(2) S(x) 在(--R,R)内可导,且
S(x) ( an xn ) (an xn ) nan xn1
n0
n0
n0
即幂级数在(-R,R)内可以逐项求导,所得到的幂级数
收敛半径不变.
可推广到任意阶导数
(3) S(x)在(--R,R)内可积,且
x
S(x)dx
0
x
[
0
an xn ]dx
幂级数 各项都是幂函数的函数项级数
一般形式:
a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n (1)
特例
a0 a1x a2 x2 an xn 系数 (2)
主要讨论(2),因为(1)可以通过变量代换化成(2)
1.幂级数的收敛域
x = 0 时(2)收敛,一般的,幂级数收敛域是一区间.
收敛,x0 收敛点
发散, x0发散点
函数项级数的全体收敛点的集合称为收敛域
3.和函数： 在收敛域内，函数项级数的和依赖于点x，
因此其和是x的函数，称为和函数
S(x) un(x)
4.余项:
n1
rn (x) S(x) Sn (x)
前n项的部分和
在收敛域内才有意义,且
lim
n
rn
(
x)
0
二. 幂级数及其收敛性
注：用比值或根值审敛法判定的非绝对收敛级 数一定发散。
三、小结
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
敛 3. 按基本性质;
4. 充要条件
法 5. 比较法
6. 比值法 7. 根值法
4. 绝对收敛 5. 交错级数 (莱布尼茨定理)
(*) 第四节 幂级数
1 n
1 ，且 2n
n1
1 n
发散，
所以原级数在点x 3处发散.
当
x
3 时，由于
(3)n 3n (2)n
1 n
(1)n
1 n
3n
2n (2)n
1 n
,
且
n1
(1)n n
与
n1
3n
2n (2)n
1 n
都收敛，所以原级数在点
x
3 处收敛.
三.幂级数的运算性质
1.四则运算性质
设
an xn f (x)
( |x| <1 )
xn
(2). n0 n 1
设和函数为S(x)
则 xS(x) xn1 n0 n 1
( x xndx)
x
(
xn )dx
0 n0
0 n0
x1
0
1
dx x
ln(1
x)
S ( x)
1 x
ln(1
x),
0 | x | 1
0,
x0
1 n
收敛； x =－1时
( 1 ) 发散
n1 n
(2).
xn
n0 n!
R lim an a n
n1
收敛域是(－∞，∞）
1 lim n!
n 1 (n 1)!
(3). n!xn n1
仅在 x =0 点收敛
R lim an lim n! 0
a n n1
n (n 1)!
(4). (1)n1 (x 2)n
解 un1 (n 1)! 1 0 1 收敛.
un
1 n1
n! n!
(2) n1 10n ;
解
un1 un
(n 1)! 10n1
10n n!
n1 10
发散.
1
(3) n1 nn
解 lim n n
;
un 1
lim 1 n n
0
收 敛.
(4)
.
解
nlim1 2unn(12n
1) lim
n0
n0
x 0
an xndx
n0
an n 1
x n 1
即幂级数在(-R,R)内可以逐项积分,所得到的幂级数 收敛半径不变.
注意:(2),(3)中端点需要另外讨论.
例 求和函数
(1). nxn n1
设和函数为S(x)
S (x) x nxn1 x (xn ) x( xn )
n1
n1
n1
x( x ) x 1 x (1 x)2
n0
bn xn g(x)
n0
收敛半径分别为 R1 和 R2 ,记 R min{ R1, R2} 则对于任意的 x (R, R) , 有
(1). an xn bn xn (an bn )xn f (x) g(x)
n0
n0
n0
(2).( an xn ) ( bn xn ) (a0bn a1bn1 anb0 )xn
n1
则 1时,收敛; 1时,发散.（ 1时失效）
比值审敛法、根值审敛法的优点: 由项的比值或根值的极限值确定级数的收敛性.
注意: 当 1时比值（根值）审敛法失效。
例
对
p
级数
n1
1 np
, 总有 lim un1 n un
lim n n
un 1.
例 5
判别收敛性: (1)
1
;
1
n1 n!
aqn a aq aq2 aqn 的收敛性.
n0
n0
aq
n
当 当
q q
1时,收敛; 1时,发散.
例 4
判定敛散性:
(1)
sin 1 n1 n
; (2)
1 n1 3n n
.
1
解 (1)
lim nsin 1
n
n
sin
lim
n
1 n 1,
发散.
1
n
(2)
lim
n
3n 1
第二节 正项级数及其收敛法
正项级数及其收敛法
一、正项级数及其审敛法
1.定义:
若 un中各 un 0，则称此级数为正项级数. n1
2.正项级数收敛的充分必要条件:
对正项级数，有s1 s2 sn
正项级数收敛的基本定理
正项级数收敛 部分和数列有界.
注：正项级数收敛的本质 —— un 0足够快。
3.比较审敛法 un、 vn为正项级数，且 un vn .
n1
n1
则
v
收
n
敛
un收敛;
un发散
v
发
n
散.
n1
n1
n1
n1
极限形式:
n1
un和
n1
v
同上
n
，且
lim
n
un vn
l.
则
(1) 当 l 时， vn收敛 un收敛;
(2) 当0 l 时， un收敛
v
收
n
敛;
(3) 当0 l 时， un收敛 vn收敛.
注: 比较审敛法的不方便—— 须有参照级数.
重要参照级数: 等比级数, p-级数。
（1）p-级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性.( p
0)
结论:
p
级数当 当pp
1时, 1时,
收敛 发散
（2）等比级数(几何级数) (a 0)
n1
np
的收敛性，并在收敛时指出是
绝对收敛还是条件收敛。
解 p 1时, 绝对收敛0； p 1时,
条件收敛；p 0时, 发散。
*定理（绝对收敛与条件收敛的本质） (1) 绝对收敛的级数，可以任意改变项的顺序 ，其收敛性与和均不变； (2) 条件收敛的级数，总可以适当改变项的顺 序，使其按任意预定的方式收敛或发散。
1
xn
(7). n1 3n (2)n n
lim un1
u n n
1
2
n
n
lim n
3n (2)n n 3n1 (2)n1 (n 1)
lim 3
n
31
2
n1
(n
1)
1 3
因为R 1
3
所以收敛半径为 3, 收敛区间为 (3,3)
当
x
3时，因为 3n
3n (2)n
(2n 1) 2n
1,
n un n (2n 1) (2n 2)
比值审敛法失效. 根值审敛法也一定失效.
改用比较审敛法
1
或 lim n2
1 (2n 1) 1/ 4
n (2n 1)2n
2n
1 n2
,
收敛.
第三节 任意项级数
交错级数及其收敛法
绝对收敛与条收收敛
一、交错级数及其审敛法
n1
n1Leabharlann 定义:若 un 收敛, 则称 un 绝对收敛;
n1
n1
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 条件收敛.
n1
n1
n1
例
6
判别
n1
sin n n2
的收敛性.
解
sin n n2
1 n2
,
而
n1
1 n2
收敛,
n1
sin n n2
收敛,
故原级数（绝对）收敛.
(1)n
例 7 判别
n0
n0
n0
f (x) g(x)
利用乘法可以定义除法
an xn ( bn xn ) ( cn xn ) 则
an xn
n0
cn xn
n0
n0
n0
bn xn n0
n0
注意,商级数的收敛半径可能比原来要小得多