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2019年四川成都中考数学试题(解析版)

{来源}2019年成都市中考数学试卷{适用范围:3.九年级}{标题}成都市二〇一九年初中学业水平考试考试时间:120分钟满分:150分A卷(共100分){题型:1-选择题}一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,合计30分.{题目}1.(2019年四川成都T1)比-3大5的数是( )A.-15 B.-8 C.2 D.8{答案}C{解析}∵-3+5=2,故比-3大5的数是2.{分值}3{章节:[1-1-3-1]有理数的加法}{考点:两个有理数相加}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}2.(2019年四川成都T2)如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成,它的左视图是( )A.B.C.D.{答案}B{解析}如图,该几何体的三视图如下,故选B.{分值}3{章节:[1-29-2]三视图} {考点:简单组合体的三视图} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}3.(2019年四川成都T3)2019年4月10日,人类首张黑洞照片面世,该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心,距离地球约5500万光年.将数据5500万用科学记数法表示为( ) A .5500×104 B .55×106C .5.5×107D .5.5×108{答案}C{解析}科学记数法的表示形式为a×10n ,其中1≤|a|<10.若用科学记数法表示绝对值较大的数,则n 的值等于该数的整数位数减去1,则a =5.5,n =4+4-1=7,故5.5万=5.5×107. {分值}3{章节:[1-1-5-2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}4.(2019年四川成都T4)在平面直角坐标系中,将点(-2,3)向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为()左视图俯视图主视图A .(2,3)B .(-6,3)C .(-2,7)D .(-2.-1){答案}A{解析}将点(-2,3)向右平移4个单位得到的点为(-2+4,3),即(2,3). {分值}3{章节:[1-7-2]平面直角坐标系} {考点:平面直角坐标系} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}5.(2019年四川成都T5)将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起,若∠1=30°,则∠2的度数为( )A .10°B .15°C .20°D .30°{答案}B{解析}如图,∵矩形纸片的对边平行,∴∠2=45°-∠3=45°-∠1=15°.{分值}3{章节:[1-5-3]平行线的性质} {考点:平行线的性质与判定} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}6.(2019年四川成都T6)下列计算正确的是( )A.5ab-3a=2b B.(-3a2b)2=6a4b2 C.(a-1)2=a2-1 D.2a2b÷b=2a2 {答案}D{解析}逐项分析如下:{章节:[1-14-1]整式的乘法}{考点:完全平方公式}{考点:积的乘方}{考点:多项式除以单项式}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}7.(2019年四川成都T7)分式方程51x x --+2x=1的解为( )A .x =-1B .x =1C .x =2D .x =-2{答案}A{解析}去分母,得:x(x -5)+2(x -1)=x(x -1),去括号、移项、合并同类项,得:-2x =2,系数化为1,得:x =-1.检验:当x =-1时,x(x -1)=-1×(-2)=2≠0,故原分式方程的解为x =-1. {分值}3{章节:[1-15-3]分式方程} {考点:解含两个分式的分式方程} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}8.(2019年四川成都T8)某校开展了主题为“青春•梦想”的艺术作品征集活动.从九年级五个班收集到的作品数量(单位:件)分别为:42,50,45,46,50,则这组数据的中位数是( ) A .42件 B .45件C .46件D .50件{答案}C{解析}将该数据从小到大排列,得:42,45,46,50,50,中间的数是46件,故中位数是46件. {分值}3{章节:[1-20-1-2]中位数和众数} {考点:中位数} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}9.