数必须等于3个。
5－2 弹性理论问题的基本解法
直接解法： 应力法 位移法
间接解法：
逆解法 半逆解法
5－3 基本定理
弹性力学解的迭加原理是指在线弹性条件下，对于 满足小变形条件的弹性体，在两组不同的外力作用 下所得到的弹性力学解相加等于这两组外力同时作 用于弹性体的解答。
弹性力学解的唯一性定理：假如弹性体内受已知体力的 作用，物体表面面力已知，或者表面位移已知；或者部 分表面面力已知，部分表面位移已知。则弹性体处于平 衡状态时，弹性体内任一点的应力分量和应变分量都是 唯一的。对于表面有部分或全部位移已知的，则位移分 量也是唯一的。
一、应力函数为一次多项式
a bx cy
x
2
y 2
0
y
2
x 2
0
xy
2
xy
0
一次多项式应力函数对应无应力应力状态。 这个结论说明在应力函数中增加或减少一个x，y 的线性函数，将不影响应力分量的值。
二、应力函数为二次多项式
ax2 bxy cy2
x
2
y 2
2c
y
2
x 2
2a
位移边界条件 边界位移已知——位移边界Su
uu vu ww
位移边界条件就是弹性体表面的变形协调
弹性体临近表面的位移与已知边界位移相等
混合边界条件 弹性体边界
S＝S＋Su
部分边界位移已知——位移边界Su 部分边界面力已知——面力边界S 不论是面力边界条件，位移边界条件， 还是混合边界条件，任意边界的边界条件
x
x
E
y
E
z
E
y
y
E
x
E
z
E
z
z
E
y
E
x
E
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
体积应变虎克定律
二、边界条件
1.面力边界条件
2.位移边界条件
三、弹性力学基本问题
弹性力学的基本未知量为三个位移分 量，六个应力分量和六个应变分量，共计 十五个未知量。基本方程为三个平衡微分 方程，六个几何方程和六个物理方程，也 是十五个基本方程

xy
2
xy
b
二次多项式应力函数对应 常应力的应力状态
三、应力函数为三次多项式
ax3 bx2 y cxy2 dy3
x
2
y 2
2cx 6dy
y
2
x 2
6ax 2by
xy
2
xy
2bx
2cy
三次多项式应力函数对应 线性分布应力的应力状态
四、应力函数为四次多项式
ax4 bx3 y cx2 y2 dxy3 ey4
5－4 直角坐标系下平面问题的基本方程
工程上，空间问题转化为平面问题
平面应力问题 平面应变问题
一、平面应力问题
平面应力问题讨论的弹性体为薄板， 厚度为h远远小于结构另外两个方 向的尺度。
因此应力沿厚度方向不变
二、平面应力问题
这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面 大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且 沿长度不变；柱体的两端受固定约束。
由双调和方程得 ax4 bx3 y cx2 y2 dxy3 (a c ) y4
3
x
2cx2
6dxy
12(a
c)y2 3
y 12ax2 6bxy 2cy2
xy 3bx2 4cxy 3dy2
体力为常量
二、体力为常量时微分方程的特解
x yx X 0
x y
xy y Y 0
x y
此微分方程组的解为特解与通解的和
特解：
x Xx, x Yy, xy 0
x x Xx Yy
xy 0
x 0, x 0, xy Xx Yy
三、应力函数和双调和方程
圣维南局部影响原理其主要内容为：物体表面某一小 面积上作用的外力力系，如果被一个静力等效的力系所 替带，那么物体内部只能导致局部应力的改变。而在距 离力的作用点较远处，其影响可以忽略不计。
根据圣维南局部影响原理，假如我们用一静力等效 力系取代弹性体上作用的原外力，则其影响仅在力 的作用区域附近。离此区域较远处，几乎不受影响。
5－1 弹性理论的基本方程
一、基本方程
1. 平衡微分方程
2. 几何方程
应变与位移关系方程
应变相容方程
二、本构方程－－广义胡克定律
各向同性体的本构方程的几种形式
以应变表示应力
x 2x y 2 y z 2z xy xy yz yz zx zx
以应力表示应变
x
1
E
2
(
x
1
y)
1 E1
( x
1
y)
y
1
E
2
(
y
1
x)
1 E1
(
y
1 x )
xy
xy
G
4. 面力边界条件： X xl xym Y yxl ym
5－5 按应力求解平面问题
在常体力条件下，可以通过应力函数表达应力分量。这样问题 的基本未知量由三个应力分量简化为一个应力函数。
一、应力表示的变形协调方程
1.应力函数
则满足上式的函数为：
x
2
y 2
y
2
x 2
应力函数
xy
2
xy
2. 双调和方程
应力分量不仅需要满足平衡微分方程，而且还需要 满足变形协调方程，将上述应力分量代入变形协调方程， 可得
4
x 4
2
4
x2y
2
4
y 4
0
4 0
函数应满足双调和方程
5－6 用多项式应力函数解平面问题
逆解法的基本思想是：对于一些具有矩形边界并 不计体力的平面问题，分别选用幂次不同的多项 式，令其满足基本方程，求出应力分量，并由边 界条件确定这些应力分量对应边界上的面力，从 而确定该应力函数所能解决的问题。
三类问题
第一类边值问题： 已知弹性体内的体力和其表面的面力，求平 衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量，这时的边界条 件为面力边界条件。
第二类边值问题：已知弹性体内的体力分量以及表面的位移 分量， 求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量， 这时的边界条件为位移边界条件。
第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量，以及物体表面 的部分位移分量和部分面力分量，求平衡状态的弹性体内各 点的应力分量和位移分量。这时的边界条件在面力已知的部 分，用面力边界条件，位移已知的部分用位移边界条件，称 为混合边值问题。
沿z方向的位移恒等于零
三、平面问题的基本方程
1.平衡微分方程：
x yx X 0
x y
xy y Y 0
x y
2.几何方程：
x
u x
y
v y
xy
v x
u y
2 x 2 x 2 xy
y2 x2 xy
3. 本构方程：
平面应力问题
x
x
E
y
E
y
y
E
x
E
xy
xy
G
平面应变问题