2
a
x N 2 x3
a
x
当n N时, 所有的点 x n都落在 (a , a )内, 只有有限个 (至多只有N个) 落在其外.
数列收敛的表述——用逻辑符号:
lim xn a
n
0, N 0, n N , xn a . one of all , for every , exist .
Chap01 函数、极限与连续 不介绍、不需要掌握的内容:
1. P17 双曲函数_双曲正弦,双曲余弦,双曲正切;
P19 反双曲函数_...; 2. P55 柯西Cauchy收敛准则; 3. P72 一致连续性.
Chap01 函数、极限与连续
重点内容:
1.极限定义,极限运算法则,
极限存在准则,两个重要极限, 等价无穷小量;
( 1)n1 例如，当 n 无限增大时, xn 1 无限接近于 1. n
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn 1 ( 1)
n 1
1 1 n n
给定 10 , 只要 n 10 时, 有 xn 1 10 ,
2 3
2 3
2 3
给定 10 , 只要 n 10 时, 有 xn 1 10 , 给定 104 , 只要 n 104 时, 有 xn 1 10 4 , 给定 0, 只要 n N 1
A2 1 3 显然n越大, An越接近于A. An R 2 3 2n1 sin
, An表示圆内接正—— 62n-1 边形面积, 刘徽
因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势.
n 1 3 2
刘 徽 | 牟 合 方 盖
V牟 : V球 4 :
2. 曲边三角形的面积问题： y 与割圆问题 1 同样的是
2. 函数的连续性,连续函数的运算,闭区间上连
续函数的性质.
难点: 1.极限存在准则,等价无穷小量的使用; 2.函数的间断点,闭区间上连续函数性质的应用.
今日讲课内容: 数列极限定义 函数极限定义 长假后讲课内容: 极限运算法则 极限存在准则 两个重要极限
数列的极限
一. 概念的引入
二. 数列极限的概念
['epsi l n]
Greek alphabet : E
n ( 1) n 1 1. 下的杖长总和为X n 2 n ; 2 2 2 1 Xn 1 n 1 2
数 列
定义:按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
(1)
称为无穷数列, 简称数列. 其中的每个数称为数 列的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n } .
n
或 x n a ( n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
xn a N定义 : lim n 0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .
; : 至少有一个或存在. 其中 : 每一个或任给的
几何解释:
a
x2 x1 x N 1
——曲边
yx
2
三角形的
面积 A 如何计算？
o
1
x
我们通常的做法是:将区间[0,1] n 等份,用小 矩形的面积来近似地表示小曲边梯形的面积.
不足近 似 (橘 色部分)
1 i 1 1 2 ( n 1) 3 n n n i 1 n( n 1)(2n 1) 1 1 1 (1 )(2 ) 3 6n 6 n n
}
2, 2 2 ,
, 2 2
2,
注意： 数列对应着数轴上一个点列.可看作一动 点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3
x1
x 2 x4
xn
问 当 n 无限增大时, x n 是否无限接近于某一 题 确定的数值?如果是,如何确定?
二. 数列极限的定义
问题: 当 n 无限增大时, x n是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定?
n 2 2 n 2 2 2 2
2
2
1 i 1 2 n 过剩近 3 n 似(橘色 i 1 n n 加蓝色 n( n 1)(2n 1) 1 1 1 (1 )(2 ) 部分) 3 6n 6 n n
可以看到，随着 n 的不断增大，不足近似 不断增加，过剩近似不断减少，越来越接 近于所要求的曲边三角形面积 A 的真值。
例如 2,4,8,,2 n ,; {2 n }
1 1 1 1 , , ,, n ,; { 1 } 2 4 8 2 2n
1,1,1, , ( 1) n 1 ,;
{(1)
n 1
}
n 1
1 4 n ( 1) n 1 2, , , , ,; 2 3 n
n ( 1) { n
三. 数列极限的性质
一、概念的引入
1. 如何用渐近的方法求圆的面积A？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积 A. 刘徽割圆术： A1“ 表示圆内接正 6边形面积, …割之弥细，所失弥 A2少，割之又割，以至于 表示圆内接正12边形面积,
不可割，则与圆周合体 A3 表示圆内接正24边形面积, 而无所失矣”
1 (1 6 1 (1 6
1 )(2 n 1 )(2 n
1 n ) A n 1 n ) A n
1 , 3 1 . 3
3. 截杖问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 第一天截下的杖长为X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和 为 X2 2 ; 2 2

时,
有 xn 1 成立.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么 小), 总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切 x n , 不等式 x n a 都成立 , 那末就称常数 a 是数 列 x n 的极限, 或者称数列 x n 收敛于 a , 记为
lim x n a ,