根与系数关系一．选择题（共12小题）1．（2014?包头）关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（）A ．m≤B．m≤且m≠0C．m＜1 D．m＜1且m≠02．（2014?玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的是结论是（）A ．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在3．（2014?威海）方程x2﹣（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（）A ．﹣2或3 B．3 C．﹣2 D．﹣3或24．（2014?日照）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两个实根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围在数轴上表示为（）A ．B．C．D．5．（2014?黄冈样卷）设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A ．2012 B．2013 C．2014 D．20156．（2014?甘谷县模拟）若关于x的一元二次方程x2+kx+4k2﹣3=0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1+x2=x1?x2，则k的值为（）A ．B．﹣1 C．﹣1或D．不存在7．（2013?呼和浩特）（非课改）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，则m的值是（）A ．3或﹣1 B．3 C．1 D．﹣3或18．（2013?桂林）已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，则a的值是（）A ．a=1 B．a=1或a=﹣2 C．a=2 D．a=1或a=29．（2013?烟台）已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，则的值是（）A ．7 B．﹣7 C．11 D．﹣1110．（2012?包头）关于x的一元二次方程x2﹣mx+5（m﹣5）=0的两个正实数根分别为x1，x2，且2x1+x2=7，则m的值是（）A ．2 B．6 C．2或6 D．711．（2012?中山区一模）已知x1、x2是方程x2+3x+1=0的两实根，则x12﹣3x2+1的值是（）A ．0 B．1 C．﹣9 D．912．（2012?乐山市中区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边AC、BC的长恰是方程x2﹣4x+2=0的两个不同的根，则Rt△ABC的斜边上的高线CD的长为（）A ．B．C．D．2二．填空题（共8小题）13．（2014?扬州）已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5的值为_________．14．（2014?呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=_________．15．（2014?桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是_________．16．（2014?昆山市模拟）设m、n是方程x2﹣x﹣2014=0的两个实数根，则m2+n的值为_________．17．（2014?江岸区模拟）请你写出一个和为根的二次项系数为1的一元二次方程：_________．18．（2014?昆都仑区一模）已知x1和x2是一元二次方程x2﹣5x﹣k=0的两个实数根，并且x1和x2满足不等式＜4，则实数k的取值范围是_________．19．（2013?自贡）已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③．则正确结论的序号是_________．（填上你认为正确结论的所有序号）20．（2013?海门市二模）已知α，β为方程x2+4x+2=0的两实根，则α2﹣4β+5=_________．三．解答题（共6小题）21．（2014?鄂州）一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0．（1）若方程有两实数根，求m的范围．（2）设方程两实根为x1，x2，且|x1﹣x2|=1，求m．22．（2014?泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．23．（2014?日照二模）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80．求实数a的所有可能值．24．（2014?海门市模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+6）x+3m+9=0的两个实数根分别为x1，x2．（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；（2）若n=x1+x2﹣5，判断动点P（m，n）所形成的函数图象是否经过点A（4，5），并说明理由．25．（2014?江岸区模拟）如图1，△ABC，△AED都是等腰直角三角形，∠ABC=∠E=90°，AE=a，AB=b，且（a ＜b），点D在AC上，连接BD，BD=c．（1）如果c=a，①求的值；②若a，b是关于x的方程x2﹣mx+m2﹣m+=0的两根，求m；（2）如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转，使BE=100，连接DC，求五边形ABCDE的面积．26．（2013?孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2014?包头）关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（）A ．m≤B．m≤且m≠0C．m＜1 D．m＜1且m≠0考点：根的判别式；根与系数的关系．