(3)法一：直接法 易知当 x>0 时，函数 f(x)＝－4－x＋5 是单调递增函数，且
f(x)>4；当 x≤0 时，f(x)＝4.由 f(x2－6)>f(x)，得xx>2－0，6>x 或
x≤0， x2－6>0，
解得 x>3 或 x<－
6，所以 x 的取值范围是(－∞，
－ 6)∪(3，＋∞)．故选 D.
2．(2019·全国卷Ⅲ)设 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且在(0，
＋∞)单调递减，则( ) A．flog314>f2－32>f2－23 B．flog314>f2－23>f2－32 C．f2－32>f2－23>flog314 D．f2－23>f2－32>flog314
[一题多解] (在发散思维中整合知识) 法一：定义法 因为 f(x)为奇函数， 所以 f(－x)＝－f(x)， 因为 f(x)的图象关于点(1,0)对称， 所以 f(2＋x)＋f(－x)＝0， 从而有 f(2＋x)＝f(x)，所以 2 为 f(x)的周期， 所以 f(1)＝f(3)＝2.
法二：特值法 因为 f(x)的图象关于点(1,0)对称， 所以 f(3)＋f(－1)＝0， 所以 f(－1)＝－f(3)＝－2. 因为 f(x)为奇函数， 所以 f(－1)＝－f(1)，所以 f(1)＝2. [答案] 2
主攻 40 个必考点(三十) 函数的性质
1．(2019·全国卷Ⅱ)设 f(x)为奇函数，且当 x≥0 时，f(x)＝
ex－1，则当 x<0 时，f(x)＝( )
A．e－x－1
B．e－x＋1
C．－e－x－1
D．－e－x＋1
解析：选 D 当 x<0 时，－x>0， ∵当 x≥0 时，f(x)＝ex－1， ∴f(－x)＝e－x－1. 又∵f(x)为奇函数， ∴当 x<0 时，f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.
(2)一般地，定义在 R 上的函数如果满足 f(2a－x)＋f(x)＝0，
f(2b－x)＋f(x)＝0(a≠b)，那么 f(x)的一个周期为 T＝2|a－b|； 若函数 f(x)的图象同时关于点 A(a，c)和点 B(b，c)成中心对称 (a≠b)，则 f(x)的一个周期为 T＝2|a－b|；若函数 f(x)的图象既 关于点 A(a，c)成中心对称又关于直线 x＝b 成轴对称(a≠b)， 则 f(x)的一个周期为 4|a－b|.
又 f(1)＝2，∴f(－1)＝－2， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－ 2＋0＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50) ＝0×12＋f(49)＋f(50) ＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
法二：由题意可设 f(x)＝2sinπ2x，作出 f(x) 的部分图象如图所示．由图可知，f(x)的一个周 期为 4，所以 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1) ＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1) ＋f(2)＝2.
C．(－∞，－ 6)∪( 6，＋∞)
D．(－∞，－ 6)∪(3，＋∞)
[解析](1)令 t＝x2－ax＋3a，则 y＝log12t， 易知 t＝x2－ax＋3a 在－∞，a2上单调递减，在a2，＋∞上 单调递增． ∵y＝log12(x2－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上是减函数， ∴t＝x2－ax＋3a 在(2，＋∞)上是增函数，且在(2，＋∞) 上 t>0， ∴2≥a2，且 4－2a＋3a≥0， ∴a∈[－4,4]．故选 D.
法二：验证排除法 取 x＝2，则 f(22－6)＝f(－2)＝4，而 f(2)＝－4－2＋5>4，所 以 x＝2 不满足题意，排除 A；取 x＝3，则 f(32－6)＝f(3)，所 以 x＝3 不满足题意，排除 B、C，故选 D.
[答案] (1)D (2)A (3)D
增分方略 应用函数单调性解题的常见题型及解题策略
[提醒] (1)若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此 区间的任意子集上也是单调的；
(2)对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要 注意衔接点的取值．
函数的奇偶性、周期性与对称性
[典例 2] (2019·唐山高三摸底考试)设函数 f(x)＝x(ex＋e－ x)，则 f(x)( )
解析：选 C 因为 f(x)是定义域为 R 的偶函数，
所以 flog314＝f(－log34)＝f(log34)． 又因为 log34>1>2－23>2－32>0 且函数 f(x)在(0，＋∞)单调 递减， 所以 f(2－32)>f(2－23)>flog314.故选 C.
