拉普拉斯逆变换对于单边拉普拉斯变换，由式（8.1-9）知，象函数F(s)的拉普拉斯逆变换为⎪⎩⎪⎨⎧><=⎰∞+∞-j 0)(210,0)(σσj stt ds e s F j t t f ，π (8.3-1)上述积分应在收敛域内进行，若选常数0σσ>[0σ为)(s F 的收敛坐标]，则积分路线是横坐标为σ，平行于与纵坐标轴的直线。

实用中，常设法将积分路线变为适当的闭合路径，应用复变函数中的留数定理求得原函数。

若F(s)是s 的有理分式，可将F(s)展开为部分分式，然后求得其原函数。

若直接利用拉普拉斯逆变换表（见附录五），将更为简便。

如果象函数F(s)是s 的有理分式，它可写为1110111F(s)a s a s a s b s b s b s b n n n m m m m ++++++++=---- （8.3-2）式中各系数),,1,0(),,,1,0(a i m j b n i j ==均为实数，为简便且不失一般性，设1=n a 。

若n m ≥，可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式)(s P 与有理真分式之和，即 )()()()(s A s B s P s F += （8.3-3）式中)(s B 的幂次小于)(s A 的幂次。

例如6116332261161531258)(23223234+++++++=+++++++=s s s s s s s s s s s s s s F由于)(]1[1t δ=-￡，)(]['1t s δ=-￡，…，故上面多项式)(s P 的拉普拉斯逆变换由冲激函数及其各阶导数组成，容易求得。

下面主要讨论象函数为有理真分式的情形。

一、查表法附录五是适用于求拉普拉斯逆变换的表，下面举例说明它的用法。

例8.3-1 求2352)(2+++=s s s s F 得原函数)(t f 。

解 )(s F 分母多项式0)(=s A 的根为2,121-=-=s s ，故)(s F 可写为 )2)(1(522352)(2+++=+++=s s s s s s s F由附录五查得，编号为2-12的象函数与本例)(s F 相同，其中2,1,5,201====βαb b 。

将以上数据代入到相应的原函数表示式，得0,3)(2≥-=--t e e t f t t 或写为)()3()(2t e e t f t t ε---= 例8.3-2 求10233)(2+++=s s s s F 的原函数)(t f 。

解 )(s F 分母多项式0)(=s A 的根为312,1j s ±-=，故)(s A 可写为 2223)1(102)(++=++=s s s s A 于是)(s F 可写为2223)1()1(310233)(+++=+++=s s s s s s F查表可得，编号2-6的象函数形式与本例相同，只是本例的系数为3，故得)()3cos(3)(t t e t f t ε-= 二、部分分式展开法如果)(s F 是s 的实系数有理真分式（式中n m <），则可写为1110111)()()(a s a s a s b s b s b s b s A s B s F n n nm m m m ++++++++==---- （8.3-4）式中分母多项式)(s A 成为)(s F 的特征多项式，方程0)(=s A 称为特征方程，它的根称为特征根，也称为)(s F 的固有频率（或自然频率）。

为将)(s F 展开为部分分式，要先求出特征方程的n 个特征根),2,1(n i s i =，i s 称为)(s F 的极点。

特征根可能是实根（含零根），也可能是复根（含虚根）；可能是单根，也可能是重根。

下面分几种情况讨论。

（1）)(s F 有单极点（特征根为单根）。

如果方程0)(=s A 的根是单根，其n 个根n s s s ,,,21 都互不相等，那么根据代数理论，)(s F 可展开为如下的部分分式∑=-=-++-++-+-==nii n n i i s s K s s K s s K s s K s s K s A s B s F 1i 2211)()()( （8.3-5）待定系数i K 可用如下方法求得：将式（8.3-5）等号两端同乘以)(i s s -，得 nni i i i i s s K s s K s s K s s s A s B s s s F s s --++++--=-=-)()()()()()()(11 当i s s →时，由于各根均不相等，故等号右端除i K 一项外均趋近于零，于是得])()()[(|)()(lim s A s B s s s F s s K i s s s s i i ii-=-=→= （8.3-6）系数i K 也可用另一种方法确定：由于i s 是0)(=s A 的根，故有0)(=i s A ，这样上式可改写 ii s s i s s s A s A s B K i--=→)()()(lim根据导数的定义，当i s s →时，上式的分母为 )(|)()()('lim i s s i i s s s A s A ds ds s s A s A i i==--=→ 所以)()('i i i s A s B K =（8.3-7）8.3-5）的原函数为 []∑==ni t s i t e K s F i11-)()(ε￡（8.3-8）式中系数i K 由式（8.3-6）或（8.3-7）求得。