(2019年四川成都T9)如图,正五边形ABCDE 内接于⊙O ,P 为DE 上的一点(点P 不与点D 重命),则∠CPD 的度数为( )A .30°B .36°C .60°D .72°{答案}B {解析}连接OC 、OD ,则∠COD=15×360°=72°,∴∠CPD=12∠COD=36°.{分值}3{章节:[1-24-1-4]圆周角} {考点:圆周角定理} {考点:正多边形和圆} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}10.(2019年四川成都T10)如图,二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是( )A .c <0B .b 2-4ac <0C .a -b +c <0D .图象的对称轴是直线x=3{答案}D{解析}逐项分析如下:{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}{考点:二次函数y=ax2+bx+c的性质}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题型:2-填空题}二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,合计16分.{题目}11.(2019年四川成都T11)若m+1与-2互为相反数,则m的值为.{答案}1{解析}由题意可知:m+1+(-2)=0,解得:m=1.{分值}4{章节:[1-1-2-3]相反数}{考点:××}{考点:解一元一次方程(移项)} {难度:2-简单}{题目}12.(2019年四川成都T12)如图,在△ABC 中,AB =AC ,点D ,E 都在边BC 上,∠BAD =∠CAE ,若BD =9,则CE 的长为 .{答案}9{解析}∵AB=AC ,∴∠B=∠C,又∵∠BAD=∠CAE,∴△ABD≌△ACE(ASA),∴BD=CE =9. {分值}4{章节:[1-12-2]三角形全等的判定} {考点:全等三角形的判定ASA,AAS} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}13.(2019年四川成都T13)已知一次函数y =(k -3)x +1的图象经过第一、二、四象限,则k 的取值范围是 . {答案}k <3{解析}∵一次函数的图象经过第一、二、四象限,∴k-3<0,解得:k <3. {分值}4{章节:[1-19-2-2]一次函数}ABCD E{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}14.(2019年四川成都T14)如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,按以下步骤作图:①以点A为圆心,以任意长为半径作弧,分别交AO,AB于点M,N;②以点O为圆心,以AM长为半径作弧,交OC 于点M';③以点M'为圆心,以MN长为半径作弧,在∠COB内部交前面的弧于点N';④过点N'作射线ON'交BC于点E.若AB=8,则线段OE 的长为.{答案}4{解析}由尺规作图可知∠COE=∠CAB,∴OE∥AB.由平行四边形的性质可知点O是AC中点,∴OE是△ABC的中位线,∴OE=12AB=4.{分值}4{章节:[1-18-1-1]平行四边形的性质}{考点:三角形中位线}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题型:4-解答题}三、解答题:本大题共6小题,合计54分.{题目}15-(1)(2019年四川成都T15)计算:(π-2)0-2cos30|1|.A{解析}本题涉及零指数幂、平方根、绝对值、特殊角的三角函数4个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果. {答案}解:解:原式=1-2-4+1,=1-4-1,=-4. {分值}6{章节:[1-6-3]实数} {难度:2-简单} {类别:常考题}{考点:特殊角的三角函数值} {考点:算术平方根} {考点:零次幂} {考点:绝对值的性质}{题目}15-(2)(2019年四川成都T15)解不等式组:()32455211.42x x x x ⎧-≤-⎪⎨-<+⎪⎩,①② {解析}先求出两个不等式的解集,再求其公共解. {答案}解: 由①,得,x ≥-1, 由②,得,x <2,故不等式组的解集是-1≤x <2. {分值}6{章节:[1-9-3]一元一次不等式组} {难度:2-简单} {类别:常考题}{考点:解一元一次不等式组}{题目}16.(2019年四川成都T16)先化简,再求值:(1-43x +)÷22126x x x -++,其中x+1.{解析}先计算括号内的分式加减,同时将分式的除法转化为分式的乘法,因式分解分子、分母,约去公因式,最后代入x 的值求解. {答案}解:原式=(33x x ++-43x +)×()()2231x x +- =13x x -+×()()2231x x +-=21x -. 当x+1时,21x -. {分值}6{章节:[1-15-2-2]分式的加减} {难度:3-中等难度} {类别:常考题} {考点:分式的混合运算}{题目}17.