华南师范大学•数学科学学院数学建模第二次作业（周一班）李世伟20122201046一、继续考虑2.2节的“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全距离，你有没有更好的建议？·解答按照“两秒准则”，后车司机从前车经过某一标志开始，默数2秒之后到达同一标志，这表明前后车距与车速成正比关系。
引入以下符号：D ：前后车距（m ）；v ：车速（m/s ）； 2K ：按照“两秒准则”，D 与v 之间的比例系数（s ）。
于是“两秒准则”的数学模型为2D K v =其中2K =2s 。
对于小型汽车，“两秒准则”和“一车长度准则”不一样。
由221[()]d D v k v K k -=--，可以计算得到当212K k v k -<=54.428 km/h 时，d D <，“两秒准则”足够安全；当212K k v k ->=54.428 km/h 时，d D >，“两秒准则”不够安全。
用以下程序把刹车距离实测数据和“两秒准则”都画在同一幅图中： v=(20:5:80).*0.44704;d2=[18, 25, 36, 47, 64, 82, 105, 132, 162, 196, 237, 283, 334 22, 31, 45, 58, 80, 103, 131,165, 202, 245, 295, 353, 41820,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376].*0.3048; K2=2;k1=0.75;k2=0.082678;d=d2+[v;v;v].*k1; plot([0,40],[0,K2*40]),hold onplot(0:40,polyval([k2,k1,0],0:40),':') plot([v;v;v],d,'o','MarkerSize',2),hold offtitle('比较两秒准则、理论值和刹车距离实测数据')legend('两秒准则','刹车距离理论值','刹车距离最小值、平均值和最大值') xlabel('车速v （m/s ）'), ylabel('距离（m)')我国高速公里上小型车辆的行驶速度最高不超过120km/h，即34m/s，最低不小于60km/h，即17m/s，由上图可知，两秒准则不安全。
可考虑增加默数的秒数，即t秒准则，t>2，用以下程序输入t=2,3…，找到合适的t秒准则：t=input('输入t秒准则,t=')v=(20:5:80).*0.44704;d2=[18, 25, 36, 47, 64, 82, 105, 132, 162, 196, 237, 283, 33422, 31, 45, 58, 80, 103, 131,165, 202, 245, 295, 353, 41820,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376].*0.3048;K2=t;k1=0.75;k2=0.082678;d=d2+[v;v;v].*k1;plot([0,40],[0,K2*40]),hold onplot(0:40,polyval([k2,k1,0],0:40),':')plot([v;v;v],d,'ok','MarkerSize',2),hold offtitle(['比较',num2str(t),'秒准则、理论值和刹车距离实测数据'])legend([num2str(t),'秒准则'],'刹车距离理论值','刹车距离最小值、平均值和最大值')xlabel('车速v（m/s）'), ylabel('距离（m)')到这里可知，4秒准则已经足够安全，可以采用。
或者按照速度分段执行不同的准则：50km/h以下使用2秒准则，50-90km/h使用3秒准则，大于90km/h使用4秒准则。
二、继续考虑2.3节的“生猪出售时机”案例，作灵敏度分析，分别考虑农场每天投入的资金对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响。
·解答首先研究农场每天投入的资金c 对最佳出售时间t 的影响。
定义最佳出售时间t 对农场每天投入的资金c 的灵敏度为/(,)/t tS t c c c=由上式定义的灵敏度需要数值计算，程序以及结果如下： ft=@(c)(1*12-0.08*90-c)/(2*0.08*1); c=3.2;t=ft(c);d=[.01;.05;.1];dc=d.*c; st_c=((ft(c+dc)-t)./t)./d;[c+dc,d.*100,ft(c+dc),(ft(c+dc)-t)./t.*100,st_c]ans =3.2320 1.0000 9.8000 -2.0000 -2.0000 3.3600 5.0000 9.0000 -10.0000 -2.0000 3.5200 10.0000 8.0000 -20.0000 -2.0000数值计算t 对c 的灵敏度（c=3.2，t =10）c c + (/)/%c c t t + (/)/%t t (,)(/)/(/)S t c t t c c = 3.2320 1.00009.8000 -2.0000 -2.0000 3.3600 5.0000 9.0000 -10.0000 -2.0000 3.520010.00008.0000-20.0000-2.0000重新定义t 对c 的灵敏度为(,)dt c S t c dc t=∙ t 是c 的减函数：(0)(0)122rp g t c gr grω-=-由上面两式可算得(,)(0)(0)cS t c rp g cω=---把模型假设中的具体数值代入上式解得(,)S t c =-2。
