2020年九年级数学上期末试卷(带答案)一、选择题1．已知a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，则22019a b -+的值是( )A ．2023B ．2021C ．2020D ．20192．下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．如图，已知二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象如图所示，有下列5个结论abc 0>①；b a c ->②；4a 2b c 0++>③；3a c >-④；()a b m am b (m 1+>+≠⑤的实数).其中正确结论的有( )A ．①②③B ．②③⑤C ．②③④D ．③④⑤4．如图，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F .P 是⊙A 上一点，且∠EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是( )A ．4－9πB ．4－89π C ．8－49π D ．8－89π 5．某同学在解关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0时，只抄对了a ＝1，b ＝﹣8，解出其中一个根是x ＝﹣1．他核对时发现所抄的c 是原方程的c 的相反数，则原方程的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有一个根是x ＝1D ．不存在实数根6．若将抛物线y=x 2平移，得到新抛物线2(3)y x =+，则下列平移方法中，正确的是（ ） A ．向左平移3个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移3个单位 7．若抛物线y ＝kx 2﹣2x ﹣1与x 轴有两个不同的交点，则k 的取值范围为( )A ．k ＞﹣1B ．k ≥﹣1C ．k ＞﹣1且k ≠0D ．k ≥﹣1且k ≠08．若关于x 的一元二次方程()26230a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．79．“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（ ） A ．确定事件 B ．必然事件 C ．不可能事件 D ．不确定事件 10．方程x 2＝4x 的解是（ ） A ．x ＝0B ．x 1＝4，x 2＝0C ．x ＝4D ．x ＝211．一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（ ） A ．310B ．925C ．920D ．3512．如图，AB 为⊙O 的直径，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，点P 在BA 的延长线上，PD 与⊙O 相切，D 为切点，若∠BCD ＝125°，则∠ADP 的大小为（ ）A ．25°B ．40°C ．35°D ．30°二、填空题13．如图，已知射线BP BA ⊥，点O 从B 点出发，以每秒1个单位长度沿射线BA 向右运动；同时射线BP 绕点B 顺时针旋转一周，当射线BP 停止运动时，点O 随之停止运动.以O 为圆心，1个单位长度为半径画圆，若运动两秒后，射线BP 与O 恰好有且只有一个公共点，则射线BP 旋转的速度为每秒______度.14．已知二次函数，当x _______________时，随的增大而减小．15．四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ＝125°，则∠C 的度数为_____°．16．关于x 的一元二次方程（k-1）x 2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是_______．17．若实数a 、b 满足a+b 2=2，则a 2+5b 2的最小值为_____．18．某校组织“优质课大赛”活动，经过评比有两名男教师和两名女教师获得一等奖，学校将从这四名教师中随机挑选两位教师参加市教育局组织的决赛，挑选的两位教师恰好是一男一女的概率为____．19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+c （a≠0）的图象过正方形ABOC 的三个顶点A ，B ，C ，则ac 的值是________．20．如图，△ABC 绕点A 顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，则图中阴影部分的面积等于_____．三、解答题21．已知x ＝n 是关于x 的一元二次方程mx 2﹣4x ﹣5＝0的一个根，若mn 2﹣4n+m ＝6，求m 的值．22．某童装店购进一批20元/件的童装，由销售经验知，每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间存在如图的一次函数关系． （1）求y 与x 之间的函数关系；（2）当销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少？23．如图，在ABC 中，ACB 90∠=，AC BC =，D 是AB 边上一点(点D 与A ，B 不重合)，连结CD ，将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90得到线段CE ，连结DE 交BC 于点F ，连接BE ．1（）求证：ACD ≌BCE ；2（）当AD BF =时，求BEF ∠的度数．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，3），C（﹣4，1）．以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A'B'C'，其中点A，B，C旋转后的对应点分别为点A'，B'，C'．（1）画出△A'B'C'，并写出点A'，B'，C'的坐标；（2）求经过点B'，B，A三点的抛物线对应的函数解析式．25．