数字滤波器2.1﹑概述电力系统信号﹑)()()(tNtStX+=)(tS有效信号)(tN干扰信号滤波：从)(tX中提取出)(tS，消除)(tN)(t X=)(t)(tSＦ：滤波器物理器件，Ｒ﹑Ｃ﹑Ｌ﹑运放等，模拟滤波程序﹑算法—数字滤波数字滤波一般框图(X微机保护中，数字处理的结果无须在变成模拟量，所以不需要Ｄ／Ａ转换器。

数字滤波的优点：（１）特性一致性好（２）不受温度影响（３）不存在阻抗匹配问题微机保护一般都采用数字滤波器。

问题：前置低通滤波器的作用？2-2连续时间系统的频率特性和冲击响应一、 基本知识和定义1.系统：y(t)=T[x(t)]2. 线形系统：()()[]()()t by t ay t bx t ax T 2121+=+3.时不变系统：()[]()11t t y t t x T -=-4.因果系统：输出变化不会发生在输入变化之前5.稳定系统： 1. 冲激函数()t δ二、 连续时间系统的频率响应 连续系统：()()()f H f X f Y ⋅=()()f Y f X ,为输入﹑输出信号)(t x ﹑)(t y 的付氏变换成频谱。

)(f H 系统的频率特性，为复数ef j f A f H )()()(φ=)(f A ——幅频特性)(f ϕ ——相频特性)(f H 物理意义：输入中任一频率f1经系统后，幅值乘了)(1f A ，相位移了)1(f ϕ)(f H 是对滤波器的 充分描述。

三﹑连续系统的冲激响应﹑输入)(t δ输出)(t h 称为冲激响应)]([)(t T t h δ= 由于)(t δ具有筛分性质所以)(t x 可以表示为⎰⎰∞+∞-+∞∞--==-=ττδτττδτd t T x t x T t y d t x t x )]([)()]([)()()()(⎰+∞∞--=τττd t h x )()(可见，只要知道)(t h ，利用该式就可以计算出对任意输入)(t x 的输出)(t y 所以)(t h 也是对系统的充分描述。

等式右端的积分称为卷积，记为⎰+∞∞--===τττd t x h t x t h t h t x t y )()()(*)()(*)()(四﹑冲激响应和频率特性之间的关系。

)(f H 与)(t h 互为付氏变换对。

五﹑卷积的图解法和滤波的响应时间 （略） P30 图2-8，图2-9六﹑周期性时间函数的付氏变换和付氏级数。

周期函数 付氏级数 离散频谱非周期−−−→−绝对可积付氏变换 连续频谱 周期函数付氏变换是否存在？答案是肯定的，但含有冲激函数 例2-2 )(t f =1付氏变换1)]([)(]1[==T F F F δδ例2-3 复指数信号)(][)(02200fee f f F f t f t j tj -==δππ例2-4正弦和余弦信号-ff)]()([21)]2[sin()]()([21)]2[cos(000000f f f f f f f f j t F f f t F +--=++-=δδπδδπ-ff例2-5﹑周期为T 的任意周期函数)(t fT)()()]([0ff nf n F t F T -=∑∞∞-•δ例2-6 一串等间隔的冲激的付氏变换先求付氏级数 变换2-3离散时间信号的频谱()()S nT X t x −−−−→−采样、模数转换()S nT X =()t x S nT t = ()S nT X 不连续，严格意义上的付氏变换不存在，它的付氏变换定义为： ()()()SSST jn n sfnT j n sT j enT x enT x eX ωπω-∞-∞=-∞-∞=∑∑=∆2或此处，付氏变换变量写成ST j eω，而不写成ω或f ，是因为f 总是以S T j e ω=SfT j e π2的形式出现。

现推导()ST j e X ω与()t X 的频谱()f X 的关系 定义：()()()()()sn sn s nT t nT X nT t t X t x -=-⋅∆∑∑∞-∞=∞-∞=δδ*F[()t x *]=()=f X *()∑∞-∞=n s nT X SfnT j eπ2-可见()=f X *()ST j e X ω再考虑()f X *与()f X 的关系()t x * =()∑∞-∞=-n snT t δ()f X *=()f X *F[()∑∞-∞=-n snT t δ]=()f X *[()∑∞-∞=-⋅n nfs f fs δ]=⋅fs [()f X *()∑∞-∞=-n nfs f δ]) ()f X *-fs fs/2 fs 0 fs 2fs -f fs/2 fs即()f X *为()f X 的同期延拓若f >fs/2时，()f X =0，则在-fs/2到fs/2范围内，()f X *与()f X 完全相同，也就是说，()S nT X 可以唯一的确定出()t x 。

Θ 已知()S nT X ，可求出()f X *，对()f X *在[-fs/2，fs/2]范围内积分，就可求出()t x若f >fs/2时，()f X ≠0，，则()f X *在[-fs/2，fs/2]范围内的值与()f X 的值不同，这样就无法根据()f X *求出()t x ，即()S nT X 无法复原出()t x ，这就是采样定理。

2-4 Z 变换连续时间函数、拉氏变换()()dt e t f s F st -∞⎰∆0s=ωσj +与付氏变换相比，拉氏变换相当于将()t f 先乘上e t σ-后再做付氏变换，σ称为收敛因子，σ=0的拉氏变换就是付氏变换，在S 复平面上，σ=0相当于虚轴，所以虚轴上的拉氏变换就是付氏变换。