(2019年四川成都T17)随着科技的进步和网络资源的丰富,在线学习已经成为更多人的自主学习选择.某校计划为学生提供以下四类在线学习方式:在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论.为了解学生需求,该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查,并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.根据图中信息,解答下列问题:(1)求本次调查的学生总人数,并补全条形统计图;(2)求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数;(3)该校共有学生2100人,请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数.{解析}(1)根据在线答题的人数和所占的百分比即可求得本次调查的人数,然后再求出在线听课的人数,即可将条形统计图补充完整;(2)根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数;(3)根据统计图中的数据可以求得该校对在线阅读最感兴趣的学生人数.{答案}解:(1)本次调查的学生总人数为:18÷20%=90,在线听课的人数为:90-24-18-12=36,补全的条形统计图如图所示;(2)扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是:360°×1290=48°,即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是48°;=560(人),(3)2100×2490答:该校对在线阅读最感兴趣的学生有560人.{分值}8{章节:[1-10-1]统计调查}{难度:1-最简单}{难度:2-简单}{难度:3-中等难度}{难度:4-较高难度}{难度:5-高难度}{难度:6-竞赛题}{类别:常考题}{考点:条形统计图}{考点:扇形统计图}{考点:用样本估计总体}{题目}18.(2019年四川成都T18)2019年,成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事,这大幅提升了成都市的国际影响力,如图,在一场马拉松比赛中,某人在大楼A处,测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°,底部D的俯角为45°,如果A处离地面的高度AB=20米,求起点拱门CD的高度.(结果精确到1米;参考数据:sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70){解析}作CE⊥AB于E,根据矩形的性质得到CE=AB=20,CD=BE,根据正切的定义求出AE,结合图形计算即可.{答案}解:作CE⊥AB于E,如图,则四边形CDBE为矩形,∴CE=AB=20,CD=BE.在Rt△ADB中,∠ADB=45°,∴AB=DB=20,在Rt△ACE中,tan∠ACE=AECE,∴AE=CE•tan∠ACE≈20×0.70=14,则CD=BE=AB-AE=6,答:起点拱门CD的高度约为6米.{分值}8{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}{难度:3-中等难度}{考点:解直角三角形的应用-仰角}{题目}19.(2019年四川成都T19)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=12x+5和y=-2x的图象相交于点A,反比例函数y=kx的图象经过点A.(1)求反比例函数的表达式;(2)设一次函数y=12x+5的图象与反比例函数y=kx的图象的另一个交点为B,连接OB,求△ABO的面积.{解析}(1)联立方程求得A的坐标,然后根据待定系数法即可求得;(2)联立方程求得交点B的坐标,进而求得直线与x轴的交点,然后利用三角形面积公式求得即可.{答案}解:(1)由1522y xy x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩,,得:24xy=-⎧⎨=⎩,,故A(-2,4),∵反比例函数y=kx的图象经过点A,∴k=-2×4=-8,∴反比例函数的表达式是y=-8x;(2)解方程组8152yxy x⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,得:24xy=-⎧⎨=⎩,,或81xy=-⎧⎨=⎩,,故B(-8,1),由直线AB的解析式为y=12x+5得到直线与x轴的交点为(-10,0),∴S△AOB=12×10×4-12×10×1=15.{分值}10{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {难度:3-中等难度}{类别:常考题}{考点:反比例函数与一次函数的综合}{题目}20.(2019年四川成都T20)如图,AB 为⊙O 的直径,C ,D 为圆上的两点,OC ∥BD ,弦AD ,BC 相交于点E .