如图，已知AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CD＝BD，E、F是线段AC、AB 的延长线上的点，并且EF与⊙O相切于点D．（1）求证：∠A＝2∠BDF；（2）若AC＝3，AB＝5，求CE的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】根据题意可知b=3-b 2，a+b=-1，ab =-3，所求式子化为a 2-b+2019=a 2-3+b 2+2019=（a+b ）2-2ab+2016即可求解. 【详解】a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，∴23b b =-，1a b +=-，-3ab =，∴222201932019a b a b -+=-++()2220161620162023a b ab =+-+=++=； 故选A ． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．2．C解析：C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A 、图形既不是轴对称图形是中心对称图形，B 、图形是轴对称图形，C 、图形是轴对称图形，也是中心对称轴图形，D 、图形是轴对称图形. 故选C ． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．B解析：B 【解析】 【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断即可． 【详解】①对称轴在y 轴的右侧，ab 0∴<，由图象可知：c 0>，abc 0∴<，故①不正确；②当x 1=-时，y a b c 0=-+<，b ac ∴->，故②正确；③由对称知，当x 2=时，函数值大于0，即y 4a 2b c 0=++>，故③正确；bx 12a=-=④， b 2a ∴=-， a b c 0-+<， a 2a c 0∴++<， 3a c <-，故④不正确；⑤当x 1=时，y 的值最大.此时，y a b c =++，而当x m =时，2y am bm c =++， 所以()2a b c am bm c m 1++>++≠，故2a b am bm +>+，即()a b m am b +>+，故⑤正确， 故②③⑤正确， 故选B ． 【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数2y ax bx c =++系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．4．B解析：B 【解析】试题解析：连接AD ，∵BC 是切线，点D 是切点， ∴AD ⊥BC ，∴∠EAF=2∠EPF=80°，∴S 扇形AEF =280?283609ππ=， S △ABC =12AD•BC=12×2×4=4， ∴S 阴影部分=S △ABC -S 扇形AEF =4-89π． 5．A解析：A【解析】 【分析】直接把已知数据代入进而得出c 的值，再解方程根据根的判别式分析即可． 【详解】∵x ＝﹣1为方程x 2﹣8x ﹣c ＝0的根， 1+8﹣c ＝0，解得c ＝9， ∴原方程为x 2－8x ＋9＝0，∵24b ac ∆=-＝（﹣8）2－4×9＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，根的情况由24b ac ∆=-来判别，当24b ac -＞0时，方程有两个不相等的实数根，当24b ac -＝0时，方程有两个相等的实数根，当24b ac -＜0时，方程没有实数根．6．A解析：A 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（-3，0），然后利用顶点的平移情况确定抛物线的平移情况． 【详解】解：抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（-3，0）， 因为点（0，0）向左平移3个单位长度后得到（-3，0）， 所以把抛物线y=x 2向左平移3个单位得到抛物线y=（x+3）2． 故选：A ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．7．C解析：C 【解析】 【分析】根据抛物线y ＝kx 2﹣2x ﹣1与x 轴有两个不同的交点，得出b 2﹣4ac ＞0，进而求出k 的取值范围． 【详解】∵二次函数y ＝kx 2﹣2x ﹣1的图象与x 轴有两个交点，∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0，∴k＞﹣1，∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数，∴k≠0，则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0，故选C.【点睛】本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，熟练掌握抛物线与x轴交点的个数与b2-4ac的关系是解题的关键.注意二次项系数不等于0.8．B解析：B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a-6≠0且△=（-2）2-4×（a-6）×3≥0，再求出两不等式的公共部分得到a≤193且a≠6，然后找出此范围内的最大整数即可．【详解】根据题意得a-6≠0且△=（-2）2-4×（a-6）×3≥0，解得a≤193且a≠6，所以整数a的最大值为5.故选B.【点睛】本题考查一元二次方程的定义和跟的判别式，一元二次方程的二次项系数不能为0；当一元二次方程有实数根时，△≥0.9．D解析：D【解析】试题分析：“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件，故选D．考点：随机事件．10．B解析：B【解析】【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】x2＝4x，x2﹣4x＝0，x（x﹣4）＝0，x﹣4＝0，x＝0，x1＝4，x2＝0，故选B．