例8.3-3 求ss s s s F 234)(23+++=的原函数)(t f 。

解 象函数)(s F 的分母多项式)2)(1(23)(23++=++=s s s s s s s A方程0)(=s A 有三个单实根2,1,0321-=-==s s s ，用式（8.3-6）可求得个系数[也可由（8.3-7）求得] 20s )2)(1(41==+++⋅=s s s s s K3-1s )2)(1(4)1(2-==+++⋅+=s s s s s K1-2s )2)(1(4)2(3==+++⋅+=s s s s s K 所以21132)2)(1(4)(+++-=+++=s s s s s s s s F取其逆变换，得0,32)(2≥+-=--t e e t f t t 或写为)()32()(2t e e t f t t ε--+-= （2）)(s F 由共轭单极点（特征根为共轭单根）方程0)(=s A 若有复数根（或虚根），它们必共轭成对，否则，多项式)(s A 的系数中必有一部分是复数或虚数，而不可能全为实数。

例8.3-4 求222)(2+++=s s s s F 的原函数)(t f 。

解 象函数)(s F 的分母多项式)1)(1(22)(2j s j s s s s A ++-+=++=方程0)(=s A 有一对共轭复根,112,1j s ±-= 用式（8.3-7）可求得各系数为4π1111122211222)()(j j s e j j s s s A s B K -+-==+=++==‘4π1-1222222-11222)()(j j s e j j s s s A s B K --==+=++==‘ 系数1K ，2K 也互为共轭复数。

)(s F 可展开为js ej s e s s s s F +++-+=+++=-122122222)(4πj 4πj 2取逆变换，得)(4(cos 22)(22)(2222)(t -）4πj(t -）4πj(t t -)1(4πj )1(4πj t t e t e e e t e e e e t f t j tj εεε）π-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=----+-- 由本例可见，当0)(=s A 有共轭复根时，计算比较复杂，下面将导出较为简便实用的关系式。

设0)(=s A 有一对共轭单根βαj s ±-=2,1，将)(s F 的展开式分为两个部分)()()()()())(()()()()(2122212s F s F s A s B j s K j s K s A j s j s s B s A s B s F +=++++-+=++-+==βαβαβαβα（8.3-9）式中;)(211βαβαj s K j s K s F +++-+=)()()(222s A s B s F =。

)(2s F 展开式的形式由0)(2=s A 的根n s s ,,3 具体情况确定。

应用式（8.3-7），可求得 )(')()(')(111βαβαj A j B s A s B K +-+-==)(')()(')()(')(*1*1222s A s B j A j B s A s B K =----==βαβα 由于)(s B 和)('s A 都是s 的实系数多项式，故)()(1**1s B s B =，)()(1'**1's A s A =，因而上述系数1K 与2K 互为共轭复数，即*12K K =。

令⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====-θθj j e K s A s B K e K s A s B K 12221111)(')()(')( （8.3-10）式中*121,s s j s =+-=βα。

这样，式（8.3-9）中的)(1s F 可写为 βαβαθθj s e K j s e K s F j j +++-+=-111)(（8.3-11） 取逆变换，得[][])()cos(2)()()(1θ)j(β(-θ)j(β(1)(1)(11t t e K t e e t e K t e e K e e K t f t αt j j t j j εθβεεαβαθβαθ+=+=+=-++----+-（8.3-12）这样，只需求得一个系数1K ，就可按式（8.3-12）写出相应的结果。

例8.3-5 求象函数)22)(1)(1(42F(s)2223+++++++=s s s s s s s s 的原函数)(t f 。

解 本例0)(=s A 有6个单根，它们分别为11,1,1,06,54,321j s j s s s ±-=±=-==，故)(s F 得展开式为js K j s K j s Kj s K s K s K s F +++-++++-+++=111)(654321 按式（8.3-6）可求得各实数为43πj 152πj 31201213112)()1(21)()(1)()1(2)(e j j s F j s K e s F j s K s F s K s sF K js js s s =--+=-+==-=-=+===+-==-==于是)(s F 得展开式可写为js e j s e j s ej s e s s s F +++-++++-++-=1211212121112)(43πj -43πj 2πj -2πj 取其逆变换，得)()43cos(2)2cos(2)()43cos(22)2cos(2)(t t e t e t t e t e t f t t t t εε⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-=----ππππ（3）)(s F 有重极点（特征根为重根）。