九江市2018—2019学年度下学期期末考试试卷八年级数学一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项，请将这个正确的选项填在下面表格中．）1.下面四张扑克牌其中是中心对称的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念即可求解【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、是中心对称图形，符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，难度一般．2.下列式子：2x，5a b+，22xπ--，52yab+，其中分式的数量有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】分析】根据分式定义：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式进行分析即可．【详解】解：2x，52yab+是分式，共2个，故选：B ．【点睛】此题主要考查了分式定义，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是A B 的形式，从本质上看分母必须含有字母．3.若55x y >-，则下列不等式中一定成立的有（ ）A. x y >B. x y <C. 0x y +>D. 0x y +< 【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质，两边同时除以5进行计算，判断出结论成立的是哪个即可．【详解】解：∵5x ＞-5y ，∴x ＞-y ，∴x+y ＞0故选：C ．【点睛】此题主要考查了不等式的性质，要熟练掌握，特别要注意在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．4.已知20a b --+=，则22b a -的值是（ ）A. 5-B. 5C. 6-D. 6 【答案】D【解析】【分析】利用非负性，得到2=03=0a b a b --⎧⎨++⎩，解出-b a 与+b a 的值，即可解得22b a -.【详解】由20a b --=得：2=03=0a b a b --⎧⎨++⎩ 则：-=-2+=-3b a b a ⎧⎨⎩ 所以：22=-b a b a b a -+-⨯g （）（）=(-2)（3）=6,故答案选D.【点睛】本题考查了绝对值与二次根式的非负性，解答即可.5.小明和小莉同时从学校出发，按相同路线去图书馆，小明骑自行车前往，小莉前一半路程先乘坐公共汽车到图书馆站，然后步行剩下的路程走到图书馆．已知小明骑车的速度是小莉步行速度的2倍，小莉乘坐公共汽车的速度是小明骑车速度的2倍．则比较小明与小莉到达图书馆需要的时间是（ ）A. 一样多B. 小明多C. 小莉多D. 无法确定 【答案】C【解析】【分析】分别设出小明、小莉的速度路程，然后用代数式表示时间再比较即可.【详解】设小明的速度是v ，则小莉乘坐公共汽车的速度2v, 小莉步行的速度v 2，总路程是s. 小明的时间是：vs 小莉的时间是：5(2v)+()=2224vs s v s ÷÷ 54v v s s > 所以，小莉用的时间多，答案选C.【点睛】本题是对用字母表示数的实际应用，能找到本题当中数量与数量之间的关系是解决本题的关键.6.已知锐角三角形ABC ∆中，65A ∠=︒，点O 是AB 、AC 垂直平分线的交点，则BCO ∠的度数是（ ）A. 25︒B. 30°C. 35︒D. 40︒【答案】A【解析】【分析】连接OA 、OB ，由65A ∠=︒，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=115°，根据线段的垂直平分线的性质得到OA=OB ，OA=OC ，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接OA 、OB ，∵∠BAC=65°，∴∠ABC+∠ACB=115°，∵O 是AB ，AC 垂直平分线的交点，∴OA=OB ，OA=OC ，∴∠OAB=∠OBA ，∠OCA=∠OAC ，OB=OC ，∴∠OBA+∠OCA=65°，∴∠OBC+∠OCB=115°-65°=50°，∵OB=OC ，∴∠BCO=∠OBC=25°，故选：A ．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，解决问题的关键是掌握：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）7.命题“若1a b>，则a b >．”的逆命题是_____命题．（填“真”或“假”） 【答案】假【解析】【分析】写出该命题的逆命题后判断正误即可．【详解】解：命题“若1a b >，则a b >．”的逆命题是若a ＞b ，则1a b>， 例如：当a=3，b=-2时错误，为假命题，故答案为：假．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是交换命题的题设写出该命题的逆命题．8.把多项式34x x -分解因式的结果是______.【答案】(2)(2)x x x +-【解析】【分析】先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解即可.【详解】()()()324422x x x x x x x -=-=+- 【点睛】此题主要考查因式分解的运算，解题的关键是先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解. 9.已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是 。