专题：判别式法．分析：先由根的判别式可得方程有两个实数根则△≥0，根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣2（m﹣1），x1x2=m2，再由x1+x2＞0，x1x2＞0，解出不等式组即可．解答：解：∵△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，∴m≤，∵x1+x2=﹣2（m﹣1）＞0，x1x2=m2＞0∴m＜1，m≠0∴m≤且m≠0．故选：B．点评：此题考查了根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根，根与系数的关系是x1+x2=﹣，x1x2=．2．（2014?玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的是结论是（）A ．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在考点：根与系数的关系．分析：先由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，则=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，则=0，∴=0，∴m=0．当m=0时，方程x2﹣mx+m﹣2=0即为x2﹣2=0，此时△=8＞0，∴m=0符合题意．故选：A．点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q．3．（2014?威海）方程x2﹣（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（）A ．﹣2或3 B．3 C．﹣2 D．﹣3或2考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：判别式法．分析：根据根与系数的关系有：x1+x2=m+6，x1x2=m2，再根据x1+x2=x1x2得到m的方程，解方程即可，进一步由方程x2﹣（m+6）+m2=0有两个相等的实数根得出b2﹣4ac=0，求得m的值，由相同的解解决问题．解答：解：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，∴m+6=m2，解得m=3或m=﹣2，∵方程x2﹣（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（m+6）2﹣4m2=﹣3m2+12m+36=0解得m=6或m=﹣2∴m=﹣2．故选：C．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=．4．（2014?日照）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两个实根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围在数轴上表示为（）A ．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；根的判别式；根与系数的关系．专题：判别式法．分析：根据根的判别式和根与系数的关系列出不等式，求出解集．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0有两个实根，∴△≥0，∴4﹣4（k+1）≥0，解得k≤0，∵x1+x2=﹣2，＜﹣1，解得k＞﹣2，不等式组的解集为﹣2＜k≤0，在数轴上表示为：，故选：D．点评：本题考查了根的判别式、根与系数的关系，在数轴上找到公共部分是解题的关键．5．（2014?黄冈样卷）设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A ．2012 B．2013 C．2014 D．2015考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，则a2+2a+b变形为a+b+2015，再根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．解答：解：∵a是方程x2+x﹣2015=0的根，∴a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，∴a2+2a+b=a+b+2015，∵a，b是方程x2+x﹣2015=0∴a2+2a+b=a+b+2015=﹣1+2015=2014．故选C．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．6．（2014?甘谷县模拟）若关于x的一元二次方程x2+kx+4k2﹣3=0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1+x2=x1?x2，则k的值为（）A ．B．﹣1 C．﹣1或D．不存在考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：先根据根与系数的关系得x1+x2=﹣k，x1x2=4k2﹣3，再由x1+x2=x1?x2得到﹣k=4k2﹣3，即4k2+k﹣3=0，解得k1=，k2=﹣1，然后根据判别式的意义确定满足条件的k的值．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣k，x1x2=4k2﹣3，∵x1+x2=x1?x2，∴﹣k=4k2﹣3，即4k2+k﹣3=0，解得k1=，k2=﹣1，当k=时，原方程变形为x2+x﹣=0，△＞0，此方程有两个不相等的实数根；当k=﹣1时，原方程变形为x2﹣x+=0，△＜0，此方程没有实数根，∴k的值为．故选A．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了根的判别式．7．（2013?呼和浩特）（非课改）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，则m的值是（）A ．3或﹣1 B．3 C．1 D．