2018年山东省济宁市梁山县中考数学一模试卷一、精心选一选，相信自己的判断力!（本题共10小题，每小题3分.）1．2018的相反数是（）A．8102 B．﹣2018 C．D．20182．如图，小明同学用剪刀沿着虚线将一张圆形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原来的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．两点之间，直线最短B．经过一点，有无数条直线C．两点确定一条直线D．两点之间，线段最短3．若代数式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣1且x≠1 B．x≥﹣1 C．x≠1 D．x≥﹣1且x≠1 4．低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式．下列共享单车图标，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．下列曲线所表示的y与x之间关系不是函数关系的是（）A．B．C．D．6．如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2等于（）A．75 B．100 C．120 D．1257．如图所示，小琳总结了“解可化为一元一次方程的分式方程”的运算流程，那么A和B 分别代表的是（）A．分式的基本性质，最简公分母＝0B．分式的基本性质，最简公分母≠0C．等式的基本性质2，最简公分母＝0D．等式的基本性质2，最简公分母≠08．如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是（）A．AO平分∠EAF B．AO垂直平分EFC．GH垂直平分EF D．GH平分AF9．八年级（2）班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款情况统计如表，则该班学生捐款金额的平均数和中位数分别是（）金额/元 5 10 20 50 100人数 4 16 15 9 6 A．20.6元和10元B．20.6元和20元C．30.6元和10元D．30.6元和20元10．如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线AO方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；…按此规律运动到点A2018处，则点A2018与点A间的距离是（）A．0 B．2 C．2D．4二、认真填一填，试试自己的身手!本大题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果，请把答案填写在答案卷题中横线上11．十九大报告中指出，我国经济建设取得重大成就，国内生产总值达到800000亿元，稳居世界第二，用科学记数法表示800000亿元＝亿元．12．观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是．13．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD＝60°，CD＝2，则阴影部分的面积为．14．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E在CD边上，且CE＝2DE，将△ADE沿直线AE对折至△AEF ，延长EF 交BC 于G ，连接AG ，则线段AG 的长为 ．15．有一列数，记为a 1，a 2，…，a n ，我们记其前n 项和为S ＝a 1+a 2+…a n ，定义为这列数的“亚运和”，现如果有2018个数a 1，a 2，…，a 2018其“亚运和”为2019，则2，a 1，a 2，…，a 2018这2019个数的“亚运和”为 ．三、专心解一解（本大题共7小题，满分55分）请认真读题，冷静思考，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（4分）计算：（﹣2）0+（）﹣1+4cos30°﹣|﹣|．17．（6分）某学校“体育课外活动兴趣小组”，开设了以下体育课外活动项目：A ．足球 B ．乒乓球C ．羽毛球 D ．篮球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有 人，在扇形统计图中“D ”对应的圆心角的度数为 ；（2）请你将条形统计图补充完整；（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加市里组织的乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．18．（9分）如图，已知双曲线y ＝（m ＞0）与直线y ＝kx 交于A 、B 两点，点A 的坐标为（3，2）．（1）由题意可得m 的值为 ，k 的值为 ，点B 的坐标为 ；（2）若点P （n ﹣2，n +3）在第一象限的双曲线上，试求出n 的值及点P 的坐标；（3）在（2）小题的条件下：如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点P、A、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，试求出点M的坐标．19．（6分）如图1，一种折叠式小刀由刀片和刀鞘两部分组成．现将小刀打开成如图2位置，刀片部分是四边形ABCD，其中AD∥BC，AB⊥BC，CD＝15mm，∠C＝53°，刀鞘的边缘MN ∥PQ，刀刃BC与刀鞘边缘PQ相交于点O，点A恰好落在刀鞘另一边缘MN上时，∠COP ＝37°，OC＝50mm，（1）求刀片宽度h．