【答案】5【解析】试题分析：∵多边形的每一个内角都等于108°，∴每一个外角为72°。

∵多边形的外角和为360°，∴这个多边形的边数是：360÷÷72=5。

10.如图，在ABC △中，10AB AC ==，AD 平分BAC ∠，点E 为AC 中点，则DE =_____．【答案】5【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一得到∠ADC=90°，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵AB=AC ，AD 平分∠BAC ， ∴AD ⊥BC ，∴∠ADC=90°，点E 为AC 中点，∴DE=12AC=5，故答案为：5．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．11.已知实数A 、B 满足()()42323x A B x x x x -=-----，则A B +=_____． 【答案】3【解析】【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】解：等式的右边=()()()()()()(3)(2)()324232323A x B x A B x A B x x x x x x x -----+-==------=等式的左边，∴1234A B B A -⎧⎨--⎩＝＝,解得： 21A B ⎧⎨⎩＝＝，∴A+B=3，故答案为：3【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则以及二元一次方程组的解法．12.在ABCD Y 中，60B ∠=︒，4AB BC ==，点E 在BC上，CE =P 是ABCD Y 边上异于点E 的另一个点，且CE CP =，则2EP 的值为______．【答案】24或36或24-【解析】【分析】情况1：连接EP 交AC 于点H ，依据先证明ABCD Y 是菱形，再根据菱形的性质可得到∠ECH=∠PCH=60°，然后依据SAS 可证明△ECH ≌△PCH ，则∠EHC=∠PHC=90°，最后依据EP=2EH=2sin60°•EC 求解即可．情况2：如图2所示：△ECP 为等腰直角三角形，则2EP=2EC=26．此时，2EP =24情况3：如图2：过点P′作P′F ⊥BC ．通过解直角三角形可以解得FC ，EF ，再在Rt △P′EF 中，利用勾股定理可以求得2EP '.【详解】解：情况1：如图所示：连接EP 交AC 于点H ．∵在ABCD Y 中，4AB BC ==∴ABCD Y 是菱形∵菱形ABCD 中，∠B=60°，∴∠BCD=120°，∠ECH=∠PCH=60°．在△ECH 和△PCH 中EC PC ECH PCH CH CH ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ECH ≌△PCH ．∴∠EHC=∠PHC=90°，EH=PH ．∴EP=2EH=2sin60°•EC=2×3×23=6． ∴2EP =36情况2：如图2所示：△ECP 为等腰直角三角形，则2EP =2EC=26．∴2EP =24情况3：如图2：过点P′作P′F ⊥BC ．∵，BC=4，∠B=60°，∴P′C ⊥AB ．∴∠BCP′=30°．∴FC=2×，．∴2EP '=22+=（3）24-故答案为：24或36或24-【点睛】本题主要考查的是菱形的性质，全等三角形的判定和性质，以及解直角三角形和勾股定理得结合，是综合性题目，难度较大．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13. （1）分解因式：()222224a b a b +-； （2）解方程：2312124x x x -+=-- 【答案】（1）()()22a b a b +-；（2）原方程无解．【解析】【分析】 （1）首先利用平方差公式进行分解因式，再利用完全平方公式继续分解即可；（2）观察可得最简公分母是2（2x-1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】（1）解：原式()()()()22222222a b ab a b ab a b a b =+++-=+- （2）解：()22423x x -+-=-12x = 经检验：12x =是原方程的增根． ∴原方程无解．【点睛】此题主要考查了解分式方程以及分解因式，正确掌握解方式方程的方法和因式分解的方法是解题关键．14.解不等式组，并将不等式组的解集在下面的数轴上表示出来：27521142x x x x -<-⎧⎪⎨--≤⎪⎩．【答案】23x -≤<，将不等式组的解集在数轴上表示见解析.【解析】【分析】分别解两个不等式得两个不等式的解集，然后根据确定不等式组解集的方法确定解集，最后利用数轴表示其解集．