第七章课后习题答案7.2 设总体12~(12,4),,,,n X N X X X 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率. 解:由于~(12,4)X N ,~(0,1)X N{1}1{1}1P X P X P μμ⎫->=--≤=-≤112(11(20.86861)0.262822P ⎡⎤=-≤=-Φ-=-⨯-=⎢⎥⎣⎦⎪⎭7.3 设总体~(0,0.09),X N 从中抽取10n =的简单随机样本，求1021 1.44i i P X =⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∑.解：由于~(0,0.09),X N 所以~(0,0.09),i X N 故~(0,1)0.3i i X X N σ--=所以10221()~(10)0.3i i X χ=∑ 所以{}101022211 1.441.44()160.10.30.09i i i i X P X P P χ==⎧⎫⎧⎫>=>=>=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∑∑7.4 设总体2~(,),X N μσ12,,,n X X X 为简单随机样本, X 为样本均值，2S 为样本方差，问2X U n μσ⎛⎫-= ⎪⎝⎭服从什么分布？解：222X X X U n μσ⎛⎫⎛⎫-=== ⎪⎝⎭,由于2~(,)X N μσ，~(0,1)N，故22~(1)X U χ⎛⎫=。
7.6 设总体2~(,),X N μσ2~(,)Y N μσ且相互独立，从,X Y 中分别抽取1210,15n n ==的简单随机样本，它们的样本方差分别为2212,S S ，求2212(40)P S S ->。
解： 222221121222(40)(4)4S P S S P S S P S ⎛⎫->=>=> ⎪⎝⎭由于2~(,),X N μσ2~(,)Y N μσ且相互独立所以2122~(101,151)S F S --，又由于0.01(9,14) 4.03F =即()40.01P F >=第八章课后习题答案8.1 设总体X 的密度函数为(1),()010,C x x C f x C x C 为已知，θθθθ-+⎧>=>>⎨≤⎩。
12,,,n X X X 为简单随机样本,（1）求θ的矩估计量。
（2）求θ的极大似然估计量。
解：（1）(1)[1(1)]()()CCCE X xf x dx x C xdx Cx dx θθθθμθθ+∞+∞+∞-+-+====⎰⎰⎰11(0)11CC x dx C C C X θθθθθθθθθ+∞--==-==--⎰故XX Cθ=-。
（2） 似然函数121(,,;)()n n i i L x x x f x θ==∏(1)(1)11()nnnn ii i i C x C x θθθθθθ-+-+====∏∏取对数12ln (,,;)n L x x x θ=1ln ln (1)ln ni i n n C x θθθ=+-+∑方程两侧对θ求导得1ln ln ln ni i d L nn C x d θθ==+-∑ 令1ln ln ln 0ni i d L nn C x d θθ==+-=∑ 得 1ln ln nii nx n Cθ==-∑即极大似然估计量为1ln ln nii nXn Cθ==-∑8.4 设总体X 的密度函数为10,()00,xx e x f x x ααλλα--⎧>⎪=⎨≤⎪⎩其中0α>是已知常数，0λ>是未知参数，12,,,n X X X 为简单随机样本,求λ的极大似然估计量。
解：似然函数121(,,;)()n n i i L x x x f x λ==∏11111()ni i i nnx x nnii i i x ex eααλλααλαλα=----==∑==∏∏取对数12ln (,,;)n L x x x λ=11ln ln (1)ln n ni i i i n n x x αλααλ==+---∑∑方程两侧对λ求导得1ln n i i d L n x d αλλ==-∑ 令1ln 0n i i d L n x d αλλ==-=∑ 得 1nii nxαλ==∑即极大似然估计量为1nii nX αλ==∑8.6 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（单位：h ）分别为6.0，5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0设干燥时间2~(,),T N μσ就下面两种情况μ的置信度为0.95的双侧置信区间。
（1）0.6()h σ= （2）σ未知解：由已知可得26,0.574,0.33x s s ===（1）由于0.6σ=，9n =，0.05α=，0.025 1.96z =取统计量~(0,1)X Z N =所以μ的置信区间为22(X z X z αα-+即0.60.6(6 1.96,6 1.96)(5.608,6.392)33-⨯+⨯=（2）σ未知，9n =，0.05α=，0.574s =故取统计量2~(1)T t n α=- ，0.025(8) 2.306t =所以置信区间为22(((X t n X t n αα--+- 0.5740.574(6 2.306,6 2.306)(5.558,6.441)33-⨯+⨯= 8.8 随机的抽取某种炮弹9发做实验。