（2）若刀鞘宽度为14mm，求刀刃BC的长度．（结果精确到0.1mm）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）20．（10分）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x2﹣5x+2＝0，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n 即为该方程的另一个实数根．（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点D （请保留作出点D 时直角三角板两条直角边的痕迹）；（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m 就是方程x 2﹣5x +2＝0的一个实数根；（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0，b 2﹣4ac ≥0）的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当m 1，n 1，m 2，n 2与a ，b ，c 之间满足怎样的关系时，点P （m 1，n 1），Q （m 2，n 2）就是符合要求的一对固定点？21．（10分）探究活动一：如图1，正方形ABCD 和正方形QMNP ，∠M ＝∠B ，M 是正方形ABCD 的对称中心，MN 交AB 于F ，QM 交AD 于E ，线段ME 与线段MF 的数量关系是 ．（不必证明，直接给出结论即可）探究活动二：如图2，将上题中的“正方形”改为“矩形”，且AB ＝mBC ，其他条件不变（矩形ABCD 和矩形QMNP ，∠M ＝∠B ，M 是矩形ABCD 的对称中心，MN 交AB 于F ，QM 交AD 于E ），探究并证明线段ME 与线段MF 的数量关系；探究活动三：根据前面的探索和图3，平行四边形ABCD 和平行四边形QMNP 中，若AB ＝mBC ，∠M ＝∠B ，M 是平行四边形ABCD 的对称中心，MN 交AB 于F ，QM 交AD 于E ，请探究并证明线段ME 与线段MF 的数量关系．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，﹣4）的抛物线交y 轴于A 点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，5）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系，并给出证明；参考答案一、精心选一选，相信自己的判断力!1．2018的相反数是（）A．8102 B．﹣2018 C．D．2018【分析】根据相反数的定义可得答案．【解答】解：2018的相反数﹣2018，故选：B．【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数．2．如图，小明同学用剪刀沿着虚线将一张圆形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原来的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．两点之间，直线最短B．经过一点，有无数条直线C．两点确定一条直线D．两点之间，线段最短【分析】根据两点之间，线段最短解答．【解答】解：能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短．故选：D．【点评】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．3．若代数式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣1且x≠1 B．x≥﹣1 C．x≠1 D．x≥﹣1且x≠1 【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，根据分式有意义的条件可得x﹣1≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：x+1≥0，且x﹣1≠0，解得：x≥﹣1，且x≠1，故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式分母不为零．4．低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式．下列共享单车图标，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形．故选项正确；B、不是轴对称图形．故选项错误；C、不是轴对称图形．故选项错误；D、不是轴对称图形．故选项错误．故选：A．【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．5．下列曲线所表示的y与x之间关系不是函数关系的是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．【解答】解：A，B，D的图象都符合对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故A，B，D的都是函数；C、的图象不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故C不符合题意；故选：C．【点评】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．6．如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2等于（）A．75 B．100 C．