价值：
数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁， 是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学 解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展 的动力。
目标：
通过高中数学课程的学习，
数学建模国的际表STE现M：课程旨在学加生强能 有 意 识 地 用 数 学 语 言
科学（Science）、表技术达 现实世界 ，发 现和提出
发建现立和和提 求（（（出 解TEMena问 模cgthhinn题 型eeomeloarigtniycg）s））、与的工数问 的融程学关题合联， 感 悟 数 学 与 现 实 之 间
检验和完善模型
学会用数学模型解决实际问 题，积累数学实践的经验
分析和解决问题
认识数学模型在科学、社会、
工程、技术诸多领域的作用，
平移、对称、旋转、折叠、展开、拆分、 组合、拉伸、压缩……,充分利用图形的变 化来分析、解决问题
增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识； 形成数学直观，在具体的情境中感悟事物的本质。
直观和抽象是数学的两翼
无论是数学研究还是数学学习都需要 两者的相互支撑
直观和抽象作为数学素养的构成要素、分析数学问题
数学家希尔伯特（Hilbert）在其名著《直观 几何》一书中指出，图形可以帮助我们发现、 描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问 题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的 结果。几何直观在研究、学习数学中的价值 由此可见一般。
般）
例：运用数学抽象的思维方式 思考问题，把握问题的本质
这样，我们就有了共同的结构：
还可做进一步的推广：
b
a
通过抽象，把握对象的本质和基 本关系——模式识别
相似三角形的基本模式
例 等差数列
同构
等比数列
通过数学抽象 把握对象结构
加、减
对应
乘、除
？
2.逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规 则推出其他命题的素养。主要包括两类：一类 是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、 类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式 主要有演绎。
价值： 逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系
的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人 们在数学活动中进行交流的基本思维品质。
逻辑推理的表现：
掌握推理基本形式和规则 发现问题和提出命题 探索和表述论证过程 理解命题体系 有逻辑地表达与交流
目标：
通过逻辑推理核心素养的培养，学生能够发 现问题和提出命题；
价值：
是数学的基本思想，是形成理性思维的重要 基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产 生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学 成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多 级的系统。
数学抽象的表现：
获得数学概念和规则 提出数学命题和模型 形成数学方法与思想 认识数学结构与体系
目标：
-----实际问题的解：
利用上面求出的二次函数解析 式，得到当角度是35度时，用 气量最省，是0.1218m3
72 0.149
90 0.172
可比较一下现行教学中 关注的重点有什么不同？
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax 2 － 2ax － 3a （ a ＜ 0 ） 与 x 轴 交 于 A 、 B 两 点 （点A在点B的左侧），经过点A的直线l：
y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线 的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数 表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若 △ACE的面积的最大值为5/4， 求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在 抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边 形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标； 若不能，请说明理由。
一 个 类 似 的 案 例
（北大附中 张思明主编）
例 最佳视角模型
【建模作业】----急刹车距离模型
问题：就一辆具体的车辆，给出急刹车后车辆行走 距离的模型，提出行车安全距离
任务：请同学们组成学习小组，讨论一下解决这个 问题大体路径或方案（模拟开题）
1.我们要有哪些知识、方法、工具的准备？ 2.我们要事先检索哪些信息资料？ 3.我们要收集哪些数据资料？ 4.我们打算做点什么？能做什么？预期结果是什么？ 5.我们的计划分工是什么？ 6.我们要留下哪些过程的资料，最后如何呈现我们研
究的结果？ ……
确定影响停车距离的主要因素：停车距离与刹车前 汽车行驶的速度有关；与驾驶人员的反应时间有关
在認識所謂的「煞車距離」後，可由以下圖示 來說明煞車系統操作之整個過程：
停车距离 = 反应距离 + 刹车距离
急刹车模型
急刹车停车距离模型的参数，现实数据需要通过 试验的方法得到。表中的数据是美国公路局的试 验数据，是通过对轿车试验得到的平均结果。表 中一共有13组数据，通过正比例关系 d1 = αv 和 d2 = βv2，可以分别计算出13个 α 和 β 的值。分 别计算这13个数值的平均数，可以未知参数的估 计：α = 0.21， β = 0.006。这样，就通过试验数 据，得到急刹车停车距离模型：
d（米）
12.8 17.0 22.4 27.9 35.3 43.4 52.7 63.9 75.6 89.1 104.5 122.2 141.4
c
0.208 0.212 0.208 0.211 0.208 0.211 0.208 0.210 0.208 0.210 0.208 0.210 0.208
β
d = 0.21v + 0.006v2
（详见《课标》案例7）
表 通过试验观察到的反应距离与刹车距离
v（公里/小时） d1（米）
32
6.7
40
8.5
48
10.1
56
11.9
64
13.4
72
15.2
80
16.7
89
18.6
97
20.1
105
21.9
113
23.5
121
25.3
128
26.8
d2（米）
6.1 8.5 12.3 16.0 21.9 28.2 36.0 45.3 55.5 67.2 81.0 96.9 114.6
1 3

