t )drdr'
(r
r')
(r ,
t
)(r ,
t
)dr
1
其中使用了
p
(r
)
p
(r'
)dp
(r
r'
)
关系式
由此我们也可以看出把 平面波归一化为 函数的目的。
(r
,
t
)
与
(r
,
t
)
具有类似的物理含义
dW
(r ,t)
若波函数已经归一化，则位置的平均值为
x
ψ
(
r
)
2
xd
3r
势能的平均值为
V
ψ
(
r)
2V
(
r
)d
3r
因空间中某一点的动量没有意义，则动量的平均值
p
ψ
(r )
2
p(r )d
3r
如何求动量的平均值？
波特性：态叠加原理
• （一） （二）
态叠加原理 动量空间（表象）的波函数
（一） 态叠加原理
exp[i
pr]
则 Ψ可按Фp 展开
(r,t)
(
p,
t
)
p
(r )dp
1
(2 )3/2
(
p,
t)
i exp[
p r ]dpxdpydpz
展开系数
(
p,
t)
p
(r )(r ,
t
)dr
（21）3/ 2
(r , t )exp[
i
p r ]dxdydz
显 然 ， 二 式 互 为 F ourier变 换 式 ， 故 而 总 是 成 立 的 。
所
以
(
r
,
t
)与c
(
p
,
t
)一
一
对
应
，
是
同
一
量
子
态
的
两
种
不
同
描
述
方
式
。
Ψ (r,t)是以坐标 r 为自变量的波函数，坐标空间波函数，坐标表象波函数；
(p, t) 是以动量 p 为自变量的波函数，动量空间波函数，动量表象波函数；
二者描写同一量子状态。
若Ψ (r,t)已归一化，则 (p, t)也是归一化的
一个电子有 Ψ1 和 Ψ2 两 种可能的状态，Ψ 是这两 种状态的叠加。
Ψ1
S
1
电子源
S
Ψ2
2
P
Ψ
感 光 屏
Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是电子的可能状态。
ห้องสมุดไป่ตู้
空间找到电子的几率则是： |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2 = (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2)
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
2
E
4eV
2me (x)2
对中等质量的原子核，∆x~6×10-13cm，用中子质量代入可得
2
E 2mn (x)2 1MeV
在相对论情况下 E pc cp c x
粒子的大小∆x≤10-13cm，则其能量为E~0.2GeV
1.1.6 力学量的平均值与算符的引进
问题：按波函数的统计诠释，波函数模的平方代表在空间r点 找到粒子的概率密度？如果测量其它力学量，其概率分布如何？
态叠加原理一般表述：
若Ψ1 ，Ψ2 ,..., Ψn ,...是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 + ...+ CnΨn + ... (其中 C1 , C2 ,...,Cn ,...为复常数)。 也是体系的一个可能状态。 处于Ψ态的体系，部分的处于 Ψ1态，部分的处于Ψ2态...，部分的处于Ψn，...
而所有原子核在β衰变中放出电子的能量 Eβ 1MeV
结论：在β衰变中放出的电子并不是原子核的一个组成粒子，而是在衰变过程中产生的。
问题3 估计物质结构的不同层次的特征能量
不确定性关系
x p
在非相对论情况下
E p2 / 2m (p)2 / 2m
对于原子，∆x~10-8cm，用电子质量代入可得
例：
电子在晶体表面反射后，电子可能以各种 不同的动量 p 运动。具有确定动量的运动
Ψp
状态用de Broglie 平面波表示
Ψ
p
A exp
i
(
p
r
Et
)
d
根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态Ψ可表示成 p 取各 种可能值的平面波的线性叠加，即
(r ,t)
c(
p
)
p
(
r
,
t
)
力学量和算符
讲师 课程
上节课回顾：不确定度关系
x px 2
y py
2
z pz
2
E t 2
问题1 不确定性关系与我们的日常生活有无矛盾? 如一粒尘埃，直径~1μm, 质量m~10-12g，速度v~0.1cm/s， 则其动量p=mv~10-13g cm/s. 设其位置精度∆x~1埃，由不确定性关系可得∆p~10-19g cm/s,则∆p/p~10-6 ，而对这种粒子 的任何实际测量的相对精度都没达到10-6，因此即使像尘埃那样的粒子经典力学 的概念仍然适用。
(r ,
t)
c
(
p
)
p
(
r
,
t
)d
p
，
其中
dp
p
dp x dp
y dp z
由于
p
是连续变化的，
所以后式应用积分代替 了求和。
而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。
（二）
动量空间（表象）的波函数
波函数Ψ (r,t) 可用各种不同动量的平面波表示， 下面我们给出简单证明。
令
p
(r
)
（21）3 / 2
问题2 原子核的组成问题 考虑β衰变(原子核自发地放出高速电子)。原子核的半径<10-12m, 若电子是原子核的组成粒子，则其位置不确定度Δx≤10-12m, 由不确定性关系得∆p≈10-15gcm/s. 从数量级上考虑p~ ∆p
因此电子的能量 E p2c2 m2c4 pc cp 20MeV
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉 和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性，两 个相加波的干涉的结果产生衍射。 因此，同 光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在波 叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数决定 体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子 力学的波叠加原理称为态叠加原理。
考虑电子双缝衍射
电子穿过狭缝１ 出现在Ｐ点的几
率密度
电子穿过狭缝２ 出现在Ｐ点的几
率密度
相干项 正是由于相干项的出现，
才产生了衍射花纹。
一般情况下，如果Ψ1和Ψ2 是体系的可能状态，那末 它们的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是该体系的一个可能状态. • 其中C1 和 C2 是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。
证明：
| (
p, t )
|2
dp
(
p,
t
)
(
p,
t
)dp
(
p,t)
p
(r)(r,
t)dr
[
(r ,
t
)
p
(r )dr ][
(
r'
,
t
)
p
(r'
)dr '
]dp
(r ,
t
)(r'
,
t
)dr dr '
p
(r
)
p
(
r'
)dp
(
r,
t
)(r ' ,