120 D．125【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2＝EF2，进而可求出CE2+CF2的值．【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，即∠ECF＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，∴△EFC为直角三角形，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，∴CM＝EM＝MF＝5，EF＝10，由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝100．故选：B．【点评】本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形．7．如图所示，小琳总结了“解可化为一元一次方程的分式方程”的运算流程，那么A和B 分别代表的是（）A．分式的基本性质，最简公分母＝0B．分式的基本性质，最简公分母≠0C．等式的基本性质2，最简公分母＝0D．等式的基本性质2，最简公分母≠0【分析】根据解分式方程的步骤，可得答案．【解答】解：去分母的依据是等式基本性质2，检验时最简公分母等于零，原分式方程无解故选：C．【点评】本题考查了解分式方程，利用解分式方程的步骤是解题关键．8．如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是（）A．AO平分∠EAF B．AO垂直平分EFC．GH垂直平分EF D．GH平分AF【分析】直接根据线段垂直平分线的作法即可得出结论．【解答】解：由题意可得，GH垂直平分线段EF．故选：C．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．9．八年级（2）班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款情况统计如表，则该班学生捐款金额的平均数和中位数分别是（）金额/元 5 10 20 50 100人数 4 16 15 9 6 A．20.6元和10元B．20.6元和20元C．30.6元和10元D．30.6元和20元【分析】根据平均数和中位数的定义求解即可，平均数是所有数据的和除以数据的总个数；中位数是将一组数据从小到大重新排列后，找出最中间两个数的平均数．【解答】解：平均数＝（5×4+10×16+20×15+50×9+100×6）＝30.6；∵共有50个数，∴中位数是第25、26个数的平均数，∴中位数是（20+20）÷2＝20；故选：D．【点评】此题考查了中位数与平均数公式；熟记平均数公式，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．10．如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线AO方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；…按此规律运动到点A2018处，则点A2018与点A间的距离是（）A．0 B．2 C．2D．4【分析】根据题意求得A0A1＝4，AA2＝2，AA3＝2，AA4＝2，AA5＝2，AA6＝0，AA7＝4，…于是得到A2018与A2重合，即可得到结论．【解答】解：如图，∵⊙O的半径＝2，由题意得，A0A1＝4，AA2＝2，AA3＝2，AA4＝2，AA5＝2，AA6＝0，AA7＝4，…∵2018÷6＝336…2，∴按此规律运动到点A2018处，A2018与A2重合，∴A0A2018＝AA2＝2，故选：C．【点评】本题考查了图形的变化类，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键．二、认真填一填，试试自己的身手!本大题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果，请把答案填写在答案卷题中横线上11．十九大报告中指出，我国经济建设取得重大成就，国内生产总值达到800000亿元，稳居世界第二，用科学记数法表示800000亿元＝8×105亿元．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值是易错点，由于800000有6位，所以可以确定n＝6﹣1＝5．【解答】解：800 000＝8×105．故答案为：8×105．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．12．观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是a2+2ab+b2＝（a+b）2．【分析】通过用不同的计算方法来表示大正方形的面积即可得到这一公式．【解答】解：首先用分割法来计算，即a2+2ab+b2；再用整体计算即为（a+b）2．因此a2+2ab+b2＝（a+b）2．【点评】利用不同的方法表示同一个图形的面积也是证明公式的一种常用方法．13．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD＝60°，CD＝2，则阴影部分的面积为．【分析】连接OD，则根据垂径定理可得出CE＝DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可．【解答】解：连接OD．∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝，故S△OCE ＝S△ODE，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，又∵∠ABD＝60°，∴∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∴OC＝2，∴S扇形OBD＝＝，即阴影部分的面积为．