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．11．A解析：A【解析】【分析】列表或画树状图得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率：【详解】列表如下：∴63P2010==两次红，故选A.12．C解析：C【解析】【分析】连接AC，OD，根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB是直角，求出∠ACD的度数，根据圆周角定理求出∠AOD的度数，再利用切线的性质即可得到∠ADP的度数．【详解】连接AC，OD．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=125°﹣90°=35°，∴∠AOD=2∠ACD=70°．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠ADO=55°．∵PD与⊙O相切，∴OD⊥PD，∴∠ADP=90°﹣∠ADO=90°﹣55°=35°．故选：C．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理及推论，正确作出辅助线是解答本题的关键．二、填空题13．30或60【解析】【分析】射线与恰好有且只有一个公共点就是射线与相切分两种情况画出图形利用圆的切线的性质和30°角的直角三角形的性质求出旋转角然后根据旋转速度=旋转的度数÷时间即得答案【详解】解：如解析：30或60【解析】【分析】射线BP与O恰好有且只有一个公共点就是射线BP与O相切，分两种情况画出图形，利用圆的切线的性质和30°角的直角三角形的性质求出旋转角，然后根据旋转速度=旋转的度数÷时间即得答案.【详解】解：如图1，当射线BP与O在射线BA上方相切时，符合题意，设切点为C，连接OC，则OC⊥BP，于是，在直角△BOC中，∵BO=2，OC=1，∴∠OBC=30°，∴∠1=60°，此时射线BP旋转的速度为每秒60°÷2=30°；如图2，当射线BP与O在射线BA下方相切时，也符合题意，设切点为D，连接OD，则OD⊥BP，于是，在直角△BOD中，∵BO=2，OD=1，∴∠OBD=30°，∴∠MBP=120°，此时射线BP旋转的速度为每秒120°÷2=60°；故答案为：30或60.【点睛】本题考查了圆的切线的性质、30°角的直角三角形的性质和旋转的有关概念，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键.14．＜2（或x≤2）【解析】试题分析：对于开口向上的二次函数在对称轴的左边y随x的增大而减小在对称轴的右边y随x的增大而增大根据性质可得：当x＜2时y随x的增大而减小考点：二次函数的性质解析：＜2（或x≤2）．【解析】试题分析：对于开口向上的二次函数，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大.根据性质可得：当x＜2时，y随x的增大而减小.考点：二次函数的性质15．【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补的性质进行计算即可【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠A+∠C＝180°∵∠A＝125°∴∠C＝55°故答案为：55【点睛】本题考查了圆内接四边形的性解析：【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补的性质进行计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A +∠C ＝180°， ∵∠A ＝125°， ∴∠C ＝55°， 故答案为：55．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，理解圆内接四边形的对角互补的性质是解答本题的关键.16．k ＜2且k≠1【解析】试题解析：∵关于x 的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根∴k -1≠0且△=（-2）2-4（k-1）＞0解得：k ＜2且k≠1考点：1根的判别式；2一元二次解析：k ＜2且k≠1 【解析】试题解析：∵关于x 的一元二次方程（k-1）x 2-2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k-1≠0且△=（-2）2-4（k-1）＞0， 解得：k ＜2且k≠1．考点：1.根的判别式；2.一元二次方程的定义．17．4【解析】【分析】由a+b2=2得出b2=2-a 代入a2+5b2得出a2+5b2=a2+5（2-a ）=a2-5a+10再利用配方法化成a2+5b2=（a-即可求出其最小值【详解】∵a+b2=2∴b2 解析：4 【解析】 【分析】由a+b 2=2得出b 2=2-a ，代入a 2+5b 2得出a 2+5b 2=a 2+5（2-a ）=a 2-5a+10，再利用配方法化成a 2+5b 2=（a-2515)24+，即可求出其最小值． 【详解】 ∵a+b 2=2， ∴b 2=2-a ，a≤2，∴a 2+5b 2=a 2+5（2-a ）=a 2-5a+10=（a-2515)24+， 当a=2时，a 2+b 2可取得最小值为4． 故答案是：4． 【点睛】考查了二次函数的最值，解题关键是根据题意得出a 2+5b 2=（a-2515)24. 18．【解析】【分析】根据列表法求出所有可能及可得出挑选的两位教师恰好是一男一女的结果数而利用概率公式计算可得【详解】解：所有可能的结果如下表： 男1 男2 女1 女2 男1 （男1男2） （男1女1 解析：23【解析】 【分析】根据列表法求出所有可能及可得出挑选的两位教师恰好是一男一女的结果数而利用概率公式计算可得． 【详解】解：所有可能的结果如下表：的结果有8种，所以其概率为挑选的两位教师恰好是一男一女的概率为812=23， 故答案为23． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．