23.4 一元二次方程的应用情境切入学海导航完全解读知能点1、列一元二次方程解实际应用题的一般步骤列方程解实际应用问题历来是初中学生的难点，究其原因是理论指导不充分，必须熟练掌握解应用题的一般步骤才能准确解答各种类型的应用题，具体的步骤一般是：（1）审：审题要弄清已知量和未知量，问题中的等量关系；（2）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；（3）列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即方程；（4）解：求出所列方程的解；（5）检验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；（6）答：写出答案．友情提醒：列方程解应用题应该注意的一些问题（1）要注意各类应用题中常用的等量关系．例如面积问题中有关的面积公式，还要注意挖掘题目中隐含的等量关系；（2）注意语言与代数表达式的互化．题目中有些条件是通过语言给出的，只有把它转化成代数式才能为列方程服务；注意从语言叙述中写出等量关系；（3）注意单位问题：一是在设元时必须写清单位，用对单位，例如不要把速度单位写成路程单位．二是在列方程时，要注意方程两边的单位必须一致．例1、某种商品原价50元。
因销售不畅,3月份降价10%,从4月份开始涨价,5月份的售价为64.8元,则4、5月份两个月平均涨价率为 .思维点击：由题意，3月份的售价可以用50×（1—10%）表示，若设4、5月份两个月平均涨价率为x ，则4月份的售价是50×（1—10%）×（1+x ），5月份的售价是50×（1—10%）×（1+x ）（1+x ）即50×（1—10%）×（1+x ）2，由于5月份的售价已知，所以可列出一个方程，进而解决本题。
解：设4、5月份两个月平均涨价率为x ，由题意，得50×（1—10%）×（1+x ）2=64.8。
整理，得（1+x ）2=1.44.解得：120.220%, 2.2x x ===-（不合题意，舍去）。
所以4、5月份两个月平均涨价率为20%。
解后反思：列方程解应用题，要注意求得的方程的解必须符合题意。
例2、如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.思维点击：设截去正方形的边长x 厘米之后，关键在于列出底面（图示虚线部分）长和宽的代数式.结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式.解：设截去正方形的边长为x 厘米，根据题意，得(60－2x ) (40－2x ) ＝800.原方程可写成：2504000.x x -+=解这个方程，得1210,40.x x ==如果截去的小正方形的边长为40厘米，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为80厘米，这超过了长方形铁皮的长60厘米，因此240x =不符合题意，应舍去。
答：截去正方形的边长为10厘米。
温馨提示：在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决.求得方程的解之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答.范例探究★基础思维探究探究点1、与图形有关的问题例1、为了培养孩子从小热爱动物的良好品德，在一边靠校园20米的院墙，另外三边用55米长的篱笆，围起一个面积为3003m 的矩形场地．组织生物小组学生喂养小鸟、兔子等小动物．问这个场地的各边长为多少？思维点击：设与院墙垂直的边长为x m ，则与院墙平行的边长为(55-2x)m ，根据矩形面积公式可列出方程式．解：设与院墙垂直的边长为x m ，则与院墙平行的边长为(55-2x)m ，根据题意得： ()552300x x -=． 整理，得22553000x x -+=.解方程，得1220,15.x x ==当x ＝20，即与院墙垂直的边长为20米时，另一边长为20米，即与院墙平行的边长为15米．当x ＝15，即与院墙垂直的边长为15米时，另一边长为25米，即与院墙平行的边长为25米．由于校园的院墙长20米，20＜25，所以此解不合题意，应舍去．答：与院墙垂直的边长为20米，与院墙平行的边长为15米．温馨提示：若设与院墙平行的边长为x m ，则与院墙垂直的边长为255x -m ．根据矩形面积公式也可以列出方程式．但出现了分数，不如前一种设法好．探究点2、利润问题例2、某商场服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。
为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。
经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件。
要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？思维点击：每天售出的童装件数×每件童装的利润=每天这种童装的总利润。
解：设每件童装应降价x 元，根据题意，得()208401200.4x x ⎛⎫+⨯-= ⎪⎝⎭ 化简，得2302000x x -+=，解得1220,10x x ==。
因为要尽快减少库存，所以x 应取20。
答：每件童装应降价20元。
温馨提示：求出方程的解后，必须根据要求，对方程的解进行合理取舍。
探究点3、增长率问题例3、某厂1月份生产零件 2 万个，第一季度共生产零件 7.98 万个，若每月的增长率相同，求每月的增长率。