(1)求证:AC =CD ;(2)若CE =1,EB =3,求⊙O 的半径;(3)在(2)的条件下,过点C 作⊙O 的切线,交BA 的延长线于点P ,过点P 作PQ ∥CB 交⊙O 于F ,Q 两点(点F 在线段PQ 上),求PQ 的长.{解析}(1)由等腰三角形的性质和平行线的性质即可证明结论; (2)通过证明△ACE ∽△BCA ,可求出AC ,由勾股定理可求AB 的长,即可求⊙O 的半径;(3)过点O 作OH ⊥FQ 于点H ,连接OQ ,通过证明△APC ∽△CPB ,可求PA 、PO 的长,通过证明△PHO ∽△BCA ,可求PH ,OH 的长,由勾股定理可求HQ 的长,即可求PQ 的长. {答案}解:(1)连接OD ,如图1.图1∵OC∥BD,∴∠OCB=∠DBC. ∵OB=OC ,∴∠OCB=∠OBC,AA∴∠OBC=∠DBC,∴∠AOC=∠COD,∴AC=CD.(2)连接AC,如图1.∵AC=CD,∴∠CBA=∠CAD.∵∠BCA=∠ACE,∴△CBA∽△CAE,∴CACE =CBCA.∴CA2=CE·CB=CE·(CE+EB)=1×(1+3)=4,解得:CA=2. 又∵AB为⊙O的直径,则∠ACB=90°.在Rt△ACB中,由勾股定理,得AB∴⊙O(3)如图2,设AD与CO相交于点N.图2∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°.∵OC∥BD,∴∠ANO=∠ADB=90°.∵PC为⊙O的切线,∴∠PCO=90°,∴∠ANO=∠PCO.∴PC∥AE.∴PAAB =CEEB=13,则PA=13AB=13.∴PO=PA+AO.过点O作OH⊥PQ于点H,则∠OHP=90°=∠ACB.∵PQ∥CB, ∴∠BPQ=∠ABC, ∴△OHP∽△ACB, ∴OP AB=OH AC=PH BC.∴OH=AC OP AB⋅2=53,PH =BC OP AB⋅4=103.连接PQ.在Rt△OHQ 中,由勾定理,得:HQ.∴PQ=PH+HQ .{分值}10{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {难度:4-较高难度} {类别:常考题} {考点:圆周角定理} {考点:切线的性质}{考点:相似三角形的判定(两角相等)} {考点:勾股定理}B 卷(共50分){题型:2-填空题}一、填空题:本大题共5小题,每小题4分,合计20分. {题目}21.(2019年四川成都T21)≈(结果精确到1){解析}∵36<37.7<49,即67,又∵37.7更靠近36{答案}6{分值}4{章节:[1-6-3]实数}{难度:2-简单}{类别:常考题}{考点:实数的大小比较}{题目}22.(2019年四川成都T22)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k-1=0的两个实数根,且x12+x22-x1x2=13,则k的值为.{解析}由一元二次方程的根与系数之间的关系,得:x1+x2=-2,x1x2=k-1,∴x12+x22-x1x2=(x1+x2)2-3x1x2=(-2)2-3(k-1)=13,解得:k=-2.{答案}-2{分值}4{章节:[1-21-3] 一元二次方程根与系数的关系}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{考点:根与系数关系}{题目}23.(2019年四川成都T23)一个盒子中装有10个红球和若干个白球,这些球除颜色外都相同.再往该盒子中放入5个相同的白球,摇匀后从中随机摸出一个球,若摸到白球的概率为57,则盒子中原有的白球的个数为 .{解析}设盒子中原有的白球为x 个,根据题意,得:5105x x +++=57,解得:x =20,经检验该根有意义,故盒子中原有的白球为20个. {答案}20 {分值}4{章节:[1-25-1-2]概率} {难度:3-中等难度} {类别:思想方法} {类别:常考题} {考点:概率的意义}{题目}24.(2019年四川成都T24)如图,在边长为1的菱形ABCD 中,∠ABC =60°,将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A'B'D',分别连接A'C ,A'D ,B'C ,则A'C +B'C 的最小值为 .{解析}过点C 作直线l∥BD,以直线l 为对称轴作点B’的对称点E ,连接CE ,A’E,则B’C=CE ,∠EB’D=90°,B’E=AC =1.由菱形的性质可知∠ABD=∠A’B’D’=30°,∴∠A’B’E=30°+90°=120°,B又由A’B’=B’E=1,易求得在△A’EC 中,由三角形的三边关系可得:AC’+CE≥A’E,∴ AC’+CEAC’+B’C{答案{分值}4{章节:[1-18-2-2]菱形}{难度:4-较高难度}{类别:思想方法}{类别:易错题}{考点:菱形的性质}{考点:最短路线问题}{题目}25.(2019年四川成都T25)如图,在平面直角坐标系xOy 中,我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点”,已知点A 的坐标为(5,0),点B 在x 轴的上方,△OAB 的面积为152,则△OAB 内部(不含边界)的整点的个数为 .