2018年上半年中小学教师资格考试《数学学科知识与教学能力》（初级中学）注意事项1.考试时间为120分钟，满分为150分。
2.请按规定在答题卡上填涂、作答，在试卷上作答无效，不予评分。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.下列命题不正确的是（）A.有理数集对于乘法运算封闭B.有理数可以比较大小C.有理数集是实数集的子集D.有理数集是有界集2.设a,b为非零向量，下列命题正确的是（）A.a×b垂直于aB.a×b平行于aC.a·b平行于aD.a·b垂直于a3.设f(x)为[a,b]上的连续函数，则下列命题不正确的是（）A.f(x)在[a,b]上有最大值B.f(x)在[a,b]上一致连续C.f(x)在[a,b]上可积D.f(x)在[a,b]上可导4.若矩阵a bc d⎛⎫⎪⎝⎭与a bc dμν⎛⎫⎪⎝⎭的秩均为2，则线性方程组,ax bycx dyμν+=⎧⎨+=⎩解的个数是（）A.0B.1C.2D.无穷5.边长为4的正方体木块，各面均涂成红色，将其锯成64个边长为1的小正方体，并将它们搅匀混在一起，随机抽取一个小正方体，恰有两面为红色的概率是（）A.38 B.18 C.916 D.3166.在空间直角坐标系中，双曲柱面x2-y2=1与平面2x-y-2=0的交为（）A.椭圆B.两条平行线C.抛物线D.双曲线7.下面不属于“尺规作图三大问题”的是（）A.三等分任意角B.作一个立方体使之体积等于已知立方体体积的二倍C.作一个正方形使之面积等于已知圆的面积D.作一个正方形使之面积等于已知正方形面积的二倍8.下列函数不属于初中数学课程内容的是（）A.一次函数B.二次函数C.指数函数D.反比例函数二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）9.若ad-bc≠0，求a bc d⎛⎫⎪⎝⎭的逆矩阵。
10.求二次曲面3x2-2y2+z2=20过点(1,2,5)的切平面的法向量。
11.设acosx+bsinx是R到R的函数，V={acosx+bsinx|a,b∈R}是函数集合，对f∈V，令Df(x)=()'f x，即D将一个函数变成它的导函数，证明D是V到V 上既单又满的映射。
12.简述选择初中数学教学方法的依据。
13.简述你对《义务教育数学课程标准》（2011年版）中“探索并证明三角形的中位线定理”这一目标的理解。
三、解答题（本大题1小题，10分）14.设f(x)是R上的可导函数，且f(x)>0。
（1）求lnf(x)的导函数；（4分）（2）已知()'f x-3x2f(x)=0，且f(0)=1，求f(x)。
（6分）四、论述题（本大题1小题，15分）15.《义务教育数学课程标准》（2011年版）在教学建议中指出应当处理好“面向全体学生与关注学生个体差异的关系”，论述数学教学中如何理解和处理这一关系。
五、案例分析题（本大题1小题，20分）16.案例：在有理数运算的课堂教学片段中，某学生的板演如下：210.25175124475107⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=。
针对该学生的解答，某教师进行了如下教学：师：请仔细检查你的演算过程，看是否正确无误？生：好像正确吧！师：对于这个115⎛⎫-- ⎪⎝⎭，你是怎么想的？生：负1减15，不对，是负1与负15的和，不对，哎呀！老师我不会了。
问题：（1）请指出该生解题中的错误，并分析产生错误的原因；（10分）（2）针对该生在解题中的错误，教师呈现如下两道例题，并板书了解答过程：例题1.111111555⎛⎫⎛⎫--=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；例题2.11411555⎛⎫---=-+=- ⎪⎝⎭。
请分析例题1、例题2中每一步运算的依据。
（10分）六、教学设计题（本大题1小题，30分）17.加权平均数可以刻画数据的集中趋势，《义务教育数学课程标准》（2011年版）要求“理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数”，请完成下列任务：（1）设计一个教学引入片段，体现学习加权平均数的必要性；（12分）（2）说明加权平均数的“权重”的含义；（6分）（3）设计一道促进学生理解加权平均数的题目，并说明具体的设计意图。
（12分）参考答案与解析一、单项选择题1.D【解析】有理数集是无限集。
2.A【解析】由向量的向量积定义，设向量c由向量a与b按如下方式确定：①向量c的模sin,⨯=c=a b a b a b；②向量c即a×b的方向同时垂直于a,b,且a,b,a×b符合右手规则，则向量c叫作向量a与b的向量积，记作c=a×b，可知选A。
3.D【解析】若函数f(x)在[a,b]上可导，则可推知f(x)在[a,b]上连续，反之不成立，故D项错误。
由闭区间上连续函数的局部性质知，若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有最大值与最小值，故A项正确；由一致连续性定理知，有界闭集上任意连续函数都是一致连续函数，故B项正确；由定积分存在定理可知，在[a,b]上连续的函数必可积，故C项正确。
4.B【解析】该线性方程组对应的增广矩阵a bAc dμν⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()2r A r A==，则该方程组有解，且基础解系的个数为()321n r A-=-=，则该非齐次线性方程组解的个数是1。