思维点击：解：设每月的平均增长率为x ，依题意，得2+2（1+x ）+2（1+x ）2=7.98经整理，得100x 2+300x-99=0，解得x 1=0.3=30%，x 2=-3.3不合题意，舍去。
答：每月的增长率为30%。
温馨提示：（1）解本题的关键是理解“7.98 万个零件是3个月生产量的总和”，一定要注意审题；（2）牢记公式()1na xb ±=，a 为增长率（降低）前的基础数量，x 为增长率（降低率），n 为增长（降低）的次数，b 为增长（降低）后的数量.★综合思维探究例4、一块矩形耕地大小尺寸如图1所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条小渠，如果小渠的宽相等，而且要保证余下的耕地面积为9600米2，那么水渠应挖多宽？图1 图2 思维点击：这类问题的特点是，挖掘所占用土地面积只与挖渠的条数，渠道的宽度有关，而与渠道的位置无关，为了研究问题方便可分别把东西和南北方向的渠道移动到一起（最好靠一边）。
如图2所示，那么剩余可耕的长方形土地的长为（162－2x ）米，宽为（64－4x ）米。
解：设水渠应挖x 米宽，则根据题意，得()()16226449600--=x xx x 297960-+=解得：，舍去x x 12196==()答：水渠应挖1米宽。
温馨提示：此类问题可采用“靠边”的办法使得图形便于表达长、宽，主要体现了数学的化归思想.★创新拓展思维探究例5、机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克。
为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关。
⑴甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍为60%，问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？⑵乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加1.6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克。
问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？思维点击：（1）机械设备实际耗油量为用油量-重复使用的用油量；（2）若设技术革新后的乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x 千克，则比技术革新前下降了（90-x ）千克，从而重复利用率增加了%6.1)90(⨯-x ，这样，就可以根据题意列出方程。
解：（1）由题意，得70(160%)7040%28⨯-=⨯=（千克）。
（2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x 千克，由题意，得[1(90) 1.6%60%]12x x ⨯--⨯-=，整理，得2657500x x --=，解得：1275,10x x ==-（舍去），(9075) 1.6%60%84%-⨯+=。
答：(1)技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克.(2)技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是75千克?用油的重复利用率是84%.解后反思：本题考查了考生灵活利用一元二次方程解决实际问题的能力。
★中考热点探究中考动态：一元二次方程的应用是各地中考中非常重要的一个考查内容，特别是近几年来，各地中考题都更加重视数学问题的实际应用，因此此类题目一般是以一个单独的解答题进行考查，而且考查的题型也逐步由以前常见的工程问题、行程问题、面积问题、平均增长率问题等向更新颖、更贴近生活的问题转变，这就要求同学们在具有更强的数学抽象能力的基础上进行数学建模。
例6、在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．思维点击：根据面积关系列方程.解：设金色纸边的宽为x 分米，根据题意，得（2x ＋6）(2x ＋8)＝80.①②解得：x1＝1，x2＝－8（不合题意，舍去）．答：金色纸边的宽为1分米．温馨提示：“数”和“形”是数学中两个最基本的要素，它们是统一的．图形蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述．本题把数量关系借助于图形展示，兼容了数的严谨与形的直观，充分体现了数形结合的数学思想．整合提升★知识内在联系★学习方法指导本节的重点是利用一元二次方程解决实际问题，难点是数量关系的确定。
用一元二次方程解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题，其关键是要找出等量关系，往往有时等量关系可以通过关键词语表示出来；当等量关系较隐蔽时，要考虑学习过的相关公式、规律来得出等量关系，并总结运用方程解决问题的一般步骤，体会方程的模型思想，及数形结合的思想。
★规律方法点津列方程解应用题一般分为审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案六步进行，其中审题过程虽在草纸上进行，但这一步非常重要，只有经过认真审题，分清已知条件和所求的量，弄清量与量之间的数量关系，才能准确找出相等关系，设列方程。
已知量与未知量之间的关系有的是直接给出的，如和、差、倍、分、多少等关系，仔细审题便可找出；而有些关系则是由物理公式得来的。