{解析}在△OAB中,易求得OA边上的高线长为3.如图,点B的横坐标位于2~3之间时,△OAB内的整数点最多,有6个点;将点B沿着直线y =3无限向左右移动,△OAB内始终至少有4个点.综上所述,整数点个数有4个或5个或6个.y={答案}4或5或6{分值}4{章节:[1-7-2]平面直角坐标系}{难度:4-较高难度}{类别:思想方法}{类别:易错题}{考点:点的坐标}{考点:三角形的面积}{考点:平行线之间的距离}{题型:4-解答题}三、解答题:本大题共3小题,合计30分.{题目}26.(2019年四川成都T26)随着5G技术的发展,人们对各类5G 产品的使用充满期待,某公司计划在某地区销售一款5G产品,根据市场分析,该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x(x 为正整数)个销售周期每台的销售价格为y元,y与x之间满足如图所示的一次函数关系.(1)求y与x之间的关系式;(2)设该产品在第x 个销售周期的销售数量为p(万台),p 与x 的关系可以用p =12x +12来描述.根据以上信息,试问:哪个销售周期的销售收入最大?此时该产品每台的销售价格是多少元?{解析}(1)根据函数图象上的两点坐标,用待定系数法求出函数的解析式便可;(2)设销售收入为w 万元,根据销售收入=销售单价×销售数量和p =12x +12,列出w 与x 的函数关系式,再根据函数性质求得结果. {答案} (1)设函数的解析式为:y =kx +b(k ≠0),由图象可得,700055000k b k b +=⎧⎨+=⎩,,解得:5007500k b =-⎧⎨=⎩,, ∴y 与x 之间的关系式:y =-500x +7500;(2)设销售收入为w 万元,根据题意得,w =yp =(-500x +7500)(12x +12),即w =-250(x -7)2+16000,∴当x =7时,w 有最大值为16000,此时y =-500×7+7500=4000(元).答:第7个销售周期的销售收入最大,此时该产品每台的销售价格是4000元.{分值}8{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{考点:商品利润问题}{考点:待定系数法求一次函数的解析式}{题目}27.(2019年四川成都T27)如图1,在△ABC 中,AB =AC =20,tanB =34,点D 为BC 边上的动点(点D 不与点B ,C 重合).以D 为顶点作∠ADE =∠B ,射线DE 交AC 边于点E ,过点A 作AF ⊥AD 交射线DE 于点F ,连接CF .(1)求证:△ABD ∽△DCE ;(2)当DE ∥AB 时(如图2),求AE 的长;(3)点D 在BC 边上运动的过程中,是否存在某个位置,使得DF =CF ?若存在,求出此时BD 的长;若不存在,请说明理由.图1 图2{解析}(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可.(2)解直角三角形求出BC ,由△ABD ∽△CBA ,推出AB CB =DB AB,可求得DB ,由DE ∥AB ,推出AE AC =BD BC ,求出AE 即可.(2)点D 在BC 边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF =CF .作FH ⊥BC 于H ,AM ⊥BC 于M ,AN ⊥FH 于N .则∠NHM =∠AMH =∠ANH =90°,由△AFN ∽△ADM 可求出tan ∠ADF 和AN ,CH ,再利用等腰三角形的性质,求出CD 即可解决问题.{答案}(1)∵AB=AC ,∴∠B=∠ACB.∵∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD,∠ADE=∠B,∴∠BAD=∠CDE.∴△ABD∽△DCE.(2)过点A 作AM⊥BC 于点M.在Rt△ABM 中,设BM =4k ,则AM =BM·tanB=4k·34=3k. 由勾股定理,得:AB 2=AM 2+BM 2,得:202=(3k)2+(4k)2,解得:k =4.∵AB=AC ,AM⊥BC,∴BC=2BM =8k =32.∵DE∥AB,∴∠BAD=∠ADE.又∵∠ADE=∠B,∠B=∠ACB,∴∠BAD=∠ACB.∵∠ABD=∠CBA,∴△ABD∽△CBA, ∴AB CB =DB AB,则DB =2AB CB =22032=252. ∵DE∥AB, ∴AE AC =BD BC, ∴AE=AC BD BC ⋅=2520232⨯=12516.(3)点D 在BC 边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF =CF.过点F 作FH⊥BC 于点H ,过点A 作AM⊥BC 于点M ,AN⊥FH 于点N ,则∠NHA =∠AMH=∠ANH=90°.∴四边形AMHN 为矩形.∴∠MAN=90°,MH =AN.∵AB=AC ,AM⊥BC,∴BM=CM =12BC =12×32=16. 在Rt△ABM 中,由勾股定理,得:AM12.∵AN⊥FH,AM⊥BC,∴∠ANF=90°=∠AMD.