这一计算结果可以解释如下：如果农场每天投入的资金c 增加1%，出售时间t 就提前2%。
下面研究农场每天投入的资金c 的变化对多赚的纯利润Q 的影响。
定义多赚的纯利润Q 对农场每天投入的资金c 的灵敏度为/(,)/Q QS Q c c c=由上式定义的灵敏度需要数值计算，程序以及结果如下： fQ=@(c)(1*12-0.08*90-c).^2/(4*0.08*1); c=3.2;Q=fQ(c);d=[.01;.05;.1];dc=d.*c; sQ_c=((fQ(c+dc)-Q)./Q)./d;[c+dc,d.*100,fQ(c+dc),(fQ(c+dc)-Q)./Q.*100,sQ_c]ans =3.2320 1.0000 7.6832 -3.9600 -3.9600 3.3600 5.0000 6.4800 -19.0000 -3.8000 3.5200 10.0000 5.1200 -36.0000 -3.6000数值计算Q 对c 的灵敏度（c=3.2，Q=8）c c +(/)/%c c Q Q + (/)/%Q Q (,)(/)/(/)S Q c Q Q c c = 3.2320 1.0000 7.6832-3.9600 -3.9600 3.3600 5.0000 6.4800 -19.0000 -3.8000 3.5200 10.0000 5.1200 -36.0000 -3.6000重新定义Q 对c 的灵敏度为(,)dQ c S Q c dc Q=∙ Q 是c 的减函数：2[(0)(0)c]4rp g Q grω--=由上面两式可算得2(,)(0)(0)cS Q c rp g cω=---把模型假设中的具体数值代入上式解得(,)S Q c =-4。
这一计算结果可以解释如下：如果农场每天投入的资金c 增加1%，多赚的利润就减少4%。
三、继续考虑2.3节的“生猪出售时机”案例，假设在第t 天的生猪出售的市场价格（元/公斤）为2()(0)p t p gt ht =-+（1）其中h 为价格的平稳率，取h=0.0002。
其他模型假设和参数取值保持不变。
（一）试比较（1）式与（2.3.1）式，解释新的假设和原来的假设的区别与联系； ·解答区别：（1）式为开口向上的抛物线，表明价格先降后升，在实际中有一定的道理，而（2.3.1）式为斜率为负的一次函数，表明价格匀速下降。
联系：两个假设都满足(0)p g '=-，在最佳出售时机附近误差微小。
（二）在新的假设下求解最佳出售时机和多赚的纯利润； ·解答农场在t 天内投入的资金为()C t ct =第t 天的生猪出售的市场价格为2()(0)p t p gt ht =-+ 生猪在第t 天的体重为()(0)t rt ωω=+所以在t 天之后出售生猪的收入为23()()()(0)(0)[(0)(0)][(0)]R t p t t p rp g t h gr t hrt ωωωω==+-+-+ 于是在t 天之后出售生猪比现在出售多赚的纯利润为23()()()(0)(0)[(0)(0)c][(0)]Q t R t C t p rp g t h gr t hrt ωωω=--=--+-+ 将已知数据代入上式，解得32()0.00020.062 1.6Q t t t t =-+利用matlab 求解上式极值点和对应极值 程序代码：Q=@(t)0.0002*t^3-0.062*t^2+1.6*t; q=@(t)-Q(t);[t,q]=fminbnd(q,0,100); t,Q=-q 结果： t =13.8285 Q =10.7984所以最佳出售时间为t = 13.8285天，此时多赚的纯利润为10.7984元。
（三）作灵敏度分析，分别考虑h 对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响； ·解答将除了h 的其他已知数据代入23()[(0)(0)c][(0)]Q t rp g t h gr t hrt ωω=--+-+ 计算得32()(900.08) 1.6Q t ht h t t =+-+将上式对t 求导，得2()3(1800.16) 1.6Q t ht h t '=+-+所以当t =时，()Q t 达到最大值。
定义最佳出售时机t 对价格平稳率h 的灵敏度为/(,)/t tS t h h h=利用matlab 进行数值计算，代码和结果如下：ft=@(h)(0.16-180*h-sqrt((180*h-0.16).^2-19.2*h))./(6*h); h=0.0002;t=ft(h);d=[.01;.05;.1];dh=d.*h; st_h=((ft(h+dh)-t)./t)./d;[h+dh,d.*100,ft(h+dh),(ft(h+dh)-t)./t.*100,st_h]ans =0.0002 1.0000 13.8859 0.4146 0.4146 0.0002 5.0000 14.1214 2.1176 0.4235 0.0002 10.0000 14.4306 4.3536 0.4354数值计算t 对h 的灵敏度（h=0.0002，t=13.8285）h h +(/)/%h h t t + (/)/%t t (,)(/)/(/)S t h t t h h = 0.000202 1.0000 13.8859 0.4146 0.4146 0.000210 5.0000 14.1214 2.1176 0.4235 0.000220 10.0000 14.4306 4.3536 0.4354结论：h 的微小变化对t 的影响十分微小。