【详解】2752(1)11(2)42x x x x -<-⎧⎪⎨--≤⎪⎩ 由（1）可得3x <由（2）可得2x ≥-∴原不等式组解集为23x -≤<【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．15.在平面直角坐标系中，ABC △三个顶点的坐标分别是()3,1A -，()1,4B -，()0,1C ．（1）将ABC △绕点C 旋转180︒，请画出旋转后对应的11A B C V ；（2）将11A B C V 沿着某个方向平移一定的距离后得到222A B C △，已知点1A 的对应点2A 的坐标为()3,1-，请画出平移后的222A B C △；（3）若ABC △与222A B C △关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为_____．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）()0,0【解析】【分析】（1）延长BC 到B 1使B 1C=BC ，延长AC 到A 1使A 1C=AC ，从而得到△A 1B 1C 1；（2）利用点A 1和A 2的坐标特征得到平移的规律，然后描点得到△A 2B 2C 2；（3）利用关于原点对称的点的坐标特征进行判断．【详解】（1）△A 1B 1C 1如图所示；（2）△A 2B 2C 2，如图所示；（3）∵()3,1A -，()1,4B -，()0,1C ，()23,1A -，()21,4B -，()20,1C -∴ABC △与222A B C △关于原点对，对称中心坐标为()0,0，【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．16.如图，经过点()3,0的一次函数y x b =-+与正比例函数y ax =交于点(),2P m ．（1）求a ，b ，m 的值；（2）请直接写出不等式组0ax x b ≥-+>的解集．【答案】（1）2a =，3b =，1m =；（2）13x ≤<【解析】【分析】（1）将点（3，0）和点P 的坐标代入一次函数的解析式求得m 、b 的值，然后将点P 的坐标代入正比例函数解析式即可求得a 的值；（2）直接根据函数的图象结合点P 的坐标确定不等式的解集即可．【详解】（1）∵正比例函数y ax =与过点()3,0的一次函数y x b =-+交于点(),2P m ．∴30b -+=∴3b =∴3y x =-+∴23m =-+∴1m =∴()1,2P∴2a =（2）直接根据函数的图象，可得不等式0ax x b ≥-+>的解集为： 13x ≤<【点睛】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式的问题，解题的关键是能够确定有关待定系数的值，难度不大．17.如图，BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，BD 与CE 相交于点O ，连接线段AO ，AO 恰好平分BAC ∠．求证：OB OC =．【答案】见解析.【解析】【分析】由角平分线的性质得出OE=OD ，证得△BOE ≌△COD ，即可得出结论．【详解】∵BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，AO 恰好平分BAC ∠∴OE OD =，90BEO CDO ∠=∠=︒∵BOE COD ∠=∠∴BOE COD V V ≌∴OB OC =【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握角平分线的性质、证明三角形全等是解题的关键．四、解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分）18.已知m 是不等式()()253312m m m +≥--的一个负整数解，请求出代数式22619m m m --+-223m m +÷+的值． 【答案】21m m +，原式4=- 【解析】【分析】先根据分式的运算法则进行化简，再求出不等式的负整数解，最后代入求出即可． 【详解】∵22622193m m m m m -+-+÷-+ ()()()()23313321m m m m m m -+=-+⋅+-+ 21111111m m m m m -=-+=++++ 21m m =+ 求解不等式()()253312m m m +≥--，解得3m ≥-又当1m =-，3m =-时分式无意义 ∴2m =-∴原式4=-【点睛】本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式，不等式的整数解等知识点，能求出符合题意的m 值是解此题的关键．=，试探究AP与CQ的关19.如图，在平行四边形ABCD的对角线BD上存在P，Q两个点，且BP DQ系．【答案】见解析.【解析】【分析】=，得到BQ=DP,再根据平行四边形性质可得AD=BC，AD∥BC，可证△ADP≌△CBQ（SAS），由BP DQ即可得：AP=CQ，∠APD=∠CQB．可得∠APB=∠DQC，结论可证．【详解】解：AP=CQ，AP∥CQ；理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC∴∠ADP=∠CBQ，∵BP=DQ，∴DP=BQ∴△ADP≌△CBQ（SAS），∴AP=CQ，∠APD=∠CQB．