﹣3或1考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：由于方程有两个不相等的实数根可得△＞0，由此可以求出m的取值范围，再利用根与系数的关系和+=﹣1，可以求出m的值，最后求出符合题意的m值．解答：解：根据条件知：α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，∴=﹣1，即m2﹣2m﹣3=0，所以，得，解得m=3．故选B．点评：1、考查一元二次方程根与系数关系与根的判别式及不等式组的综合应用能力．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．2、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1?x2=．8．（2013?桂林）已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，则a的值是（）A ．a=1 B．a=1或a=﹣2 C．a=2 D．a=1或a=2考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：根据x12﹣x1x2=0可以求得x1=0或者x1=x2，所以①把x1=0代入原方程可以求得a=1；②利用根的判别式等于0来求a的值．解答：解：解x12﹣x1x2=0，得x1=0，或x1=x2，①把x1=0代入已知方程，得a﹣1=0，解得：a=1；②当x1=x2时，△=4﹣4（a﹣1）=0，即8﹣4a=0，解得：a=2．综上所述，a=1或a=2．故选：D．点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于0来求a的另一值．9．（2013?烟台）已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，则的值是（）A ．7 B．﹣7 C．11 D．﹣11考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据已知两等式得到a与b为方程x2﹣6x+4=0的两根，利用根与系数的关系求出a+b与ab的值，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将a+b与ab的值代入计算即可求出值．解答：解：根据题意得：a与b为方程x2﹣6x+4=0的两根，∴a+b=6，ab=4，则原式===7．故选A点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．10．（2012?包头）关于x的一元二次方程x2﹣mx+5（m﹣5）=0的两个正实数根分别为x1，x2，且2x1+x2=7，则m的值是（）A ．2 B．6 C．2或6 D．7考点：根与系数的关系．专题：计算题；压轴题．分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系和两根都为正根得到x1+x2=m＞0，x1?x2=5（m﹣5）＞0，则m＞5，由2x1+x2=7得到m+x1=7，即x1=7﹣m，x2=2m﹣7，于是有（7﹣m）（2m﹣7）=5（m﹣5），然后解方程得到满足条件的m的值．解答：解：根据题意得x1+x2=m＞0，x1?x2=5（m﹣5）＞0，则m＞5，∵2x1+x2=7，∴m+x1=7，即x1=7﹣m，∴x2=2m﹣7，∴（7﹣m）（2m﹣7）=5（m﹣5），整理得m2﹣8m+12=0，（m﹣2）（m﹣6）=0，解得m1=2，m2=6，∵m＞5，∴m=6．故选B．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=．也考查了一元二次方程的解法．11．（2012?中山区一模）已知x1、x2是方程x2+3x+1=0的两实根，则x12﹣3x2+1的值是（）A ．0 B．1 C．﹣9 D．9考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：根据方程解的定义和根与系数的关系由x1、x2是方程x2+3x+1=0的两实根得到x12+3x1+1=0，x1+x2=﹣3，则x12+1=﹣3x1，于是x12﹣3x2+1可化为﹣3x1﹣3x2=﹣3（x1+x2），然后把x1+x2=﹣3代入计算即可．解答：解：∵x1是方程x2+3x+1=0的根，∴x12+3x1+1=0，即x12+1=﹣3x1，∴x12﹣3x2+1=﹣3x1﹣3x2=﹣3（x1+x2），∵x1、x2是方程x2+3x+1=0的两实根，∴x1+x2=﹣3，∴x12﹣3x2+1=﹣3（x1+x2）=﹣3×（﹣3）=9．故选D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程有两个x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=．也考查了一元二次方程的解的定义．12．（2012?乐山市中区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边AC、BC的长恰是方程x2﹣4x+2=0的两个不同的根，则Rt△ABC的斜边上的高线CD的长为（）A ．B．C．D．2考点：勾股定理；根与系数的关系．分析：先利用根与系数的关系得到AC+BC=4和AC?BC=2，再把AC+BC=4两边平方，得到AC2+BC2的值，由勾股定理可得AB2=AC2+BC2，从而求出斜边AB的值，又因为S△ABC=AC?BC=AB×CD，所以把已知数据代入可求出CD的长．解答：解：∵两直角边AC、BC的长恰是方程x2﹣4x+2=0的两个不同的根，∴AC+BC=﹣=4，AC?BC==2，∴（AC+BC）2=16，∴AC2+BC2+2A∴AC2+BC2=16﹣2AC?BC=12，∵∠C=90°，∴AB2=AC2+BC2=12，∴AB==2，∵S△ABC=AC?BC=AB×CD，∴×2=×2×CD，∴CD=．故选A．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=和勾股定理以及三角形的面积公式的应用．二．填空题（共8小题）13．（2014?扬州）已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5的值为23．