五、数r 量r积的r运r算律：
(1)a b b a
(2)(ar)

r b

(ar

r b)

r a

r
(b )
r r r rr rr
其注中(：3，)(a(raar、brbr)b、 )crcrc是ar任(bar意crc三) 个b向量c ， R
例1、已知
设向量a
与

b
都是非零向量，则
（1） a⊥ b （2）当 a 与

b

a ·b=0
同向时，a

·b
=|a||b|
当

a
与


b 反向时，a

·b
=-|a ||b
|
特别地，a ·a =︱a︱2或︱a︱= a a
（3）︱a

·b
︱≤|a||b |
我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些 运算律对向量是否也适用？
三、数量积的物理意义：
（1）用一句话来概括功的数学本质：
功是力与位移的数量积
（2）一物体质量是10千克，分别做以下运动： ①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米； ③、竖直向上提升10米； ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；
分别求重力做的功。
S
①、在水平面上位移为10米：
G
W 0
或 2、a已 b知0A时B，C中试，判 AB断aA,BACC的形b,状 当。 a b 0
1.本节课我们学习的主要内容是什么？
2.平面向量数量积的两个基本应用是什么？
3.我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳 和性质的探究？在运算律的探究过程中，渗透 了哪些数学思想？
②、竖直下降10米：
S G
WGS
③、竖直向上提升10米：
S
G
W G S
④、沿倾角为30°的斜面向上运动10米：
S
G
W G S cos(180 30)
（1）将问题①②③的结论推广到一般向量，你能得到哪
些结论？ （2）比较
a

b
与ar

r b
的大小，你有什么结论？
四、数量积的运算性质：
二、数量积的几何意义：
（1）投影的概念：
bB
| b | cos (或 | a | cos )
叫做向量 b 在 a 方向上
O
θ |b|cosθB1 a
A
（或向量 a 在 b 方向上）的投影。
（2）数量积的几何意义：
r a

r b等于
r a
的长度
r |aBiblioteka |与br在ar方向上的投影
r
| b | cos 的乘积。
2.4.1平面向量数量积的 物理背景及其含义
问题1：我们已经研究了向量的哪些运算？ 这些运算的结果是什么？
问题2：我们是怎么引入向量的加法运算的？ 我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？
物理模型 概念 性质 运算律 应用
问题3：如图所示，一物体在力F的作用下产生位 移S，
（１）力F所做的功W=
r a

r 6，b

4，a与b的夹角为60，求
r a
r 2b

r a
r 3b
.
并思考此运算过程类似 于哪种实数运算？
例2、对任意向量a，b是否有以下结论：
(1)
a
b
2

a 2

2 a

b
b2
(2)
a

b

a

b

a 2

b2
例3、已知
ar
r 3，b
4，a与b不共线， k为何值时，
向量ar

kbr与ar

r kb 互相垂直？
并思考通过本题你有什么收获？
1((、 12))若若判aa断下00，，列则a各对b命任题a一是c非,则 否正零b确向 c， 量b并，说有明 a b理 由0
ar ·br
=|
ar
|
|
r b
|
cosθ
记法“a·b”中间的“ · ”不可以省略，也不可以用“ ”代 替。
规定:零向量与任一向量的数量积为0。

活动二：探究数量积的概念
问题５：向量的数量积运算与线性运算的结果 有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？
讨论并完成下表：
a夹 角b的的范正围负0 90 90 90 180
。
（２）请同学们分析这个公式的特点：
W（功）是 量，
F
F（力）是 量，
S（位移）是 量
θ是
。

S
问题4：你能用文字语言来表述功的计算公式吗? 如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量， 其结果又该如何表述？
一注、意数：量向积量的定义：
的一夹ar数个与角已为量数br 的知θ积量，数两是。我量个们积非把（零数或向量内量|积arar|）与| ，brb|rc，记osθ它作叫ar们做·的br
4.类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究 数量积？