m (G T G )1G T d 1 当 r (G T G ) N , 解存在 ； 2 当 r (G T G ) N , 解不存在 ， 因逆矩阵不存在
m(G T G ) 1 G T d
N h1N M M N N M M 1
；
( a 即使 M N ， 解也不存在 )
(b 这等同于 M 个方程中线性无关的方
Zi z i1
g
( z ,
j )dz
4
d Gm
d1
m1
G11 G12
G1N
0
dd2
mm2 GG21
G22
G2N
0
4
8
12
Z
dM
mN
GM1
GM1
GM
M
m
i
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• 反演理论
4
二 参数化模型反演
参数化模型线性反演理论—引言
参数化模：能型用有限个参数模 表型 征的 3、可用有限参数加义 变的 量连 定续模 。 型
C GG T 1 GG T max 很大 。 min ( a \ 条件数大 ， 称为坏条件问题 )
(b \ 条件数大 ， 解 d Gm 称为病态问题 )
( c \ 数据中的误差会被放大
)
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• 反演理论
9
二 参数化模型反演
参数化模型线性反演理论—混定问题的马奎特法
程个数小于 N )
( c 这种情况下 ， 称数据方程是奇异的
，G T G 是奇异阵 )
( d G T G R R T 有些特征值为零 )
3 当 r (G T G ) N , 解存在 。 但 G T G 有一些特征值很小 , G T G 的条件数
C G T G 1 G T G max 很大 。 min ( a \ 条件数大 ， 称为坏条件问题 )
报告人 苏朱刘
长江大学
Copyright@ 2005
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• 反演理论
2
二 参数化模型反演
参数化模型线性反演理论—引言
参数化模：能 型用有限个参数表 模征 型的
1、参数有限的；模型 h 12
lg R t lg R W lg a m lg n lg S W
得
m G T ( GG T ) 1 d
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• 反演理论
8
二 参数化模型反演
参数化模型线性反演理论—纯欠定问题的最小模型解
观测数据的(M 个)小 数于模型参数(的 N)个数
m G T ( GG T ) 1 d 1 当 r (GG T ) M , 解存在 ； 2 当 r (GG T ) M , 解不存在 ， 因逆矩阵不存在
h
m (z)ezsin z2)(
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5
二 参数化模型反演
参数化模型线性反演理论—超定问题的最小方差解
观测数据的(M 个)多 数于模型参数(的 N)个数
观测数据的 (M个 )多数 于模型参数(N的 ) 个数
d 并且 G的秩 r(G)NM
采用最小误差拟 合合 适法 的 尽 是可能的拟。合数据 h
根据地球总质量和转动 为恰定问题 :
惯量确定
和
1
0
1833
1 24
1
7 24
2
909
.5
1 160
1
31 160
2
有唯一解 。
2
1
1 2
14379 4230
.67 .33
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15
二 参数化模型反演
参数化模型线性反演理论—例解
观测数据的个 (M数 )、 模型参数的个 (N数 )有
r(G)minM( ,N)。
方程d Gm中只有 r个线性无关的。方程 h
因M r属于超，定N r属于欠，定故称“混定”。
尽可能既要拟合，数又据要使模型能量。最小 d G
m
马奎特法 脊回归法 阻尼最小二乘法
(M 1) (M N ) (N 1) 设目标函数为
参数化模：能 型用有限个参数表 模征 型的离散化近似模型
：
2、连续模型离散化以 近后 似的 模；型
h
b
d ( j ) a g ( z , j ) m ( z ) dz
N
12
G ji m i ( j 1 , M )
i1
8
m i m i ( z ) : z z i 1 , z i
G ji
E ( d Gm ) T ( d Gm ) 2 m T m 令 E 0
m 得
m (G T G 2 I )1G T d
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10
二 参数化模型反演
参数化模型线性反演理论—混定问题的马奎特法
m(GTG2 I)1GTd
m (G T G 2I) 1 G T d
假定地球密度 数 ，为 分两 界个 面 u0常 在 0.793。7
h
10988 1
112
纯欠定问题
在所有可能的解中， 只当：
1 5499， 2 5499时， E mT m 12 22 min
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18
二 参数化模型反演
参数化模型线性反演理论—例解
d G m
(N 1) (N N) (N 1) m G 1d h
m G1d
1 当 r (G ) N , 解存在 ； 但 有时 G 有一些特征值很小 , G 的条件数
C G 1 G max 很大 。 min
2 当 r (G ) N , 解不存在 ， 因逆矩阵不存在
(G 有些特征值为零 )
N 1 h N M M N (N N ) N M M 1
1
当2,
1 m2
GTd，
突出模型能量，极跟小分辩率有； 关
2 当20,m(GTG)1GTd， 突出误差能量，极跟小模型误差有 。 关
3 选择合适的 2 是寻找最优解的，关2 的 键选取只“尝 有试法 ”。
2 称为阻尼系、数 加权因、子折中参，数调节分辩率和模型。
一个数据的地球密度问 题
假定地球密度 数 ，为 分两 界个 面 u0常 在 0.793。7183301(u)u2du1612
109981 112 纯欠定问题
h 1099812
当作混定问题解 马奎特解法
G 1 1
GT
1 1
GT
G
1 1
1 1
1
GTG 1不存在, GTG 2 I 1存在,
2
GTG 2
当作混定问题解 马奎特解法
m
G T G 2
I
1 G T d
1 2
1
1
1
1
2
1 1
10998
1
10988
1 2
122098822
2
令 2 为一个很小的数
，
则
1 2
5499 5499
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20
二 参数化模型反演
参数化模型线性反演理论—例解 假定地球密度为一个常 数。
R t 地层电阻率
R W 地层水电阻率
8
m
i
a 0 .62
地层孔隙度
4
S W 含水饱和度 ( S oil 1 S W ) m 胶结因子 ( 对砂层 m 2 .15 ) n 饱和度指数 ( n 2 )
0 0
4
8
12
Z
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3
二 参数化模型反演
参数化模型线性反演理论—引言
M个方程互不相关 ， 也不矛盾 。 对欠定问题有无穷个解 。 观测数据量不够 ， 不足以确定模型 。
h( M 1 ) ( M N ) ( N 1 ) 设目标函数为
只能挑选一个特解 。 假定地球模型服从 “最简单 ”结构原则 ， 采用
E m T m T ( d Gm
)
令 E 0 模型能量最小作为找特 解的准则是合适的 。 m
max 2 min 2
通过调节2 的大小可使C 的条件数降低， 使求解变成良态。
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12
二 参数化模型反演
参数化模型线性反演理论—超定\欠定\混定问题的解的比较
m(G T G ) 1 G T d
超定 N 1N M M hN N M M 1
m G T (G G T)1 d
I
1
1 1 2
1 2
2
1
1
1
1
2
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二 参数化模型反演
参数化模型线性反演理论—例解
一个数据的地球密度问 题
假定地球密度 数 ，为 分两 界个 面 u0常 在 0.793。7183301(u)u2du1612
109981 112 纯欠定问题
h 1099812
(b \ 条件数大 ， 解 d Gm 称为病态问题 )
( c \ 数据中的误差会被放大
)
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二 参数化模型反演
参数化模型线性反演理论—纯欠定问题的最小模型解
观测数据的个数 (M )小于模型参数的个数 ( N )
d
G
m
并且 G的秩 r(G) M N
G
m