考点：因式分解的应用；一元二次方程的解；根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据一元二次方程解的定义得到a2﹣a﹣3=0，b2﹣b﹣3=0，即a2=a+3，b2=b+3，则2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）﹣11a﹣b+5，整理得2a2﹣2a+17，然后再把a2=a+3代入后合并即可．解答：解：∵a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，∴a2﹣a﹣3=0，b2﹣b﹣3=0，即a2=a+3，b2=b+3，∴2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）﹣11a﹣b+5=2a2﹣2a+17=2（a+3）﹣2a+17=2a+6﹣2a+17=23．故答案为：23．点评：本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．也考查了一元二次方程解的定义．14．（2014?呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=8．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：常规题型．分析：根据m+n=﹣=﹣2，m?n=﹣5，直接求出m、n即可解题．解答：解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，且一元二次方程的求根公式是解得：m=﹣1，n=﹣1﹣或者m=﹣1﹣，n=﹣1，将m=﹣1、n=﹣1﹣代入m2﹣mn+3m+n=8；将m=﹣1﹣、n=﹣1代入m2﹣mn+3m+n=8；故答案为：8．点评：此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m和n的值是解决问题的关键．15．（2014?桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是﹣2或﹣．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：先由（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，得出x1﹣2=0或x1﹣x2=0，再分两种情况进行讨论：①如果x1﹣2=0，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，解方程求出k=﹣2；x2=0，那么将x1+x2=﹣（2k+1），x1x2=k2﹣2代入可求出k的值，再根据判别式进行检验．解答：解：∵（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，∴x1﹣2=0或x1﹣x2=0．①如果x1﹣2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣2）=4k+9=0，解得k=﹣．又∵△=（2k+1）2﹣4（k2﹣2）≥0．解得：k≥﹣．所以k的值为﹣2或﹣．故答案为：﹣2或﹣．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利关系时，需用判别式进行检验．16．（2014?昆山市模拟）设m、n是方程x2﹣x﹣2014=0的两个实数根，则m2+n的值为2015．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：先根据一元二次方程解的定义得到m2﹣m﹣2014=0，即m2=m+2014，则m2+n化简为m+n+2014，然后根据根与系数的关系得到m+n=1，再利用整体代入的方法计算．解答：解：∵m是方程x2﹣x﹣2014=0的实数根，∴m2﹣m﹣2014=0，即m2=m+2014，∴m2+n=m+n+2014，∵m、n是方程x2﹣x﹣2014=0的两个实数根，∴m+n=1，∴m2+n=1+2014=2015．故答案为2015．点评：本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了一元二次方程解的定义．17．（2014?江岸区模拟）请你写出一个和为根的二次项系数为1的一元二次方程：x2+2x+2=0．考点：根与系数的关系．分析：若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．解答：解：∵一元二次方程（要求二次项系数为1）的两根是和，∴（）（）=﹣2，+=2，∴该方程是x2+2x+2=0．故答案是：x2+2x+2=0．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．已知方程的两根写出方程的方法是需要熟记的．即（x﹣x1）（x﹣x2）=0．18．（2014?昆都仑区一模）已知x1和x2是一元二次方程x2﹣5x﹣k=0的两个实数根，并且x1和x2满足不等式＜4，则实数k的取值范围是k≥﹣．考点：根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系，先求得x1?x2、x1+x2的值，然后将其代入不等式，从而解得实数k的取值范围．解答：解：∵x1和x2是一元二次方程x2﹣5x﹣k=0的两个实数根，△=25+4k≥0，解得k≥﹣，①∴x1?x2=﹣k，②x1+x2=5，③将②③代入不等式＜4，得＜4，即＜4，解得，k＞﹣8，④由①④，得k≥﹣；故答案为：k≥﹣．点评：本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及一元一次不等式的解法．在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．19．（2013?自贡）已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③．则正确结论的序号是①②．（填上你认为正确结论的所有序号）考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：（1）可以利用方程的判别式就可以判定是否正确；（2）根据两根之积就可以判定是否正确；（3）利用根与系数的关系可以求出x12+x22的值，然后也可以判定是否正确．解答：解：①∵方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0中，△=（a+b）2﹣4（ab﹣1）=（a﹣b）2+4＞0，∴x1≠x2故①正确；②∵x1x2=ab﹣1＜ab，故②正确；③∵x1+x2=a+b，即（x1+x2）2=（a+b）2，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（a+b）2﹣2ab+2=a2+b2+2＞a2+b2，即x12+x22＞a2+b2．故③错误；综上所述，正确的结论序号是：①②．故答案是：①②．点评：本题考查的是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，及一元二次方程根与系数的关系，需同学们熟练掌握．20．（2013?海门市二模）已知α，β为方程x2+4x+2=0的两实根，则α2﹣4β+5=19．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．分析：利用一元二次方程解的定义，将x=α代入已知方程求得α2=﹣4α﹣2，然后根据根与系数的关系知α+β=﹣4，最后将α2、α+β的值代入所求的代数式求值即可．解答：解：∵α，β为方程x2+4x+2=0的两实根，∴α2+4α+2=0，∴α2=﹣4α﹣2，∵α+β=﹣4，∴α2﹣4β+5=﹣4α﹣2﹣4β+5=﹣4（α+β）+3=﹣4×（﹣4）+3=19；故答案为：19．点评：本题考查了根系、一元二次方程的解，根据韦达定理求出α+β的值和正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．三．解答题（共6小题）21．（2014?鄂州）一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0．（1）若方程有两实数根，求m的范围．（2）设方程两实根为x1，x2，且|x1﹣x2|=1，求m．考点：根的判别式；根与系数的关系．专题：判别式法．分析：（1）根据关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0有两个实数根，得出m≠0且（﹣2m）2﹣4?m?（m﹣2）≥0，求出m的取值范围即可；（2）根据方程两实根为x1，x2，求出x1+x2和x1?x2的值，再根据|x1﹣x2|=1，得出（x1+x2）2﹣4x1x2=1，再把x1+x2和x1?x2的值代入计算即可．解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0有两个实数根，∴m≠0且△≥0，即（﹣2m）2﹣4?m?（m﹣2）≥0，解得m≥0，∴m的取值范（2）∵方程两实根为x1，x2，∴x1+x2=2，x1?x2=，∵|x1﹣x2|=1，∴（x1﹣x2）2=1，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=1，∴22﹣4×=1，解得：m=8；经检验m=8是原方程的解．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＜0，方程有两个相等的实数根；当△=0，方程没有实数根．22．（2014?泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：代数几何综合题．分析：（1）利用（x1﹣1）（x2﹣1）=x1?x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，求得m的值即可；（2）分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．解答：解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根，∴x1+x2=2（m+1），x1?x2=m2+5，∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1?x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，解得：m=﹣4或m=6；当m=﹣4时原方程无解，∴m=6；（2）①当7为底边时，此时方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=0，解得：m=2，∴方程变为x2﹣6x+9=0，解得：x1=x2=3，∵3+3＜7，∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1=7，代入方程得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或15∵7+7＜15，不能组成三角形；当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17．点评：本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．23．（2014?日照二模）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80．求实数a的所有可能值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：根据△的意义由一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根得到△≥0，即（3a﹣1）2﹣4（2a2﹣1）=a2﹣6a+5≥0，根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣（3a﹣1），x1?x2=2a2﹣1，由（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80变形得到3（x1+x2）2﹣16x1x2=﹣80，于是有3（3a﹣1）2﹣16（2a2﹣1）=﹣80，解方程得到a=3或a=﹣，然后代入△验算即可得到实数a的值．