故答案为：．【点评】本题考查的是垂径定理，扇形的面积的计算，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．14．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E在CD边上，且CE＝2DE，将△ADE沿直线AE对折至△AEF，延长EF交BC于G，连接AG，则线段AG的长为．【分析】先根据正方形的性质可得AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，再根据折叠的性质可得AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，再证明△ABG≌△AFG可得FG＝GB，然后设BG＝x，则CG＝12﹣x，GE＝x+4，再利用勾股定理算出x的值，进而运用勾股定理可得到AG的长．【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD ＝AF ，DE ＝EF ，∠D ＝∠AFE ＝90°， ∴AB ＝AF ，∠B ＝∠AFG ＝90°， 在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，，∴△ABG ≌△AFG （HL ）， ∴FG ＝GB ， ∵CE ＝2DE ，AB ＝3， ∴DE ＝1，CE ＝2，设BG ＝x ，则CG ＝3﹣x ，GE ＝x +1， ∵GE 2＝CG 2+CE 2∴（x +1）2＝（3﹣x ）2+22， 解得x ＝， ∴BG ＝， ∴Rt △ABG 中，AG ＝＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了翻折变换，正方形的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是证明△ABG ≌△AFG 得到FG ＝GB ，再利用勾股定理计算出BG 的长．15．有一列数，记为a 1，a 2，…，a n ，我们记其前n 项和为S ＝a 1+a 2+…a n ，定义为这列数的“亚运和”，现如果有2018个数a 1，a 2，…，a 2018其“亚运和”为2019，则2，a 1，a 2，…，a 2018这2019个数的“亚运和”为 2021 ．【分析】由题意可知，2，a 1，a 2，…，a 2018这2019个数的“亚运和”即为2与a 1，a 2，…，a 2018的“亚运和”之和，则可求得．【解答】解：由题意知：2，a 1，a 2，…，a 2018这2019个数的“亚运和”为S ＝2+a 1+a 2+…+a 2018＝2+2019＝2021．故答案为：2021．【点评】本题考察对题目定义运算的理解，关键要理解清楚题目中所定义的运算． 三、专心解一解（本大题共7小题，满分55分）请认真读题，冷静思考，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（4分）计算：（﹣2）0+（）﹣1+4cos30°﹣|﹣|．【分析】根据实数的运算顺序计算，注意：（﹣2）0＝1，（）﹣1＝3，cos30°＝，|﹣|＝2．【解答】解：原式＝1+3+4×﹣＝4+2﹣2＝4．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．17．（6分）某学校“体育课外活动兴趣小组”，开设了以下体育课外活动项目：A ．足球 B ．乒乓球C ．羽毛球 D ．篮球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有 200 人，在扇形统计图中“D ”对应的圆心角的度数为 72° ；（2）请你将条形统计图补充完整；（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加市里组织的乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．【分析】（1）利用扇形统计图得到A类的百分比为10%，则用A类的频数除以10%可得到样本容量；然后用B类的百分比乘以360°得到在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数；（2）先计算出C类的频数，然后补全统计图；、（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两位同学的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）20÷＝200，所以这次被调查的学生共有200人，在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数＝×360°＝72°；故答案为200，72°；（2）C类人数为200﹣80﹣20﹣40＝60（人），完整条形统计图为：（3）画树状图如下：由上图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种．所以P（恰好选中甲、乙两位同学）＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．18．（9分）如图，已知双曲线y＝（m＞0）与直线y＝kx交于A、B两点，点A的坐标为（3，2）．