5.A 【解析】锯成64个边长为1的小正方体后，涂色的面有以下几种情况：涂3面的小正方体分别在大正方体的8个顶点处，共有8个；涂2面的小正方体分别是大正方体的每条棱的中间的2个，而大正方体共有12条棱，那么，涂2面的小正方体有2×12=24个；涂1面的小正方体分别是每个面的中间的4个，而大正方体共有6个面，那么，涂1面的小正方体有4×6=24个；6个面都没有涂色的小正方体有64-8-24-24=8个，则随机抽取一个小正方体，恰有两面为红色的概率是243648=。
6.B 【解析】二维平面内x 2-y 2=1与2x-y-2=0有两个交点，则在空间直角坐标系中双曲柱面x 2-y 2=1与平面2x-y-2=0的交为两条平行线。
7.D 【解析】几何作图的三大难题：①三等分任意角问题：将任一个给定的角三等分。
②立方倍积问题（也叫“倍立方问题”）：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。
③化圆为方问题：求作一正方形，使其面积和已知圆的面积相等。
可知D 项错误。
8.C 【解析】指出函数属于高中数学必修一的内容。
二、简答题9.若ad-bc ≠0，求a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭的逆矩阵。
【解析】令a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由题可知，该矩阵的行列式0a b A ad bc c d ==-≠，又*,d b A c a -⎛⎫= ⎪-⎝⎭则*11d b A A c a A ad bc --⎛⎫== ⎪--⎝⎭。
10.求二次曲面3x 2-2y 2+z 2=20过点(1,2,5)的切平面的法向量。
【解析】令F(x,y,z)=3x 2-2y 2+z 2-20，则()()(),,6,,,4,,,2x y z F x y z x F x y z y F x y z z ==-=，则在点(1,2,5)处，()()(),,6,,,8,,,10x y z F x y z F x y z F x y z ==-=，即二次曲面3x 2-2y 2+z 2=20过点(1,2,5)的切平面的法向量为n=(6,-8,10)。
11.设acosx+bsinx 是R 到R 的函数，V={acosx+bsinx|a,b ∈R}是函数集合，对f ∈V ，令Df(x)=()'f x ，即D 将一个函数变成它的导函数，证明D 是V 到V 上既单又满的映射。
【解析】先证满射：由题意，令()x V ϕ+∈，Df(x)=()()'f x x V ϕ=+∈()x V ϕ+∈，存在()x V ϕ+∈，使得()x ϕ+=()x ϕ+，故V 到V 是一个满射。
再证单射：要证D 是V 到V 上的单射，只需证对于任意的Df(x)，有且仅有一个f(x)与之对应。
显然，对任意Df(x 1)≠Df(x 2)，有f(x 1)≠f(x 2)，因此D 是V 到V 上的单射。
综上可知V 到V 是既是单射又是满射，即D 是V 到V 上既单又满的映射。
12.简述选择初中数学教学方法的依据。
【参考答案】教学方法是指在教学过程中师生双方为实现一定教学目的，完成一定教学任务而采取的教与学相互作用的活动方式的总称。
选择初学数学教学方法的依据：①课堂教学目标与教学任务；②教材的内容特点；③学生的实际情况；④教师自身条件；⑤教学方法的适用范围和使用条件；⑥教学时间和效率。
此外，还要考虑教学环境、教学设备等因素。
13.简述你对《义务教育数学课程标准》（2011年版）中“探索并证明三角形的中位线定理”这一目标的理解。
【参考答案】三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半。
三角形中位线定理不仅指出了三角形中位线与第三边的位置与数量关系，而且为证明线段之间的位置关系和数量关系（倍分关系）提供了新的思路，从而能够提高学生分析问题、解决问题的能力。
另外，定理的得出是平行四边形判定定理和性质定理的直接应用，它在图形证明和计算中有广泛的应用。
因此，对这一学习目标的理解是：学生应了解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理的证明，并在证明过程中体会归纳、类比、转化等数学思想方法；经历探索三角形中位线定理的过程，理解其与平行四边形的内在联系，感悟几何学的推理论证方法，体会证明的必要性和证明方法的多样性；经历推理、猜想、论证等过程培养推理论证能力。
三、解答题14.【解析】（1）因为f(x)是R 上的可导函数，且f(x)>0，则由复合函数的求导方法得()()()'ln 'f x f x f x =⎡⎤⎣⎦。
（2）()'f x -3x 2f(x)=0()()()()22''33f x f x x f x x f x ⇒=⇒=，两边分别对x 进行积分，得()()2'3f x dx x dx f x =⎰⎰，可得()3ln f x x c =+，又f(0)=1，则()ln 000f c c =+⇒=，故()3ln f x x =，f(x)=3x e 。
四、论述题15.【参考答案】教学活动应努力使全体学生达到课程目标的基本要求，同时要关注学生的个体差异，促进每个学生在原有基础上的发展。
①对于学习有困难的学生，教师要给予及时的关注与帮助，鼓励他们主动参与数学学习活动，并尝试用自己的方式解决问题、发表自己的看法；要及时地肯定他们的点滴进步，耐心地引导他们分析产生困难或错误的原因，并鼓励他们自己去改正，从而增强学习数学的兴趣和信心。