求得炮口速度的样本标准差11(/)S m s =，设炮口速度服从正态分布2(,),N μσ求炮口速度的均方差2σ的置信度为0.95的双侧置信区间。
解：均值μ未知，9n =，2(1)8121968n s -=⨯=，0.05α= 查表得20.025(8)17.535χ=，20.975(8) 2.18χ= 取统计量2222(1)~(1)n S n χχσ-=-，故置信下限为220.025(1)96855.2(8)17.535n s χ-==，置信上限为220.975(1)968444(8) 2.18n s χ-==所以2σ的置信区间为（55.2,444）8.11 研究两种燃料的燃烧率,设两者分别服从正态分布21(,0.05),N μ22(,0.05),N μ取样本容量1220n n ==的两组独立样本求得燃烧率的样本均值分别为18,24,求两种燃料燃烧率总体均值差12()μμ-的置信度为0.99的双侧置信区间.解:已知21~(,0.05),X N μ22~(,0.05),Y N μ1220n n ==,18x =, 24y =, 0.01α=故去统计量X Y Z =,由于0.0050.005() 2.58z t =∞=，所以 2.580.041δ==≈ 故置信区间为（-6.041,5.959）8.12 两化验员甲、乙各自独立的用相同的方法对某种聚合物的含氯量各做10次测量，分别求得测定值的样本方差为210.5419s =，220.6065s =，设测定值总体分别服从正态分布211(,),N μσ222(,),N μσ试求方差比2212()σ的置信度为0.95的双侧置信区间.解：已知210.5419s =，220.6065s =，1210n n ==，0.05α=取统计量22122212S S F σσ=，由于0.0252(9,9)(9,9) 4.03F F α==故置信下限为22221212120.02520.222(1,1)(9,9)s s s s F n n F α==--置信上限为2211210.02522222(1,1)(9,9) 3.601s s F n n F s s α--==所以置信区间为（0.222,3.601）第九章课后习题答案9.1 假定某厂生产一种钢索，其断裂强度5(10)X Pa 服从正态分布2(,40),N μ从中抽取容量为9的样本，测得断裂强度值为793, 782, 795, 802, 797, 775, 768, 798, 809据此样本值能否认为这批钢索的平均断裂强度为580010Pa ⨯？（0.05α=）解：已知791x =，2~(,40),X N μ 9n =， 0.05α=0:800H μ= 1:800H μ≠取统计量~(0,1)Z N =，故7918000.675403z -== 由于0.025 1.96z =，且27918000.675403z z α-==<又因为0H 的拒绝域是2z z α>所以接受0H ，拒绝1H .即可以认为平均断裂强度为580010Pa ⨯.9.3 某地区从1975年新生的女孩中随机抽取20个，测量体重，算得这20个女孩的平均体重为3160g ，样本标准差为300g ，而根据1975年以前的统计资料知，新生女孩的平均体重为3140g ，问1975年的新生女孩与以前的新生女孩比较，平均体重有无显著性的差异？假定新生女孩体重服从正态分布，给出0.05α=. 解：由已知3160,300x s ==，20n =，0.05α=0:3140H μ= 1:3140H μ≠取统计量2~(1)X T t n α=-，0.298T ===0.0252(19)(19) 2.0930t t α==所以0.02520.298 2.0930(19)(19)T t t α=<==，不在拒绝域2(19)T t α>中，故接受0H ，拒绝1H .即体重无明显差异.9.5 现要求一种元件的使用寿命不得低于1000h ，今从一批这种元件中随机的抽取25件，测定寿命，算得寿命的平均值为950h ，已知该种元件的寿命2~(,),X N μσ已知100σ=，试在检验水平0.05α=的条件下，确定这批元件是否合格？解：已知 25n =，950x =，100σ=，0.05α=0:1000H μ= 1:1000H μ<取统计量~(0,1)Z N=，故9501000 2.51005Z -==- 由于0.05 1.645z z α==，且95010002.5 1.6451005Z z α-==-<-=-又因为0H 的拒绝域是Z z α<-，所以拒绝0H ，接受1H . 即认为这批元件不合格.9.8 某厂生产的铜丝，要求其拉断力的方差不超过216()kg ，今从某日生产的铜丝中随机的抽取9根，测得其拉断力为（单位：kg ）289 , 286 , 285 , 284 , 286 , 285 , 286 , 298 , 292设拉断力总体服从正态分布，问该日生产的铜丝的拉断力的方差是否合乎标准？（0.05α=）.解：由已知有9n =，287.9x =， 4.51s =，220.36s =，0.05α=有假设 20:16H σ≤ 21:16H σ>取统计量222(1)820.3610.1816n S χσ-⨯==≈查表得 220.05(8)(8)15.507αχχ==，由于 22(8)αχχ<又因为 0H 的拒绝域是22(1)n αχχ>-所以接受0H ， 拒绝1H ，即认为是合乎标准的。