.学习-----好资料第十八章 平行四边形18.1 平行四边形平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形用□“ ”表示，读作“平行四边形”.平行四边形 ABCD 记作“□ABCD”.18.1.1 平行四边形的性质平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.例、已知：□ABCD 求证：AD=BC ，AB=DC ；∠A=∠C ，∠B=∠D.证明：连接 AC ，AD / /CD, AD / / BC∴∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4又 AC 是△ABC 和△CDA 的公共边，∴ △ABC ≌△CDA ，∴ AD = CB, AB = CD, ∠B = ∠D平行四边形性质 1：平行四边形的两组对边分别相等.平行四边形性质 2：平行四边形的两组对角分别相等.例、已知：如图：□ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点 O.求证：OA=OC ，OB=OD .证明：四边形 ABCD 是平行四边形∴ AD=BC ，AD ∥BC.∴∠1=∠2，∠3=∠4.∴△AOD ≌△COB （ASA ）.∴ OA=OC ，OB=OD .平行线之间的距离定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.平行线之间的距离特征 1：平行线之间的距离处处相等.平行线之间的距离特征 2：夹在两条平行线之间的平行线段相等.平行四边形性质 3：平行四边形的两条对角线互相平分.例、如图，□ ABCD 中，BD ⊥AB ，AB=12cm ，AC=26cm ，求 AD 、BD 长．.解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AO=CO= 1AC ，OB=OD ．2∵BD ⊥AB ，∴在 △Rt A BO 中，AB=12cm ，AO=13cm ．∴BO= AO 2 - AB 2 = 5 ．∴BD=2B0=10cm ．∴在 Rt △ABD 中，AB=12cm ，BD=10cm ．∴AD= AB 2 + BD 2 = 2 61 (cm)．例、如图，在□ A BCD 中，已知对角线 AC 和 BD 相交于点 △O ， AOB 的周长为 25，AB=12，求对角线 AC 与 BD 的和.解：∵△AOB 的周长为 25，∴OA+BO+AB=25，又 AB=12，∴AO+OB=25-12=13，∵平行四边形的对角线互相平分，∴AC+BD=2OA+2OB=2(0A+OB)=2×13=2618.1.2 平行四边形的判定平行四边形判定 1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.平行四边形判定 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.平行四边形判定 3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.平行四边形判定 4：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.平行四边形判定 5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 例、 如图，在□ABCD 中，已知点 E 和点 F 分别在 AD 和 BC 上，且 AE=CF ，连结CE 和 AF ，试说明四边形 AFCE 是平行四边形.证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD//BC ，∵点 E 在 AD 上，点 F 在 BC 上，∴AE//CF ，E F .又∵AE=CF ，∴四边形 AFCE 是平行四边形.例、如图，E 、F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AF=CE ，DF=BE ，DF ∥BE ．求证：（△1）AFD ≌△CEB ．（2）四边形 ABCD 是平行四边形．解：（1）∵DF ∥BE ，∴∠AFD ＝∠CEB ． 又∵AF=CE ， DF=BE ，∴△AFD ≌△CEB ．（2）由(1)△AFD ≌△CEB 知 AD=BC ，∠DAF ＝∠BCE ， ∴AD ∥BC ，∴四边形 ABCD 是平行四边形．例、如图，平行四边形 ABCD 中， 、 为边 AD 、BC 上的点，且 AE=CF ，连结 AF 、EC 、BE 、DF 交于 M 、N ，试说明：MFNE 是平行四边形．AED解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， AD ∥BC又∵AE=CF ，∴ED=FB ，四边形 AFCE 是平行四边形∴AF ∥EC ．同理：BE ∥FD ．∴四边形 MFNE 是平行四边形．BMNFC18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形矩形定义 1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形矩形定义 2：有三个角是直角的四边形叫做矩形矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线 矩形性质 1：矩形的四个角都是直角.矩形性质 2：矩形的对角线相等且互相平分.