第五章微扰理论221.设氢原子中价电子所受有效作用班厂）二-玉-几兽 其中£, r 厂 4矶试用微扰理论求基态能屋（准确到一级）。

［解］:氢原子基态波函数•••Eo = E ： + E 冷…「El 守-a2r 2r=一手臥九J7石dMQ-2aal&入航•••E O = E ： + E ；+・・・2 •设在方。

表象中方的矩阵为= _4a\[^£a 。

九-—< 2丿 002——0<2<1__L 2-r’E ；）0 a 、H= 0 E ； b 其中 E ； < E ； < E ； 问,问《卑a b" E ；\ 3/试用微扰理论求能量木征方程的木征值，准确到二级。

/\ /V［解］表象中的H 的若无微扰吋，应是一个对角矩阵，而此题中H 不是对角阵，但 它的项应是对角阵。

曾\a0 0、<00 a } H = 0E ； h—E ： 0 + 00 b♦ aE 為(OE 為* 2胪 o >曾0、‘0 0 a '第一项就是H.=0 E； 0 第二项是H'= 0 0 h,0 \E 為♦ /?* 0, 若准确到二级対三个能级 耳 爲耳则E 严 E ：）+ E ：+E ；+…E' = E ； + E ； + E ；+…式中已知，只要求出0尽即可・・• E \ = H\ E\ = H ；2・・・ H ；2 = o H ；3 = a・•. E ；=于g由的矩阵元中对知 H ：H ；=码=0 即 E ； = E ；= £；=()・・ F 2=y \H nn] =yr()m m.R ⑺_ V 冋“」1—乙耳）_£；（m 工1） m = 1.3此吋只有三项E' 耳-E ； ' El-El同理圧=工磐雷m 匕2 一L m (m工2)2 ・•・对于E 严E ； + E ；+E ：+.,耳+ -^― +… E? = E ； + E ； + E ； + …=E ； + +.・・匕2 —匕3E 产耳+ & +砖+…二耳七3 一匕\匕3 一匕23. 转动惯量为I,电偶极矩为方的空间转了处于匀强电场E +，若电场很小, 算转了基态能量的二级修下。

［解］在第三章中第13题，我们已知道转动惯屋为I 的刚性转了的能级为E ； 定态波函数H°= — fr21但基态1 = 0E ：；=0 阮°尤）是非简并的。

可按定态非简并微扰处理为方便起见，我们选E 方向与坐标Z 轴方向一致，则H' = -D • E = -D^cosd（ 0 与 £> 与 E 夹角）E —E 。

詔圧 — E ；2 = E ；_E ；加=2 或 m = 2 则 H^=a£2_y KJ23WEP（m 主3）% = b*:.E ；Et_E ：）+ E ；_E ；E ：产岡卬丽加％dO（-0 •肌 dQb 2用微扰法计«/ + 1）力2_~21 -=- [D EJQ 4龙」=--DE [cos Odd = 0 4兀」 而 H ；°= H ；）k1Ok=-誉 JX ；“Yi （）dG当k = \ m = 0吋 H"0 其余均为0・・・琦=D 2E 2I4. 设体系未受微扰时只有二个能级窣及毋，现在受到微扰H'作用，微扰矩阵元为 H[2 = H 2]= a, H ：= Ht=b ； a,b 都是实数，用微扰公式计算能量到二级修正.解：由微扰公式得E' =H rn nn~OE\Yi212I < DE 、 2 _ -D 2E 2IE —E 厂n0k< >/3> ~3忙心g 心~2k 即一级修正为0 DE■VF习Q”oDE2力217I （）H其中（cos %E （o ）_ E （。

）・・・能量的二级修正值为2E 厂 E ；+b +云5. 基态红原子处于平行电场屮，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即当 t v 0W当t>o （ r>o 的参数）求经过长吋间后氢原子处于2p 态的儿率。

解:对于2p 态,^ = 1, m 可取0, ± 1三值，其相应的状态为氢原子处在2p 态的几率也就是从0100跃迁到0210、0211、021—1的几率Z 和。

由讣=詈側;肿恂（W z= ee （t ）r cos 0）=^R 2l Y^e£（t ）rcos0 R^Y^dr （取E 方向为 Z 轴方向）= ££（『）[ R 2[rR l0dr 得 E\ = H ：严bE ；=H ；2=b•MLE —E ：E2=X mI%』—/E ；-E 「E ；-E ；02100211hTJ ‘n210J00「£^IO ^OO cos&sin 阳&d©ee （t ）f 「£ Y ］；）* r i0 sin 0d6 d （p/ = { R ；i （厂）&o 0"），d 厂=& Qo1 1 4!x 25 5 _ 256石不丁心帀r°陽⑴ 256 128^2/、■TFilTT 厂FT 咬呱=«£（『）［ /?2i r£y,, cos 0Y^ sin&d&d/££（/） J /?2i 心io 刃『f K ：咅Ko sin OdOdcp^21-1,100 =（021-1 穴 0100〃。