∵∠APB=180°-∠APD，∠DQC=180°-∠CQB∴∠APB=∠DQC∴AP∥CQ．∴AP=CQ，AP∥CQ【点睛】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，能利用平行四边形找到证明全等的条件是解答此题的关键.20.甲、乙两家旅行社为了吸引更多的顾客，分别推出赴某地旅游的团体（多于4人）优惠办法．甲旅行社的优惠办法是：买4张全票，其余人按半价优惠；乙旅行社的优惠办法是：所有人都打七五折优惠．已知这两家旅行社的原价均为每人1000元，那么随着团体人数的变化，哪家旅行社的收费更优惠．【答案】当团体人数超过8人时，选甲旅行社收费更优惠；当团体人数为8人时，两家旅行社收费相同；当团体人数少于8人时，选乙旅行社收费更优惠．【解析】【分析】设团体有x 人，收费y 元，得出y 甲=4000+500（x-4）=500x+2000，y 乙=750x ，再分情况列不等式和方程求解可得．【详解】设团体有x 人，收费y 元∴()400050045002000y x x =+-=+甲，750y x =乙∵当y y >甲乙时，5002000750x x +>，解得8x <；∴当y y =甲乙时，5002000750x x +=，解得8x =；当y y <甲乙时，5002000750x x +<，解得8x >；∴当团体人数超过8人时，选甲旅行社收费更优惠；当团体人数为8人时，两家旅行社收费相同；当团体人数少于8人时，选乙旅行社收费更优惠． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系与不等关系．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分．）21.在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线AB 于点H ．（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明；（2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．【答案】（1）CF FH =，证明见解析；（2）依然成立，点E 与点C 之间的距离为333．理由见解析.【解析】【分析】（1）做辅助线，通过已知条件证得ADG V 与DEF V 是等腰直角三角形．证出CEF FGH VV ≌，利用全等的性质即可得到CF FH =.（2）设AH ，DF 交于点G ，可根据ASA 证明△FCE ≌△HFG ，从而得到CF FH =，当ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==．利用勾股定理可以求DE 、CE 的长，即可求出CE 的长，即可求得点E 与点C 之间的距离．【详解】（1）CF FH =证明：延长DF 交AB 于点G∵在ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，∴45A B ∠=∠=︒∵DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，∴90EDF ∠=︒，ADG V 与DEF V 是等腰直角三角形．∴45AGD DEF ∠=∠=︒，AD DG =，90DCF CFD ∠+∠=︒，∴135CEF FGH ∠=∠=︒，∵点D 是AC 的中点，∴132CD AD AC ===，∴CD DG = ∴CE FG =∵FH CF ⊥于点F ，∴90CFG ∠=︒，∴90GFH CFD ∠+∠=︒∴DCF GFH ∠=∠∴CEF FGH V V ≌∴CF FH =；（2）依然成立理由：设AH ，DF 交于点G ，由题意可得出：DF=DE ，∴∠DFE=∠DEF=45°，∵AC=BC ，∴∠A=∠CBA=45°，∵DF ∥BC ，∴∠CBA=∠FGB=45°，∴∠FGH=∠CEF=45°，∵点D 为AC 的中点,DF ∥BC ，∴DG=12BC,DC=12AC ， ∴DG=DC ，∴EC=GF ，∵∠DFC=∠FCB ，∴∠GFH=∠FCE ，在△FCE 和△HFG 中CEF FGH EC GFECF GFH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△FCE ≌△HFG(ASA)，∴HF=FC.由（1）可知ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==． ∴2233DE DF CF CD ==-=∴333CE DE DC =-=-∴点E 与点C 之间的距离为333-．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，学会利用全等和等腰三角形的性质，借助勾股定理解决问题.22.某商店用1000元人民币购进水果销售，过了一段时间又用2800元购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了2元．（1）求该商店第一次购进水果多少千克？（2）该商店两次购进的水果按照相同的标价销售一段时间后，将最后剩下的50千克按照标价半价出售．售完全部水果后，利润不低于3100元，则最初每千克水果的标价是多少？