直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半矩形判定 1：有一个角是直角的平行四边形是矩形.矩形判定 2：有三个角是直角的四边形是矩形.矩形判定 3：对角线相等的平行四边形是矩形.例、如图，已知 AB=AC ，AD=AE ，DE=BC ，且∠BAD=∠CAE ，..求证：四边形 BCED 是矩形．证明：在△ABD 和△ACE 中，AB = AC ，AD = AE ，∠BAD = ∠CAE∴△ABD ≌△ACE ，∴BD=CE ，又 DE=BC ，∴四边形 BCED 为平行四边形.在△ACD 和△ABE 中，∵AC=AB ，AB=AE ，∠CAD = ∠CAB +∠ BAD = ∠CAB +∠ CAE = ∠BAE ，∴△ADC ≌△AEB∴CD=BE∴四边形 BCED 为矩形18.2.2 菱形菱形定义 1：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形定义 2：四条边都相等的四边形叫做菱形.菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线 菱形性质 1：菱形的四条边都相等.菱形性质 2：菱形的对角线互相垂直平分.菱形性质 3：菱形的每一条对角线平分一组对角.菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半.推广：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半.菱形判定 1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.菱形判定 2：四条边都相等的四边形是菱形.菱形判定 3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.菱形判定 4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.18.2.3 正方形正方形定义 1：有一组邻边相等的矩形叫做正方形.正方形定义 2：有一个角是直角的菱形叫做正方形.正方形定义 3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线和对角线所在的直线.正方形性质 1：正方形的四个角都是直角.正方形性质 2：正方形的四条边都相等.正方形性质 3：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等.正方形判定 1：有一组邻边相等的矩形是正方形.正方形判定 2：有一个角是直角的菱形是正方形.正方形判定 3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形 正方形判定 4：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形. 例、如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC ＝8 cm ，BD ＝6 cm ， DH ⊥AB 于 H ，求：DH 的长.∵四边形 ABCD 是菱形，∴ A C ⊥ BD ，OA = OC =∴AB=5cm ，1 2AC = 4cm ，OB = OD = 3cm ，∴ S 菱形ABCD = AC ⋅ BD = AB ⋅ DH ，∴ DH = AC ⋅ BD= 4.8cm ．2 A B例、已知：如图，菱形ABCD 的周长为 16 cm ，∠ABC ＝60°，对角线 AC 和 BD相交于点 O ，求 AC 和 BD 的长.解：∵菱形 ABCD 的周长为 16cm ， ∠ABC = 600∴AB=BC=4cm △， ABC 是等边三角形，∴AC=4cm ，∵AC ，BD 互相垂直平分，∴OA=2∴OB = 42 - 22 = 2 3cm∴ BD = 4 3cm例、如图，在正方形 ABCD 中，P 为对角线 BD 上一点，PE ⊥BC ，垂足为 E ， PF ⊥CD ，垂足为 F ，学习-----好资料求证：EF＝AP证明：连接PC，∵PE⊥BC，PF⊥CD，四边形ABCD是正方形，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，∴四边形PECF是矩形，∴PC=EF，∵P是正方形ABCD对角线上一点，∴AD=CD，∠PDA=∠PDC，在△P AD和△PCD中，AD＝CD，∠PDA＝∠PDC，PD＝PD，∴△P AD≌△PCD，∴P A=PC，∴EF=AP，例、在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.试说明:DE=DF解：∵AB=AC，∠B=∠C∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠DEB≌DFC=90°∵D是BC的中点∴BD=DC∴△BDE≌△CDF∴DE=DF.例、如图，ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，EF∥AB交AD于F，试问：四边形ABEF是什么图形吗？请说明理由.解：四边形ABEF是菱形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，A F DB E C学习-----好资料∴AD∥BC，∵EF∥AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠FAE，∵AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴ABEF是菱形．。