西南科技大学2013-2014-2学期
《高等数学B2》本科期末考试试卷（A 卷）
参考答案及评分细则
一、选择题（每小题3分，共15分）
1、B ；
2、D ；
3、B ；
4、A ；
5、B ；
二、填空题（每小题3分，共15分）
1、ln 2；
2、1ln y y
yx dx x xdy -+；3、111123x y z ---==；4、(2,6,1)--；5、cos cos P Q αβ+； 三、解答题（1-2小题每题8分，3-8小题每题9分，共70分）
1、解：令222(,,)14F x y z x y z =++-，
000000000000(,,)2,(,,)2,(,,)2x y z F x y z x F x y z y F x y z z ===
在点000(,,)P x y z 处的法向量为000(,,)n x y z =
000123
x y z k ===令，代入方程22214x y z ++=中可得1k =±---————--4分， 在点（1，2，3）处的切平面为2314x y z ++=-————----2分，
在点（-1，-2，-3）处的切平面为23140x y z +++=----————-2分。

2、解：122(3)z xf yf x ∂''=+∂分。

2221112221222221112222
422(3)42()(2)z xyf x f f y f xyf x y
f xyf x y f xyf ∂'''''''''=-++-+∂∂'''''''=-+-+分分 3、解：3440,440x y z x y z x y =-==-+=求得驻点为（0，0），（1，1），（-1，-1）。

（3分）
212,4,4xx xy yy A z x B z C z ====-==，在点（0，0）处2160AC B -=-<没有极值，
（3分） 在点（1，1）和（-1，-1）处2320,0AC B A -=>>，所以有极小值(1,1) 1.z ±±=-（3分）
4、解：
1
21111
420001|1|(1)(1)(3)111(1)(1)663D D D x x I x y dxdy x y dxdy x y dxdy
dx x y dy dx x y dy --=+-=+--+-=+--+-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰分分分
5、解 3334
4cos 22342200000)64cos 12dx x y dy d r dr d ππθθθθπ+===⎰⎰⎰⎰分分分。

6、解： 131lim 3
31n n n n n ρ+→∞==+，所以收敛半径为3，收敛区间为323x -<-<，即15x -<<（3分） 当5x =时11313n n n n n n ∞
∞===∑∑ 发散（2分），当1x =-时11(3)(1)3n n
n n n n n ∞∞==--=∑∑ 收敛，（2分）因此原级数的收敛域为[1,5)-。

（2分）
7、解：42332,4,24Q P P xy y Q x xy x y x y
∂∂=-=-==-∂∂，所以该曲线积分和积分路径无关。

（4分） 11
423300(23)(4)314)=3L xy y dx x xy dy dx y dy -++-=+-⎰⎰⎰（（5分）
8、解：由高斯公式得22322()2=()xy dydz x y z dzdx xydxdy x y dxdy ∑Ω
+-++⎰⎰⎰⎰⎰ （4分）
由柱面坐标2242230028()3
r x y dxdydz d r dz ππθΩ+==
⎰⎰⎰⎰⎰（5分）。