为；（c）请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解.
13.方程组
326
622
6253
x y z
x y z
x y z
-+=
⎧
⎪
+-=-
⎨
⎪++=
⎩
与关于x、y、z的方程
22
2341
3351
ax by cz
ax by cz
ax by cz
++=
⎧
⎪
-+=-
⎨
⎪-+=
⎩
的解相同，求a，b，c的值.
14.阅读材料：善于思考的小明在解方程组25 3 411 5 x y x y +=⎧⎨+=⎩
①
②时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形为4105x y y ++=，即()2255x y y ++=，③； 把①代入③得235y ⨯+=，解得1y =-， 把1y =-代入①得4x =，则方程组的解为4
1x y =⎧⎨=-⎩
请你解决以下问题：
（1）模仿小明的方法解方程组32 5 9419 x z x z -=⎧⎨-=⎩
①
②
（2）已知满足方程组22
22
321247 2836 x xy y x xy y ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩①
②
，求224x y +的值。

15.在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”。

格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L .
（1）例如，图中的△ABC 是格点三角形，其中2S =，0N =，6L =；图中格点多边形DEFGHI 所对应的S ，N ，L 分别是 .
（2）经探究发现，任意格点多边形的面积S 可表示为S=aN+bL+c ，其中a ，b ，c 为常数，则当5N =，
14L =时，求S 的值.
专题11巧解二元一次方程组思维索引】
例1．(1)
3
1
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
；(2)
2
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
. 例2．(1)
9
14
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
；(2)
35
35
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
.
例3．(1) 3131
53
a
<<(2)－5，一3，一1，1
素养提升】
1．D；2．B；3．C；4．A；5．B；6．52；7．3；8．a＝6，
13
2
b=；9．D＝2，E＝－2，F＝1；10．120；
11．(1)
1
1
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
；(2)
2
2
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
.
12．(1)
2
13
；(2)(a)①
1
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
,②
2
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
,③
4
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
；(b)x＝y；(c)
3215
2315
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，其解为
3
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
.
13．a＝9，b＝
1
2
-，c＝－1；
14．(1)
3
2
x
z
=
⎧
⎨
=
⎩
；(2)17：
15．(1)7和3和10；(2)11；。