（1）由题意可得m的值为 6 ，k的值为，点B的坐标为（﹣3，﹣2）；（2）若点P（n﹣2，n+3）在第一象限的双曲线上，试求出n的值及点P的坐标；（3）在（2）小题的条件下：如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点P、A、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，试求出点M的坐标．【分析】（1）把A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出反比例解析式，把A坐标代入直线解析式求出k的值，利用对称性求出B坐标即可；（2）把P坐标代入反比例解析式求出n的值，确定出P坐标即可；（3）分两种情况考虑：当M1在x轴正半轴，N1在y轴上半轴时，如图1所示；当M2在x轴负半轴，N2在y轴下半轴时，如图2所示，分别求出M坐标即可．【解答】解：（1）把A（3，2）代入反比例解析式得：m＝6；把A（3，2）代入直线解析式得：k＝，由对称性得：B（﹣3，﹣2）；故答案为：6；；（﹣3，﹣2）；（2）把P（n﹣2，n+3）代入y＝中得：（n﹣2）（n+3）＝6，整理得：n2+n﹣12＝0，即（n﹣3）（n+4）＝0，解得：n＝3或n＝﹣4（舍去），则P（1，6）；（3）分两种情况考虑：当M1在x轴正半轴，N1在y轴上半轴时，如图1所示，过P 作PQ ∥y 轴，过A 作AQ ∥x 轴，交于点Q ， ∵A （3，2），P （1，6）， ∴AQ ＝3﹣1＝2，由平移及平行四边形性质得到OM 1＝2，即M 1（2，0）； 当M 2在x 轴负半轴，N 2在y 轴下半轴时，如图2所示， 同理得到OM 2＝2，即M 2（﹣2，0）．【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求反比例函数及一次函数解析式，坐标与图形性质，平移的性质，平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．19．（6分）如图1，一种折叠式小刀由刀片和刀鞘两部分组成．现将小刀打开成如图2位置，刀片部分是四边形ABCD ，其中AD ∥BC ，AB ⊥BC ，CD ＝15mm ，∠C ＝53°，刀鞘的边缘MN ∥PQ ，刀刃BC 与刀鞘边缘PQ 相交于点O ，点A 恰好落在刀鞘另一边缘MN 上时，∠COP ＝37°，OC ＝50mm ， （1）求刀片宽度h ．（2）若刀鞘宽度为14mm ，求刀刃BC 的长度．（结果精确到0.1mm ）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）【分析】（1）利用锐角三角函数即可得出结论；（2）先求出AG ，进而求出BG ，用三角函数求出BO 即可得出结论． 【解答】解：（1）作DE ⊥BC 于E ，在Rt △DEC 中，∠CDE ＝90°﹣53°＝37°， ∴DE ＝DC •cos37°＝15×＝12， 即：刀片的宽度h 为12mm ；（2）作AF⊥PQ于F，延长AB交PQ于G，∵∠COP＝37°，∴∠BOG＝∠FAG＝37°，在Rt△AFG中，AF＝14，∴AG＝＝，BG＝AG﹣AB＝，AB⊥BC，∴∠OBG＝90°，在Rt△BOG中，BO＝＝，∴BC＝OC+OB＝50+≈57.3．【点评】此题是解直角三角形的应用，锐角三角函数，解本题的关键是熟练运用锐角三角函数求出线段．20．（10分）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x2﹣5x+2＝0，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n 即为该方程的另一个实数根．（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点D （请保留作出点D 时直角三角板两条直角边的痕迹）；（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m 就是方程x 2﹣5x +2＝0的一个实数根；（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0，b 2﹣4ac ≥0）的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当m 1，n 1，m 2，n 2与a ，b ，c 之间满足怎样的关系时，点P （m 1，n 1），Q （m 2，n 2）就是符合要求的一对固定点？【分析】（1）根据“第四步”的操作方法作出点D 即可；（2）过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，根据△AOC ∽△CDB ，可得＝，进而得出＝，即m 2﹣5m +2＝0，据此可得m 是方程x 2﹣5x +2＝0的实数根；（3）方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）可化为x 2+x +＝0，模仿研究小组作法可得一对固定点的坐标；（4）先设方程的根为x ，根据三角形相似可得＝，进而得到x 2﹣（m 1+m 2）x +m 1m 2+n 1n 2＝0，再根据ax 2+bx +c ＝0，可得x 2+x +＝0，最后比较系数可得m 1，n 1，m 2，n 2与a ，b ，c 之间的关系．【解答】解：（1）如图所示，点D 即为所求；（2）如图所示，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，根据∠AOC ＝∠CDB ＝90°，∠ACO ＝∠CBD ，可得△AOC ∽△CDB ，∴＝，∴＝，∴m（5﹣m）＝2，∴m2﹣5m+2＝0，∴m是方程x2﹣5x+2＝0的实数根；（3）方程ax2+bx+c＝0（a≠0）可化为x2+x+＝0，模仿研究小组作法可得：A（0，1），B（﹣，）或A（0，），B（﹣，c）等；（4）如图，P（m1，n1），Q（m2，n2），设方程的根为x，根据三角形相似可得＝，上式可化为x2﹣（m1+m2）x+m1m2+n1n2＝0，又∵ax2+bx+c＝0，即x2+x+＝0，∴比较系数可得m1+m2＝﹣，m 1m2+n1n2＝．