【答案】（1）第一次购进水果200千克；（2）最初每千克水果标价12元．【解析】【分析】（1）设该商店第一次购进水果x 千克，则第二次购进水果2x 千克，然后根据每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元，列出方程求解即可；（2）设每千克水果的标价是y 元，然后根据两次购进水果全部售完，利润不低于3100元列出不等式，然后求解即可得出答案．【详解】（1）设第一次购进水果x 千克，依题意可列方程：1000280022x x+=解得200x =经检验：200x =是原方程的解．答：第一次购进水果200千克；（2）设最初水果标价为y 元，依题意可列不等式： 155050380031002y y +⋅-≥ 解得12y ≥答：最初每千克水果标价12元．【点睛】此题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系与不等关系是解决问题的关键．六、解答题（本大题共1小题，12分）23.【课题研究】旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于90︒的角）与旋转角的关系．【问题初探】线段AB 绕点O 顺时针旋转得线段CD ，其中点A 与点C 对应，点B 与点D 对应，旋转角的度数为α，且0180α︒<<︒．（1）如图（1）当90α=︒时，线段AB 、CD 所在直线夹角为______．（2）如图（2）当60α=︒时，线段AB 、CD 所在直线夹角为_____．（3）如图（3），当90180α︒<<︒时，直线AB 与直线CD 夹角与旋转角α存在着怎样的数量关系？请说明理由；【形成结论】旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角_____．【运用拓广】运用所形成的结论求解下面的问题：（4）如图（4），四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，30ADC ∠=︒，AB BC =，2AD =，3CD =求BD 的长度．【答案】（1）90°；（2）60°；（3）互补，理由见解析；相等或互补；（4）7BD =. 【解析】【分析】（1）通过作辅助线如图1，延长DC 交AB 于F ，交BO 于E ，可以通过旋转性质得到AB=CD ，OA=OC ，BO=DO ，证明△AOB ≌△COD ，进而求得∠B=∠D 得∠BFE=∠EOD=90°（2）通过作辅助线如图2，延长DC 交AB 于F ，交BO 于E ，同（1）得∠BFE=∠EOD=60°（3）通过作辅助线如图3，直线AB 与直线CD 所夹的锐角与旋转角α互补， 延长AB ，CD 交于点E 通过证明AOB COD ∆∆≌得A OCD ∠=∠，再通过平角的定义和四边形内角和定理，证得180AEC AOC ∠+∠=︒；形成结论：通过问题（1）（2）（3）可以总结出旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角相等或互补；（4）通过作辅助线如图：将BCD ∆绕点B 顺时针旋转，使得BC 与AB 重合，得到BAF △，连接DF ，延长FA ，DC 交于点E ，可得BCD BAF ∆∆≌，进一步得到△BDF 是等边三角形，90FAD AED ADC ∠=∠+∠=︒，再利用勾股定理求得BD . 【详解】（1）解：（1）如图1，延长DC 交AB 于F ，交BO 于E ，∵α=90°∴∠BOD=90°∵线段AB 绕点O 顺时针旋转得线段CD ，∴AB=CD ，OA=OC ，BO=DO∴△AOB ≌△COD （SSS ）∴∠B=∠D∵∠B=∠D ，∠OED=∠BEF∴∠BFE=∠EOD=90°故答案为：90°（2）如图2，延长DC 交AB 于F ，交BO 于E ，∵α=60°∴∠BOD=60°∵线段AB 绕点O 顺时针旋转得线段CD ，∴AB=CD ，OA=OC ，BO=DO∴△AOB ≌△COD （SSS ）∴∠B=∠D∵∠B=∠D ，∠OED=∠BEF∴∠BFE=∠EOD=60°故答案为：60°（3）直线AB 与直线CD 所夹的锐角与旋转角α互补， 延长AB ，CD 交于点E∵线段AB 绕点O 顺时针旋转得线段CD ，∴AO CO =，BO DO =，AOC BOD α∠=∠= ∴AOB COD ∠=∠∴AOB COD ∆∆≌∴A OCD ∠=∠∵180OCE OCD ∠+∠=︒∴180A OCE ∠+∠=︒∴()360180AEC AOC A OCE ∠+∠=︒-∠+∠=︒∴直线AB 与直线CD 所夹的锐角与旋转角α互补；形成结论：旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角相等或互补； （4）将BCD ∆绕点B 顺时针旋转，使得BC 与AB 重合，得到BAF △，连接DF ，延长FA ，DC 交于点E ，∴旋转角为60ABC ∠=︒，BCD BAF ∆∆≌∴60AED ABC ∠=∠=︒，3AF CD ==BD BF =，∴△BDF 是等边三角形，∵30ADC ∠=︒，2AD =，∴90FAD AED ADC ∠=∠+∠=︒， ∴227BD DF AD AF ==+.【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．。