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，∴△≥0，即（3a﹣1）2﹣4（2a2﹣1）=a2﹣6a+5≥0所以a≥5或a≤1．…（3分）∴x1+x2=﹣（3a﹣1），x1?x2=2a2﹣1，∵（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80，即3（x12+x22）﹣10x1x2=﹣80，∴3（x1+x2）2﹣16x1x2=﹣80，∴3（3a﹣1）2﹣16（2a2﹣1）=﹣80，整理得，5a2+18a﹣99=0，∴（5a+33）（a﹣3）=0，解得a=3或a=﹣，当a=3时，△=9﹣6×3+5=﹣4＜0，故舍去，当a=﹣时，△=（﹣）2﹣6×（﹣）+6=（）2+6×+6＞0，∴实数a的值为﹣点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：如果方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．24．（2014?海门市模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+6）x+3m+9=0的两个实数根分别为x1，x2．（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；（2）若n=x1+x2﹣5，判断动点P（m，n）所形成的函数图象是否经过点A（4，5），并说明理由．考点：根的判别式；根与系数的关系．分析：（1）先求出该一元二次方程的△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0?方程有两个不相等的实数根；△=0?方程有两个相等的实数根；△＜0?方程没有实数根即可得出答案．（2）根据x1+x2=﹣和n=x1+x2﹣5，表示出n，再把点A（4，5）代入，即可得出答案．解答：解：（1）∵△=（m+6）2﹣4（3m+9）=m2+12m+36﹣12m﹣36=m2≥0，∴该一元二次方程总有两个实数根；（2）动点P（m，n）所形成的函数图象经过点A（4，5）；理由：∵x1+x2=m+6，n=x1+x2﹣5，∴n=m+1，∵当m=4时，n=5，∴动点P（m，n）所形成的函数图象经过点A（4，5）．点评：本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0?方程有两个不相等的实数根；△=0?方程有两个相等的实数根；△＜0?方程没有实数根．25．（2014?江岸区模拟）如图1，△ABC，△AED都是等腰直角三角形，∠ABC=∠E=90°，AE=a，AB=b，且（a ＜b），点D在AC上，连接BD，BD=c．（1）如果c=a，①求的值；②若a，b是关于x的方程x2﹣mx+m2﹣m+=0的两根，求m；（2）如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转，使BE=100，连接DC，求五边形ABCDE的面积．考点：全等三角形的判定与性质；根与系数的关系；勾股定理；等腰直角三角形．分析：（1）①延长ED交BC于点F，表示出DF、BF，然后利用勾股定理列出方程，再把c=a代入求出a、b的关系即可；②利用根与系数的关系表示出a+b，ab，然后消掉a、b得到关于m的一元二次方程，然后求解即可；（2）过A，C，D分别向BE作垂线，垂足分别为H，M，N，根据同角的余角相等求出∠HAE=∠NED，然后利用“角角边”证明△AHE和△END全等，同理可证△AHB≌BMC，根据全等三角形对应边相等可得AH=MB=EN，AH=h，然后根据五边形的面积等于两对全等三角形的面积加上梯形的面积列式整理即可得解．解答：（1）解：①延长ED交BC于点F，DF=b﹣a，BF=a，在Rt△DHB中由勾股定理得，a2+（b﹣a）2=c2，又∵c=a，∴（a﹣2b）（3a﹣2b）=0，∴a=2b或3a=2b，又∵a＜b，∴=；②由根与系数的关系a+b=m，ab=m2﹣m+，由a+b=m，=，解得a=m，b=m，所以，m2=m2﹣m+，整理得，m2+2m﹣3=0，解得m1=﹣3，∴m=1，当m=1时，方程为x2﹣x+=0，这个方程有两个不相等的正根，所以，m=1符合题意；（2）解：过A，C，D分别向BE作垂线，垂足分别为H，M，N，∵∠AEH+∠DEN=90°，∠AEH+∠HAE=90°，∴∠HAE=∠NED，在△AHE与△END中，，∴△AHE≌△END（AAS），同理可证△AHB≌BMC，则AH=MB=EN，MC=BH，DN=EH，设AH=h，五边形ABCDE的面积为100h+=5000．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，根与系数的关系，勾股定三角形的性质，熟记各性质是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形．26．（2013?孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：（1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k的不等式[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；（2）假设存在实数k使得≥0成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得k的值．解答：解：（1）∵原数根，∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0∴1﹣4k≥0，∴k≤．∴当k≤时，原方程有两个实数根．（2）假设存在实数k使得≥0成立．∵x1，x2是原方程的两根，∴．由≥0，得≥0．∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0，整理得：﹣（k﹣1）2≥0，∴只有当k=1时，上式才能成立．又∵由（1）知k≤，∴不存在实数k使得≥0成立．点评：本题综合考查和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．。