对离散信号，也有拉氏变换，定义为：e T e T n x T X ss sn n s s-∞-∞=∑=)()( 由于变换后S 总以e ST 的形式出现，令Z=e ST，进行变量置换z T nn s n x z X -∞-∞=∑∆)()(称为Z 变换，也就是离散信号的付氏变换。

S 平面和Z 平面的影射关系如下图，S 平面上的虚轴影射到Z 平面上是一个单位圆。

jwσ ]Re[zeee T T T z s s sjw jw S0)(===+σσS 沿着虚轴在-∞到+∞变化时，Z 沿着单位圆变化多圈。

所以单位圆上的Z 变换既离散信号的付氏变换。

2-5离散时间系统的单位冲激响应和频率特性一﹑离散时间系统﹑输入和输出都定义在离散域的系统称为离散系统。

)(][)(n y T n x →•→二﹑单位冲激序列和单位冲激响应﹑单位冲激序列的定义：=)(T s n δ 1 n=00 n 0≠一个离散系统对)(T s n δ的响应记作()s nT h ，称为该系统的单位冲激响应，即：()()[]s s nT T nT h δ∆()()()s sk ss kT nTkT x nT x -=∑∞-∞=δΘx(-2) x(-1) x(0) x(1) x(2) x(3) x(4)对应的输出为：()()[]s s nT X T nT y ==()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅∑∞-∞=k s s s kT nT kT x T δ=()∑∞-∞=k s kT x ()[]s s kT nT T -δ=()∑∞-∞=k s kT x .)(s s kT nT h -=()⋅∑∞-∞=k s kT h )(s s kT nT x -=()*s nT h ()s nT X =()*s nT X ()s nT h 三、离散时间系统的频率特性()s nT y =()∑∞-∞=k skT x .)(s skT nTh -取付氏变化()ST j eY ω=()()ST jn n n s s s e kT nT h kT x ω-∞-∞=∞-∞=∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅ =()∑∞-∞=k s kT x [()∑∞-∞=-n s skT nTh ()sskT nT j e -ω]skT j e ω=[()∑∞-∞=k s kT x skT j e ω-]⨯[()∑∞-∞=-n s skT nTh ()sskT nT j e --ω]=()⋅ST j e X ω()ST j e H ω()S T j e H ω就是离散系统的频率特性，它与单位冲激响应()s nT h 构成付氏变换对，()ST j e H ω是以fs 为周期的周期函数。

它在-fs/2到fs/2内的形状描述了它的滤波特性。

()s nT h 的Z 变换是：()=Z H ()nn sZnT h -∞-∞=∑ 称为系统的传递函数2-6简单滤波单元及其级联滤波一. 简单滤波单元1.概念：用加减法构成的线性滤波单元。

2.基本假设：输入信号是由稳恒直流，稳恒基波加上稳恒整次谐波构成。

3.适用范围：中低压网络的慢速保护。

4.作用原理（1）.加法滤波：设需要滤除的谐波周期是T N ，则可以用当前采样值与半个周期前的采样值相加将其滤除。

由上图0)2()(=-+T ffn n nt t 例：设谐波次数为5，则 ms T T n 451== 若采样周期为 ms T s 1= 则五次谐波一个周期采样四点，半个周期采样两点，离散化的滤波公式为0])2[()()2()(5555=--=--T fT fT T fT fs s s s s k k k k既只要将当前采样值与两点前的采样值相加，即可滤除五次谐波。

（2）.减法滤波用当前采样值与某次谐波一个周期前的采样值相减，就可以滤除某次谐波。

二. 基本形式及其特性（一）.相减（差分）滤波单元 差分方程为：)()()(k n x n x n y --=对其做Z 变换，得到转换函数（传递函数） Z KZ X Z Y Z H --==1)()()( 令 e t Z sjw= 代入上式，可得]sin [cos 11|)(|s kw j kw T H tt e e s jkwtjW c S --=-=-所以幅频特性为：tt kw e sjwkw s t H s sin )cos 1(22|)(|+=-|2sin|22cos 12cos 22t t t s sskw kw kw =-=-=)21(2cos 1sin )(t t t t s sss fk kw kw arctgw -=-=Φπ对微机保护来说，最为关心的是幅频特性。

式中，W=f π2 为输入信号的角频率，T s 为采样周期，tf ss1=通带要求，fs为f1的整数倍，既.1ffNs= N=1，2，……由上述公式，可以绘出 |)(|e t H sjw的波形设可以滤除的谐波的次数为m ，相位的角频率为w ，则fw m m w 112∏⨯==将该频率代入幅频特性表达式，结果应为零，既0|sin|2|)(|11==ff esJMkmT W H S π既∏⋅=I kmff sπ1 （I=0，1，……，m ff I k I m s 01⋅=⋅=∴可见，m 的取值为0，,.........2,00m m既直流分量，m 0次及m 0 的整数倍次谐波均可以滤除例如： N=12，K=4，则m 0=3这时直流，三次，六次，九次，十二次谐波均可有差分滤波y （n ）=x （n ）-x （n-4）滤除。