a
为 f, g 在 [a, b] 上的内积.
➢ 内积的性质 (1) ( f, g) ( g, f ) ; (2) (k f, g) ( f, kg ) k( f, g)，k为常数;
(3) ( f1 f2, g) ( f1, g ) ( f2, g ) ; (4) 若在[a, b]上 f (x) 0, 则 ( f, f )>0.
三、正交与正交函数系
➢定义 若内积
b
( f , g) (x) f (x)g(x)dx 0
a
则称 f, g 在 [a, b] 上带权 x 正交.
➢ 正交函数系
定义 若函数系 0x,1x, ) a ( x)i ( x) j ( x)dx ai 0, i j
ci =0
i = 0, 1, … , n .
定理5.6 设 kx 是 最高项系数不为零的k 次多项式, k = 0,1,2,…; 则{kx}是 [a, b] 上带权 x的正交多项式系
对任何次数不高于k 1的多项式 q x , 总有
b
(q,k ) (x)q(x)k ( x)dx 0.
a
证明方法: (1) 表 q x为次数不超过k 1的 jx的线性组合. (2) 说明{kx}为正交系 满足条件的积分为0.
常见的权函数： (x) 1, a x b;
(x) 1 , 1 x 1; (x) 1 x2 , 1 x 1;
1 x2
(x) ex, 0 x ; (x) ex2 , x .
二、内积
➢定义 给定 f x, gxC[a, b], x是(a, b)上的权函数,称
b
( f , g) (x) f (x)g(x)dx
例 x x2, 构造[1,1]上正交多项式系 {kx}, k=0,1,2,3.
解：取
0
(x)
1,
令1 ( x)
x
x,0 0,0
0
(x)
x
令2
(
x)
x2
x2
0
,0 ,0
0
(x)
x2
1
,1
,1
1
(
x)
x2 3 0 x2 3
5
5
令3
(x)
x3
x3,0
0 ,0
正交化法：0 (x) 1
k
k
1
(
x)
xk
1
j0
xk1, j j , j
j (x)
(k 0,1,...)
这样得到的正交多项式系 {kx} 有以下性质: (1) kx是最高项系数为1的 k 次多项式； (2) 当 k j 时, (k , j ) 0, 且 k 与任意次数小于 k 的多
项式正交.
5.5 正交多项式
5.5.1 正交多项式概念与性质
一、权函数
定义 在区间(a, b)上, 若非负函数 x满足
b
(1)对一切整数 n 0, xn( x)dx 存在；
a
b
(2)对(a, b)上的非负连续函数 fx, 若 (x) f (x)dx 0,
则在区间(a, b)上 f x 0.
a
那么,称 x为(a, b)上的权函数.
( gkk, k ) ( gkk, gk ) 0
( gkk, gkk) 0,
gkk 0, gk x kx , a x b
➢ 性质3 (正交多项式的根)若{kx} 是[a, b] 上带权 x 的正交多项式系, 则 k 1时, k次正交多项式kx 在(a, b)
内有 k 个互异的实根.
系. 其中, ck 是非零常数.
➢ 性质2 (唯一性) {kx} 是区间[a, b] 上带权 x的正交 多项式系, 若各个 kx 的最高次项系数是1, 则 这样的 { kx } 是唯一的.
证 设 {kx}, {gkx} 性质2中要求正交多项式系,
k = 0时, 0x 1 g0x . k 1时, gkk是次数不高于 k1 的多项式, 由定理5.6知,
事实上,可以证明k 次正交多项式有k 个单根. 证明见教材
➢ 性质4 设{kx} 是区间[a, b] 上带权 x的正交多项式
系, 则 k 1时, 有如下的递推关系式:
k 1 ( x)
ak 1 ak
(x
k
)k
(x)
ak 1ak 1 a2
k
k 1 k1(x)
其中, ak 是kx的最高次项系数, 且
则称{nx}是[a, b] 上带权 x的正交函数系.
例 三角函数族 {1,cosx ,sinx,cosx2,sinx2,…} 是[ , ]上的正
交函数系.
证明：
1,1 2 sin nx,cos mx 0, m 0,1,2, n 1,2,
sin
nx, sin
mx
, m
0, m
n n
,
m, n 1,2,
cos
nx,
cos
mx
, m
0, m
n ,
n
m 0,1,2,
n 1,2,
➢ [a, b] 上带权 x的正交函数系必是线性无关的函数系,
而不论 x是什么函数.
因为, 若 c00x c11x cnnx 0, a x b, 则
0 (0, i) ( c00 c11 cnn, i ) ci(i , i ciai
证明: (1) 把q x表示为次数不超过 k 1的 jx的线性组合.
q(x)
k j
1 0
c
j
j
(
x).
(2) {kx}为正交系 ( k , j) 0, k j; (k, k) 0.
() 若{kx}为正交系，则
(q,k )
k 1 j0
c
j
(
j
,k
)
0.
() 若对任意的次数不超过 k 1的多项式 q(x), 均有
b
(q,k ) a ( x)q( x)k ( x)dx 0.
对任意取定的 k , 令 q(x) j, j k, 则有
( j ,k ) (q,k ) 0, j k. 依定义，知 {kx}为[a, b]上带权的正交多项式系。
➢ 性质1 (结构) 设{kx} 是[a, b] 上带权 x的正交多项 式系, 则 { ckkx } 也是[a, b] 上带权 x的正交多项式
k
( xk ,k ) (k ,k )
,
k 1
(k ,k ) . (k 1 , k 1 )
(5.73)
➢ 若无特殊声明, 此后总认为权函数 x 1.
四、幂函数系的正交化
只要给定区间 [a , b] 及权函数 (x), 幂函数系 { xk } 经 下面的正交化方法，总可化为正交多项式系 {kx}， 其中， kx是最高项系数为1的 k 次多项式。