单元检测二 函数概念与基本初等函数Ⅰ(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页．2．答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟,满分130分． 4．请在密封线内作答,保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1．函数f (x )＝1lg x＋2－x 的定义域为( ) A ．(－∞,2] B ．(0,1)∪(1,2] C ．(0,2] D ．(0,2)答案 B解析 要使函数f (x )有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，lg x ≠0，2－x ≥0，解得0<x ≤2且x ≠1。
2．(哈尔滨师大附中模拟)与函数y ＝x 相同的函数是( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝x 2xC ．y ＝(x )2D ．y ＝log a a x(a >0且a ≠1)答案 D解析 A 中对应关系不同；B 中定义域不同；C 中定义域不同；D 中对应关系,定义域均相同,是同一函数．3．下列函数在其定义域内既是奇函数,又是增函数的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．y ＝x 3D ．y ＝log 2x答案 C解析 y ＝－1x 在其定义域内既不是增函数,也不是减函数；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在其定义域内既不是偶函数,也不是奇函数；y ＝x 3在其定义域内既是奇函数,又是增函数；y ＝log 2x 在其定义域内既不是偶函数,也不是奇函数．4．已知f (x )＝x －x 2,则函数f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－x 4B ．f (x )＝x －x 2C ．f (x )＝x 2－x 4(x ≥0) D ．f (x )＝x －x (x ≥0)答案 C解析 因为f (x )＝(x )2－(x )4, 所以f (x )＝x 2－x 4(x ≥0)．5．(宁夏银川一中月考)二次函数f (x )＝4x 2－mx ＋5,对称轴x ＝－2,则f (1)的值为( ) A ．－7B ．17C ．1D ．25 答案 D解析 函数f (x )＝4x 2－mx ＋5的图象的对称轴为x ＝－2, 可得m8＝－2,解得m ＝－16,所以f (x )＝4x 2＋16x ＋5。
则f (1)＝4＋16＋5＝25。
6．若a ＝30。
3,b ＝log π3,c ＝log 0。
3e,则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a答案 A解析 因为0<0。
3<1,e>1, 所以c ＝log 0。
3e<0, 由于0。
3>0,所以a ＝30。
3>1,由1<3<π,得0<b ＝log π3<1, 所以a >b >c 。
7．已知f (x ＋1)＝－lnx ＋3x －1,则函数f (x )的图象大致为( )答案 A解析 由题意得f (x ＋1)＝－ln x ＋3x －1＝－ln (x ＋1)＋2(x ＋1)－2,所以f (x )＝－ln x ＋2x －2＝ln x －2x ＋2。
由x －2x ＋2>0,解得定义域为(－∞,－2)∪(2,＋∞),故排除B 。
因为f (－x )＝ln －x －2－x ＋2＝ln x ＋2x －2＝－lnx －2x ＋2＝－f (x ), 所以函数f (x )为奇函数,排除C 。
又f (3)＝ln 15<0,故排除D 。
8．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ,当x ∈[m,5]时,f (x )的值域是[－5,4],则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞,－1)B ．(－1,2]C ．[－1,2]D ．[2,5]答案 C解析 f (x )＝－(x －2)2＋4, 所以当x ＝2时,f (2)＝4。
由f (x )＝－5,解得x ＝5或x ＝－1。
所以要使函数f (x )在区间[m,5]上的值域是[－5,4], 则－1≤m ≤2。
9．(2018·南昌模拟)已知函数f (x )的图象关于y 轴对称,且f (x )在(－∞,0]上单调递减,则满足f (3x ＋1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围是( )A 。
⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，－16B 。
⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－16C 。
⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，－16D 。
⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－16答案 B解析 由函数f (x )的图象关于y 轴对称, 且f (x )在(－∞,0]上单调递减, 得f (x )在(0,＋∞)上单调递增．又f (3x＋1)<f⎝⎛⎭⎪⎫12, 所以|3x ＋1|<12,解得－12<x <－16。
10．(2018·孝感模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x 2＋t )，x <0，2(t ＋1)x，x ≥0，且f (1)＝6,则f (f (－2))的值为( )A ．12B ．18C 。
112D 。
118答案 A解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x 2＋t )，x <0，2(t ＋1)x，x ≥0，∴f (1)＝2(t ＋1)＝6,解得t ＝2。