【点评】本题属于三角形综合题，主要考查的是一元二次方程的解，相似三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例，列出比例式并转化为等积式．21．（10分）探究活动一：如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M＝∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB 于F，QM交AD于E，线段ME与线段MF的数量关系是ME＝MF．（不必证明，直接给出结论即可）探究活动二：如图2，将上题中的“正方形”改为“矩形”，且AB＝mBC，其他条件不变（矩形ABCD和矩形QMNP，∠M＝∠B，M是矩形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E），探究并证明线段ME与线段MF的数量关系；探究活动三：根据前面的探索和图3，平行四边形ABCD和平行四边形QMNP中，若AB＝mBC，∠M＝∠B，M是平行四边形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E，请探究并证明线段ME 与线段MF的数量关系．【分析】（1）过点M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，连接AM，首先证明M是正方形ABCD 对角线的交点，然后证明△MHF≌△MGE，利用全等三角形的性质得到ME＝MF；（2）过点M作ME⊥AB于E，MG⊥AD于G，利用矩形ABCD性质和已知条件证明∠HMF＝∠GME，∠MGE＝∠MHF，得出△MGE∽△MHF，然后利用相似三角形的性质即可求解；（3）平行四边形ABCD和平行四边形QMNP中，∠M＝∠B，AB＝mBC，由于M是平行四边形ABCD的对称中心，MN交AB于F，AD交QM于E，则ME＝mMF．证明方法和（1）（2）类似．【解答】解：（1）ME＝MF．理由：如图1，过点M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，连接AM，则∠MHF＝∠MGE＝90°，∵M是正方形ABCD的对称中心，∴AM平分∠BAD，∴MH＝MG，在正方形ABCD中，∠DAB＝90°，而∠MHA＝∠MGA＝90°，∴∠EMF＝∠HMG＝90°，∴∠FMH＝∠EMG，在△MHF和△MGE中，∴△MHF≌△MGE（ASA），∴MF＝ME，故答案为：MF＝ME；（2）ME＝mMF．理由：如图2，过点M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，则∠MHE＝∠MGF＝90°，在矩形ABCD中，∠A＝90°，∴在四边形GMHA中，∠GMH＝90°，又∵∠EMF＝90°，∴∠HME＝∠GMF，又∵∠MGF＝∠MHE＝90°，∴△MGF∽△MHE，∴＝，又∵M是矩形ABCD的对称中心，∴MG＝BC，MH＝AB，∵AB＝mBC，∴＝＝m，∴ME＝mMF；（3）ME＝mMF，理由：如图3，过点M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，则∠MHE＝∠MGF＝90°，在平行四边形ABCD中，∠A+∠B＝180°，而∠EMF＝∠B，∴∠A+∠EMF＝180°，又∵在四边形AGMH中，∠A+∠HMG＝180°，∴∠EMF＝∠GMF，又∵∠MGF＝∠MHE＝90°，∴△MGF∽△MHE，∴＝，连接AM、BD，∴M为BD中点，∴S△ABM ＝S△ADM，∴AB•MG＝BC•MH，∴，∵AB＝mBC，∴＝＝＝m，∴ME＝mMF．【点评】此题属于四边形综合题，主要考查了正方形、矩形、平行四边形的性质、全等三角形、相似三角形的性质和判定的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形或相似三角形，运用相似三角形的对应边成比例进行推导．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，﹣4）的抛物线交y轴于A点，交x 轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，5）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系，并给出证明；【分析】（1）利用顶点式将点A的坐标代入即可求得a的值，从而确定二次函数的解析式；（2）首先求得B（1，0），C（5，0），设切点为E，连接CE，根据Rt△ABO∽Rt△BCE得到比例式，从而求得CE＝；根据点C到对称轴x＝3的距离为2，2＞，从而确定抛物线的对称轴l与⊙C相离．【解答】（1）解：设抛物线解析式为：y＝a（x﹣3）2﹣4，将A（0，5）代入求得：a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x﹣3）2﹣4或y＝x2﹣6x+5．（2）抛物线的对称轴l与⊙C相离．证明：令y＝0，即x2﹣6x+5＝0，得x＝1或x＝5，∴B（1，0），C（5，0）．如图所示，设切点为E，连接CE，由题意易证Rt△ABO∽Rt△BCE，∴＝，即＝，求得⊙C的半径CE＝；而点C到对称轴x＝3的距离为2，2＞，∴抛物线的对称轴l与⊙C相离．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点：待定系数法确定函数关系式，相似三角形的判定与性质，圆与直线的距离，难度不是很大．。