1 32

３
·

1 3n

B .23 32
·
１
· · ··
１／３
····
１／３２
１／３３ ·
·
．．．．．．．．．
·
对3长的线段三 等分，取一份；对 取出的1长线段三 等分，取一份；对 取出的 1
3
长线段三等分，取 一份；……如此类 推，中间取出的线 段越来越小，无限 接近于0
当中间的线段趋向于0时，两边的线段之和都趋向于
这里还需说明的是，我们在这里把类比推理也视为特殊 到一般的推理是基于这样的认识：尽管归纳推理与类比 推理在具体运用时在思维过程上有所不同，但在本质上 是一致的，都是通过经验过的东西去推断未曾经验过的 东西
事实上，在做类比推理时，我们可以把思考的两类对象A、 B看成一个更大的类N，在A、B有某些相同（类似）属性 基础上，由A中已成立的属性去推断B中也有类似属性成 立，这事实上拓展了这一属性结论的存在范围，使结论 在N中具有了一般性
关于6个数学学科核心素养
黄 翔 2019.9.
6个数学核心素养 的内涵、价值、表现、目标
数学抽象，逻辑推理，数学建模 直观想像，数学运算，数据分析
1.数学抽象
数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽 象，得到数学研究对象的素养。主要包括：从 数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数 学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景 中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表 征
旋钮位置(度) 所用燃气量/m3
18 0.130
36 0.122
54 0.139
-----数学模型的求解
画出散点图，猜测在学过的函 数类型中，二次函数的图像与 之最接近，所以选择用二次函 数近似表示之间的关系。取其 中18,36,90三组数据求出二次 函数近似解析式为：
y=10-5x2-0.0007x+0.1366
提升实践能力，增强创新意
识和科学精神
数学建模——“三会”与核心素养
以核心素养为导向
会以情用境数任学务为的依眼托光观察现实世界、 会以自用主数学学习为的主思线维思考现实世界、 会以问用题数解学决为的目语标言表达现实世界。 这是做数学建模的目标和学习 价值所在
这不同于传统的做应用题
情境问题：用煤气灶怎样烧开水最省煤气？
通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象 出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到 抽象的活动经验
养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯， 把握事物的本质，以简驭繁 运用数学抽象的思维方式思考并解决问题
关于数学抽象
数学抽象的纯粹性（数量关系、空间形式、结构） 数学抽象的符号性（独特的符号语言） 数学抽象的多级性（有序、多阶、系统） 数学抽象的概括性（凝练、以简驭繁） 数学抽象的一般性（准确把握本质，更能适应一
今后数学课程中有两件事需要刻意去做，即 针对较抽象的数学对象的“图形描述”和 “图形分析”。
前者指教学中要培养学生通过画图来表达 数学问题的习惯，能画图时尽量画；
后者指引导学生借助图形将相对抽象的、 复杂的数学关系直观、清晰地展示出来， 通过对图形的分析思考进而寻求解决问题 的思路。
31岁
能掌握推理的基本形式，表述论证的过程； 能理解数学知识之间的联系，建构知识框架； 形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，
增强数学交流能力。