∵∠DAF=90°=∠AMN,∴∠NAF=∠MAD,∴△AFN∽△ADM. ∴AN AM =AF AD=tan∠ADF=tanB =34. ∴AN=34AM =34×12=9. ∴CH=CM -MH =CM -AN =16-9=7.当DF =CF 时,由点D 不与点C 重合时,可知△DFC 为等腰三角形. 又∵FH⊥DC,C∴CD=2CH=14.∴BD=BC-CD=32-14=18.∴点D在BC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF,此时BD =18.{分值}10{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}{难度:5-高难度}{类别:思想方法}{类别:常考题}{考点:勾股定理}{考点:相似三角形的判定(两角相等)}{考点:几何综合}{题目}28.(2019年四川成都T28)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,5),与x轴相交于B(-1,0),C(3,0)两点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)点D在抛物线的对称轴上,且位于x轴的上方,将△BCD沿直线BD 翻折得到△BC'D,若点C'恰好落在抛物线的对称轴上,求点C'和点D的坐标;(3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点,点Q在抛物线的对称轴上,当△CPQ为等边三角形时,求直线BP的函数表达式.{解析}(1)运用待定系数法列方程组求a 、b 、c 即可;(2)根据抛物线的解析式和勾股定理可求出点C’到x 轴的距离;利用∠BC’D 和∠DBC 的三角函数值求出点D 到x 轴的距离.由此可求出点C’和点D 的坐标;(3)分两种情况讨论:点Q 可能在x 轴上方也可能在x 轴下方,根据等边三角形的性质,利用全等三角形求出∠CBP 的度数,由此可找出直线BP 上的两个特殊点的坐标,运用待定系数法即可求出直线BP 的函数表达式.{答案}解:(1)由题意得:4250930a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩,,,解得:123.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩,,∴抛物线的函数表达式为y =x 2-2x -3.(2)∵抛物线与x 轴交于B(-1,0),C(3,0),∴BC=4,抛物线的对称轴为直线x =1,如图,设抛物线的对称轴与x 轴交于点H ,则H 点的坐标为(1,0),BH =2,由翻折得C′B=CB =4,在Rt△BHC′中,由勾股定理,得,∴点C′的坐标为(1,),tan∠C’BH='C HBH,∴∠C′BH =60°.由翻折得∠DBH=12∠C′BH=30°,在Rt△BHD中,DH=BH•tan∠DBH=2•∴点D的坐标为(1.(3)取(2)中的点C′,D,连接CC′,∵BC′=BC,∠C′BC=60°,∴△C′CB为等边三角形.分类讨论如下:①当点P在x轴的上方时,点Q在x轴上方,连接BQ,C′P.∵△PCQ,△C′CB为等边三角形,∴CQ=CP,BC=C′C,∠PCQ=∠C′CB=60°,∴∠BCQ=∠C′CP,∴△BCQ≌△C′CP(SAS),∴BQ=C′P.∵点Q 在抛物线的对称轴上,∴BQ=CQ ,∴C′P=CQ =CP ,又∵BC′=BC ,∴BP 垂直平分CC′,由翻折可知BD 垂直平分CC′,∴点D 在直线BP 上,设直线BP 的函数表达式为y =kx +b ,则0k b k b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得:k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴直线BP 的函数表达式为yx.②当点P 在x 轴的下方时,点Q 在x 轴下方.∵△PCQ,△C′CB 为等边三角形,∴CP=CQ ,BC =CC′,∠CC′B=∠QCP=∠C′CB=60°. ∴∠BCP=∠C′CQ,∴△BCP≌△C′CQ(SAS),∴∠CBP=∠CC′Q,∵BC′=CC′,C′H⊥BC,∴∠CC’Q=12∠CC’B=30°,则∠CBP=30°.设BP 与y 轴相交于点E ,在Rt△BOE中,OE=OB·tan∠CBP=OB,∴点E的坐标为(0).设直线BP的函数表达式为y=mx+n,则m nn-+=⎧⎪⎨=⎪⎩,,解得:mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线BP的函数表达式为yx.综上所述,直线BP的函数表达式为yx或yx.{分值}12{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}{难度:5-高难度}{类别:思想方法}{类别:常考题}{类别:易错题}{考点:代数综合}{考点:几何综合}{考点:二次函数中讨论等腰三角形}{考点:二次函数y=ax2+bx+c的性质}{考点:等边三角形的判定与性质}。

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