数字信号处理知识点归纳整理第一章时域离散随机信号的分析1.1. 引言实际信号的四种形式:连续随机信号、时域离散随机信号、幅度离散随机信号和离散随机序列。

本书讨论的是离散随机序列()X n ,即幅度和时域都是离散的情况。

随机信号相比随机变量多了时间因素,时间固定即为随机变量。

随机序列就是随时间n 变化的随机变量序列。

1.2. 时域离散随机信号的统计描述 1.2.1概率描述1. 概率分布函数(离散情况)随机变量n X ,概率分布函数: ()()n X n n n F x ,n P X x =≤(1)2. 概率密度函数(连续情况)若n X 连续,概率密度函数: ()()n n X X n nF x,n p x ,n x ∂=∂ (2)注意,以上两个表达式都是在固定时刻n 讨论,因此对于随机序列而言,其概率分布函数和概率密度函数都是关于n 的函数。

当讨论随机序列时,应当用二维及多维统计特性。

()()()()121212,,,121122,,,12,,,1212,1,,2,,,,,,,1,,2,,,,1,,2,,,NNNx XX N N N N x XX N x XX N NF x x x N P X x X x X x F x x x N p x x x N x x x =≤≤≤∂=∂∂∂1.2.2 数字特征1. 数学期望 ()()()()n xx n n m n E x n x n p x ,n dx ∞-∞==⎡⎤⎣⎦⎰ (3)2. 均方值与方差均方值: ()()22n n x n n E X x n p x ,n dx ∞-∞⎡⎤=⎣⎦⎰ (4)方差: ()()()2222xn x n x n E X m n E X m n σ⎡⎤⎡⎤=-=-⎣⎦⎣⎦(5)3. 相关函数和协方差函数自相关函数:()()nm**n m n m X ,X n m n m r n,m E X X x x p x ,n,x ,m dx dx ∞∞-∞-∞⎡⎤==⎣⎦⎰⎰ (6)自协方差函数:()()()()**cov ,,n m nmn m n X mX xx XXX X E X m Xm r n m m m ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦=- (7)由此可进一步推出互相关函数和互协方差函数。

1.2.3 平稳随机序列严平稳:N 维概率密度函数或分布函数与时间n 起始位置无关。

宽平稳:均值、方差和均方值与时间无关;二维概率密度函数、自相关函数和自协方差函数与时间间...隔.有关。

严平稳可以推出宽平稳的条件,反过来不成立。

对于两个随机序列则要求各自平稳且联合平稳。

其相关函数满足: () ()*xyyx r m r m =-,()()*xx xx r m r m =- (8)()0xy r m =表示互为正交,()()0cov xy x y xy r m m m m =⇒=表示互不相关。

实平稳...随机序列相关函数、协方差函数的性质: (1) 自相关函数和自协方差函数是偶函数()()()()()()()(),cov cov ,cov cov xx xx xx xx xy yx xy yx r m r m m m r m r m m m =-=-=-=- (9)(2)0m =,自相关变为均方值()20xx n r E X ⎡⎤=⎣⎦(10)(3)m →∞,自相关变为均值的平方,即随着时间间隔增大,序列内部相关性愈来愈若()()2lim ,lim xx x xy x y m m r m m r m m m →∞→∞== (11) (4)0m =,协方差变为方差()()()220cov ,cov xx xx x xx x m r m m σ=-= (12)1.2.4 平稳随机序列功率谱密度由1.2.3性质(3)知,m→∞时,()2xx xr m m →,若0x m =则()xx r m 收敛,即平稳随机序列均值为0,自相关函数收敛,存在Z 变换,其收敛域包含单位圆,傅里叶变换存在。

()()()()()()()()11212m xx xx m m xx xx c j j m xx xx m j j m xxxx P z r m z r m P z z dz j P e r m e r m P e e d ωωπωωππωπ∞-=-∞-∞-=-∞-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑⎰∑⎰ (13)()j xx P e ω即为平稳随机序列的功率谱密度。

即自相关函数和功率谱互为傅里叶变换对。

(令0m =,()()102jxx xx r P e d πωπωπ-=⎰为随机序列平均功率,故称()jP e ω功率谱密度)实、平稳随机序列功率谱性质: (1)偶函数()()xx xx P P ωω=- (14)1.2.5 各态历经性平稳随机序列样本的时间平均....依概率趋于序列的集合平均....,则平稳随机序列具有各态历经性。

前面已经提到,随机序列各统计特征是时间的函数,如均值是时间的函数m x (n )。

时间平均就是对该函数求时间上的平均∙:()()121lim Nx x N n Nf n f n N →∞=-=+∑ (15) 1.2.6特定的随机序列 1.正态(高斯)随机序列单变量正态分布概率密度函数:()()222exp x p x μσ⎡⎤-⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦(16) 正态随机序列()xn 的N 维(N 个时刻的随机变量)联合概率密度函数可表示为: ()()()()1121221122//,,,exp T N N p x x x π-⎡⎤=--∑-⎢⎥⎣⎦∑X μX μ (17)式11212122121212222,,,,,,NN N N N TN TN x x x x x x x xx x x x x x x x x x μμμσσσσσσσσσ⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥∑=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦X μ (18),,∑X μ分别为样本列向量、均值列向量和协方差矩阵。