3．(2018·全国卷Ⅱ)已知 f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇
答案：－3
[把脉考情] 1.函数的单调性及应用
考什么 2.函数的奇偶性、周期性及应用 3.函数性质的综合应用 在选择题、填空题中进行考查，难度中低档，有时会
考多深 在 12 题或 16 题的位置考查，难度较大，分值 5 分
主要考查已知函数的单调性或奇偶性求参数的取值范 围以及利用单调性比较大小，利用函数周期性求值， 而函数的性质与导数相交汇问题，会在小题的压轴题 考多宽 中呈现，难度较大，考查逻辑推理、数学抽象、数学 运算的核心素养．注意数形结合，分类讨论思想的应 用
增分方略 1．已知函数奇偶性求参数的 2 种方法 (1)利用 f(－x)＝－f(x)(奇函数)或 f(－x)＝f(x)(偶函数)在定 义域内恒成立求解； (2)利用特殊值求解，奇函数一般利用 f(0)＝0 求解，偶函 数一般利用 f(－1)＝f(1)求解．用特殊值法求得参数后，一定要 注意验证．
2．记住常用结论 (1)f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b；函 数 f(x)的图象关于直线 x＝a 对称⇔f(x)＝f(2a－x)．
(2) 因 为 函 数 f(x) 为 偶 函 数 ， 所 以 a ＝ f(log30.2) ＝ f( － log30.2)，c＝f(－31.1)＝f(31.1)．
因为 log319<log30.2<log313，所以－2<log30.2<－1，所以 1< －log30.2<2，
所以 31.1>3>－log30.2>1>3－0.2. 因为 y＝ x在(0，＋∞)上为增函数，y＝－4－x 在(0，＋∞) 上为增函数， 所以 f(x)在(0，＋∞)上为增函数， 所以 f(31.1)>f(－log30.2)>f(3－0.2)， 所以 c>a>b.
函数性质的综合应用
[典例 5] (1)(2019·广东七校联考)设定义在 R 上的函数
f(x)，对任意的 x∈R ，都有 f(1＋x)＝－f(1－x)，且 f(2)＝0，当 x>1 时，f′(x)＋f(x)>0，则不等式 f(x)·ln|x－1|<0 的解集为( )
a＝f(log30.2)，b＝f(3－0.2)，c＝f(－31.1)，则( )
A．c>a>b
B．a>b>c
C．c>b>a
D．b>a>c
(3)设函数 f(x)＝4－，4x－≤x＋05，，x>0， 则满足不等式 f(x2－
6)>f(x)的 x 的取值范围是( )
A．(－2,3)
B．(－∞，－2)∪( 6，＋∞)
4．(2017·全国卷Ⅰ)函数 f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且
为奇函数．若 f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1 的 x 的取值范
围是( )
A．[－2,2]
B．[－1,1]
C．[0,4]
D．[1,3]
解析：选 D ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
A．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
[解析] 法一：定义法 由条件可知，f (－x )＝(－x )(e－x ＋ex )＝－x (ex＋e－x)＝－f (x )， 故 f(x)为奇函数．f′(x)＝ex＋e－x＋x(ex－e－x)，当 x>0 时，ex>e －x，所以 x(ex－e－x)>0，又 ex＋e－x>0，所以 f′(x)>0，所以 f(x) 在(0，＋∞)上是增函数． 法二：特值法 根据选项由 f(－1)＝－f(1)，可知函数 f(x)为奇函数．又 f(1)<f(2)，所以 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故选 A.
故由－1≤f(x－2)≤1，得 f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又 f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，
∴1≤x≤3.
5．(2015·全国卷Ⅰ)若函数 f(x)＝xln(x＋ a＋x2)为偶函数， 则 a＝________.
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0 恒成立， ∴－xln(－x＋ a＋x2)－xln(x＋ a＋x2)＝0 恒成立，∴xln a＝0 恒成立，∴ln a＝0，即 a＝1.
函数，满足 f(1－x)＝f(1＋x)．若 f(1)＝2，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…
＋f(50)＝( )
A．－50
B．0
C．2
D．50
解析：选 C 法一：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(1－x)＝－f(x－1)． 由 f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)， ∴f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴函数 f(x)是周期为 4 的周期函数． 由 f(x)为奇函数得 f(0)＝0. 又∵f(1－x)＝f(1＋x)， ∴f(x)的图象关于直线 x＝1 对称， ∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.