= «£（》）（ /?2l r 3/?l （）Jr £「乙打 COS &E K ） sinFd 〃d©厉岭)s\n0dOd (p由上述结果可知,W1ST 2“ = W100T 210 +W100T 211 +"100—21-1^210,100丹211」00 砖⑴“ ；］］"OS 如 |(M叽2135h 2 2430 0A 如一一.e T -1_4(皀)2护尿2 方八2430 0其中◎广即二給（1冷）=豁二萨 力 2方 4 8力 8加（）6•粒子处于宽为a 的一维无限深势阱中，若微扰为-b求粒了能量的一级修止。

当/Too 时,p-(243+b 当—<x<a2［解］对宽为a 的一维无限深势阱的木函 以兀）= 2 . nx— sin——x a a2 . nz e • nx t— sin — xH sin — xdx a a a^2 . nx z ； x . n7i f F 2 • —sin — x(-/?)sin ——xax+ L — sin } a a a a nx t . nx t —xbsin — xdx a a2b 备.2处, 2b $ . ° nx . ----- p sin —xdx H L sin —xdx a * a a \ acos+ — C(l-cosaa s2 ] ~~r®1 + 二 rb——+2 2 兀rt= --[x aa . 2nx ---- sin----- 2n 兀 a a . In7i---- s in ----- 2/77T a程]2=——sin n7t ----- s in 2n/r n7r 2nx =0即粒子能量的一级修正为07. 计算氢原了由第一激发态到基态的自发发射几率。

由选择定则心=±1,知2ET1S 是禁戒的故只需计算的儿率（Z ）2I,”M（）= f瞪（门&（）（门广加• ”二 COS&V//2⑵211,10()=。

⑵ 21-1.100 = °⑵计算X 的矩阵元x = rsin&cos© = -^si n&(严 +严。

)（兀）21讪00 =*[/?；1（厂）尺0（"加脱亦&（严+严％加解:3 mk212p 有三个状态,即0210,肖 211，021-1⑴先计算Z 的矩阵元 z = rcosO2於Z212箱+ Sm-\ )^=(2x r +2x r +i n=r⑷计算/f = f ^21(^)^10 (r)r 3dr = -^= aQ(兀)211,10021-1J00⑶计算y 的短阵元1 ・〃 •皿y = rsin/9sin^ = — rs\n0{e l (p -e *)2i R ；2)Rio (Cr 3dr ・ jYi ：sin&(/=云厂j§（-盅1 -盅T ）d (y )210J00 — °W210J00 = 0(y )2ii ・ioo（歹）2叽()')21-1」001 1 4!x25 525627^=8176^=^07?8血1°-•^ = 1.91x10^-r = — = 5.23 x 10_,05 = 0.52 xlO -9 人218. 用狄拉克符号求线性谐振了偶极跃迁的选择定则［解］因为线性谐振了跃迁几率 叱当W-枷工0时，跃迁才有可能发生即 X^k H o 且 W = V%4空 3hc 3 v 8 h 3 3应） 715 3928“迟437 丹 °，h 2• _2••• X =< m x k > mk1L 屮）=*［｛才 £_I 〉+ J —2 R + I 〉］2 V2R+l 〉］£+1+ 1>即 Am = —1或 Am = 1时，X 脉工0 %»工0 当也等于其他值，即心心±1吋 X 腻=0 光》=0所以谐振子的偶极跃迁定则为 A/?? = ±l 即只有相邻能级发生跃进，其他都不能发牛。

9. 对于宽度为a 的一维无限深势阱中的粒子（质量为“））受到微扰 、/ v 2xv（x ）=v o cos y x求能量（准确到二级）［解］宽为a 的一维无限深势阱的本函和能级.. ［2 . nx厂 7r 2h 2n 20（兀）=—sin — 兀E n =-—rV a a 2m a a2 . nx XT 2/r . nx —I sin —xV () cos ——xsin — a a a a或当 m = k +1 时 X mk =—E,严空+ E ：+E ；2v 0 p n7U 2TIX . mx - —-I som ——兀 cos sin ——xdx a a a a2V ()『・ 2 nx 2TT—[f cos ——(n + l)xdx+ [ cos ——(n-\)xdx]2a 山 a a二 r — [cos — (m -n)x- cos — (m + n)x] cos a 』)2 a a=— f cos —(m - n)x cos — xdxf cos —(m + /t)xcos a a aa a=— r [cos — (m -n-2)x + cos — (//?-n + 2)x]dx2a a aV()「[cos — (m + m 一 2)x + cos — (m + n + 2)x]dx 1a 2—xJx a71 — xdx a2a 闪 =0••・E ：=09^.97 ••・E 产E ：【+ E ：+E 右字笃 2m (}a10.设在//（）表彖中(1) (2) [解]: ‘E ；）+a b、b E ；+a用微扰法求能量至二级修正。