2.白噪声序列白噪声:随机序列x (n ),在各时刻的随机变量两两互不相关,即()220cov ,n m nm nmnmm n x x m n δσσ⎧≠⎪==⎨=⎪⎩ (19)均值为...0.的平稳..随机白噪声...功率谱密度 ()2j xxP e ωσ=。

(20)若各变量取值服从正态分布,则噪声为高斯白噪声,高斯分布互不相关和相互独立等价。

3.谐波过程()()1cos Niiii x n A n ωθ==+∑ (21)式i A 和i ω为常数,i θ服从均匀分布且相互独立。

1.2.7随机信号采样定理与确定信号有类似结论,即满足奈奎斯特采样定理。

1.3. 随机序列数字特征的估计 1.3.1 估计准则1. 偏移性偏移量ˆ B E αα⎡⎤=-⎣⎦ 0B =为无偏估计,为lim 0N B →∞=渐近无偏估计2. 估计量的方差(有效性)无偏估计的情况下,有()22ˆˆˆ E E ασαα⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦3. 一致性(均方误差)估计量的均方误差 ()22ˆ E E ααα⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦1.3.2 均值的估计101ˆN x ii m xN-==∑22ˆ1,ˆx x x m xE m m N σσ⎡⎤==⎣⎦(数据内部不相关时,无偏一致的好估计)1.3.3 方差的估计()()11222011ˆˆN N xix ix i i xm xm NNσ--===-⇒-∑∑221ˆx x N E Nσσ-⎡⎤=⎣⎦(数据内部不相关时,有偏估计) 修改估计式使得估计为无偏()1222201ˆˆˆ1N xix x x i xm E N σσσ-=⎡⎤=-⇒=⎣⎦-∑ 1.3.4 自相关函数的估计1. 无偏估计()()()11ˆN m xxn r m x n x n m N m--==+-∑2. 有偏估计()()()11ˆN m xxn r m x n x n m N--==+∑渐近无偏,渐近一致估计,估计误差比无偏估计的小,实际用这种有偏估计。

1.4. 平稳随机序列通过线性系统1.4.1 系统响应(即输出信号)的均值、自相关函数和平稳性分析线性时不变系统,系统响应 ()()()k y n h k x n k ∞=-∞-∑输出的均值 ()()0j y xx n m m h n m H e ∞=-∞==∑,即若m x 与时间无关,m y 也与时间无关输出的自相关函数 ()()()yy xx hh r m r m r m =* 相关卷积定理:卷积的相关等于相关的卷积............()()()()()()()()()***yy xx hh y n x n h n r m r m r m y n x n h n ⎧=⎪⇒=⎨=⎪⎩其,()()()()()****hh r m h m h m h m h m =-=-也可以通过相关卷积定理推出(,h h r r δδ)。

1.4.2 输出响应的功率谱密度函数自相关函数和频谱互为Z 变换对,和功率谱互为傅里叶变换对。

由相关卷积定理可得()()()()()()21yy xx jwjwjwyy xx P z P z H z H z P eP eH e ⎛⎫= ⎪⎝⎭=对于实序列有()()()()1yy xx P z P z H z H z -=1.4.3 系统的输入、输出互相关函数输入输出互相关函数()()()()()**xy xx r m E x n y n m h m r m ⎡⎤=+=⎣⎦可以通过定义来求,也可以通过相关卷积定理来求。

(() ()()()h r mEn h n m h m δδ⎡⎤=+=⎣⎦)()()()()()()()()()1jw jwjwxy xx xy xxyx xxP z H z P z P e H e P e P z H zP z -=⇒==1.5. 时间序列信号模型时间序列信号模型法采用的是线性模型,是一种研究平稳随机序列的有效方法。

信号模型:图()wn 是均值为0、方差为2wσ的白噪声。

许多平稳随机序列都可以看成是由典型噪声源(一般是白噪声序列)激励一个线性系统产生。

1.5.1 三种时间序列模型信号模型用差分方程表示:()()()()()()1111p q x n a x n a x n p w n b w n b w n q +-++-=+-++-()x n 是需要研究的序列,根据系数取值可分为三种模型:MA 、AR 和ARMA 。

1. MA(Moving Average)(全零点)系统函数:()12121q q Hz b z b z b z ---=++++,只有零点,没有极点。

相应的,差分方程系数0123ia ,i ,,,p ==,变为:()()()()11q x n w n b w n b w n q =+-++-如果零点全部在单位圆内,则为最小相位系统,系统可逆。