∴f (－2)＝log3(4＋2)＝log36,f (f (－2))＝12。
11。
如图,在直角梯形ABCD 中,AB ⊥BC ,AD ＝DC ＝2,CB ＝2,动点P 从点A 出发,由A →D →C →B 沿边运动,点P 在AB 上的射影为Q 。
设点P 运动的路程为x ,△APQ 的面积为y ,则y ＝f (x )的图象大致是( )答案 D解析 根据题意可得到y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧14x 2，0≤x ≤2，22x ＋1－2，2<x <4，－2＋22(x －4－2)，4≤x ≤4＋2，由二次函数和一次函数的图象可知f (x )的图象只能是D 。
12．定义在R 上的函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称,且f (x ＋1)是偶函数．若当x ∈[0,1]时,f (x )＝sin π2x ,则函数y ＝f (x )与y ＝e －|x |的图象在区间[－2 020,2 020]上的交点个数为( )A ．2019B ．2020C ．4038D ．4040 答案 D解析 因为函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称, 所以函数y ＝f (x )图象的对称轴为直线x ＝0, 故y ＝f (x )是偶函数,即f (－x )＝f (x )． 又f (x ＋1)是偶函数,所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)． 故f (x ＋2)＝f (－x )＝f (x ), 所以函数f (x )是周期为2的偶函数． 又当x ∈[0,1]时,f (x )＝sin π2x ,作出y ＝f (x )与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x |的图象,如图所示．结合图象可知在每个周期内,两函数的图象有2个交点, 所以在区间[－2 020,2 020]上的交点个数为2020×2＝4040。
第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在题中横线上) 13．幂函数f (x )＝(m 2－m －1)223m m x+-在区间(0,＋∞)内为增函数,则实数m 的值为______．答案 2解析 根据题意得m 2－m －1＝1,解得m ＝2或m ＝－1。
因为当x ∈(0,＋∞)时,f (x )为增函数,所以当m ＝2时,m 2＋2m －3＝5,幂函数为f (x )＝x 5,满足题意； 当m ＝－1时,m 2＋2m －3＝－4,幂函数为f (x )＝x －4,不满足题意． 综上,m ＝2。
14．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,且当0≤x <1时,f (x )＝2x＋a ,f (1)＝0,则f (－3)＋f (14－log 27)＝________。
答案 －34解析 易知f (－3)＝f (1)＝0, 由f (x )是奇函数,知f (0)＝0, 所以20＋a ＝0,所以a ＝－1。
因为log 27＝2＋log 274,所以f (14－log 27)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 274＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 274 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫74－1＝－34,则f (－3)＋f (14－log 27)＝0－34＝－34。
15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，x 2－3ax ＋a ，x >0有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤49，1解析 如图,要使函数f (x )的图象和x 轴有三个交点, 则⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，3a 2>0，9a 2－4a >0，解得49<a ≤1。
16．高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ,用[x ]表示不超过x 的最大整数,则y ＝[x ]称为高斯函数．例如：[－3。
5]＝－4,[2。
1]＝2。
已知函数f (x )＝e x1＋e x －12,则函数y ＝[f (x )]＋[f (－x )]的值域是________． 答案 {－1,0}解析 因为f (x )＝e x－12(e x ＋1),则f (－x )＝1－ex2(1＋e x )＝－f (x ),所以f (x )为奇函数．因为函数f (x )＝e x1＋e x －12＝12－1e x＋1, 又e x＋1>1,所以0<1e x ＋1<1,故－12<12－1e x ＋1<12。
当f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0时,[f (x )]＝－1,[f (－x )]＝0； 当f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时,[f (x )]＝0,[f (－x )]＝－1； 当f (x )＝0时,[f (x )]＝0,[f (－x )]＝0。
所以函数y ＝[f (x )]＋[f (－x )]的值域为{－1,0}．三、解答题(本题共4小题,共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax,a 为常数,且函数的图象过点(－1,2)．(1)求常数a 的值；(2)若g (x )＝4－x－2,且存在x ,使g (x )＝f (x ),求满足条件的x 的值．解 (1)由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a＝2,解得a ＝1。