－2【解析】【分析】设正方形的对角线OA 长为2m 根据正方形的性质则可得出BC 坐标代入二次函数y=ax2+c 中即可求出a 和c 从而求积【详解】设正方形的对角线OA 长为2m 则B （﹣mm ）C （mm ）A （02解析：－2． 【解析】 【分析】设正方形的对角线OA 长为2m ，根据正方形的性质则可得出B 、C 坐标，代入二次函数y=ax 2+c 中，即可求出a 和c ，从而求积．设正方形的对角线OA 长为2m ，则B （﹣m ，m ），C （m ，m ），A （0，2m ）； 把A ，C 的坐标代入解析式可得：c=2m ①，am 2+c=m ②， ①代入②得：am 2+2m=m ， 解得：a=-1m， 则ac=-1m⨯2m=-2． 考点：二次函数综合题．20．-1【解析】由题意得ABBC 于DBC 于EBC 交BC 于FAB=勾股定理得AE=AD=1DB=-1解析：2-1 【解析】由题意得， AB ⊥B’C’于D ，BC 'AC ⊥于E ,BC 交B’C’于F . AB =2,勾股定理得∴AE =AD=1，∴DB =2-122112122ABE DBFS S SAE BD =-=-=-阴影.三、解答题21．1 【解析】 【分析】把x=n 代入方程求出mn 2-4n 的值，代入已知等式求出m 的值即可． 【详解】依题意，得2450mn n --=． ∴245mn n -=． ∵246mn n m -+=， ∴56m +=．∴1m =． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（1）y ＝﹣10x+700；（2）销售单价为45元时，每天可获得最大利润，最大利润为6250元【分析】（1）由一次函数的图象可知过(30，400)和(40，300)，利用待定系数法可求得y 与x 的关系式；（2）利用x 可表示出p ，再利用二次函数的性质可求得p 的最大值． 【详解】（1）设一次函数解析式为y =kx +b (k ≠0)， 由图象可知一次函数的过(30，400)和(40，300)，代入解析式可得3040040300k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：10700k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 的函数关系式为y =﹣10x +700；（2）设利润为p 元，由（1）可知每天的销售量为y 千克，∴p =y (x ﹣20)=(﹣10x +700)(x ﹣20)=﹣10x 2+900x ﹣14000=﹣10(x ﹣45)2+6250． ∵﹣10＜0，∴p =﹣10(x ﹣45)2+6250是开口向下的抛物线， ∴当x =45时，p 有最大值，最大值为6250元，即销售单价为45元时，每天可获得最大利润，最大利润为6250元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，求得每天的销售量y 与x 的函数关系式是解答本题的关键，注意二次函数最值的求法．23．()1证明见解析；()2BEF 67.5∠=. 【解析】【分析】()1由题意可知：CD CE =，DCE 90∠=，由于ACB 90∠=，从而可得ACD BCE ∠∠=，根据SAS 即可证明ACD ≌BCE ；()2由ACD ≌()BCE SAS 可知：A CBE 45∠∠==，BE BF =，从而可求出BEF ∠的度数．【详解】()1由题意可知：CD CE =，DCE 90∠=，ACB 90∠=，ACD ACB DCB ∠∠∠∴=-， BCE DCE DCB ∠∠∠=-， ACD BCE ∠∠∴=， 在ACD 与BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ACD ∴≌()BCE SAS ；()2ACB 90∠=，AC BC =，A 45∠∴=，由()1可知：A CBE 45∠∠==，AD BF =， BE BF ∴=， BEF 67.5∠∴=.【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质． 24．（1）见解析；（2）抛物线的解析式为y ＝﹣12x 2+12x +3． 【解析】 【分析】（1）分别作出A ，B ，C 的对应点A ′，B ′，C ′即可．（2）设抛物线的解析式为y ＝a （x +2）（x ﹣3），把B （0，3）代入求出a 即可． 【详解】解：（1）如图△A 'B 'C '即为所求．A ′（0，2），B ′（3，0），C ′（1，4）（2）设抛物线的解析式为y ＝a （x +2）（x ﹣3）， 把B （0，3）代入得到a ＝﹣12， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣12x 2+12x +3． 【点睛】本题考查的知识点是求抛物线解析式以及图形的旋转变换，根据旋转的性质得出A ′，B ′，C ′的坐标是解此题的关键．25．（1）见解析：（2）CE＝1．【解析】【分析】（1）连接AD，如图，先证明CD BD=得到∠1＝∠2，再根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据切线的性质得到OD⊥EF，然后证明∠1＝∠4得到结论；（2）连接BC交OD于F，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据垂径定理，由CD BD=得到OD⊥BC，则CF＝BF，所以OF＝12AC＝32，从而得到DF＝1，然后证明四边形CEDF为矩形得CE＝1．【详解】（1）证明：连接AD，如图，∵CD＝BD，∴CD BD=，∴∠1＝∠2，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠1+∠ABD＝90°，∵EF为切线，∴OD⊥EF，∴∠3+∠4＝90°，∵OD＝OB，∴∠3＝∠OBD，∴∠1＝∠4，∴∠A＝2∠BDF；（2）解：连接BC交OD于F，如图，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵CD BD=，∴OD⊥BC，∴CF＝BF，∴OF＝12AC＝32，∴DF＝52﹣32＝1，∵∠ACB＝90°，OD⊥BC，OD⊥EF，∴四边形CEDF为矩形，∴CE＝DF＝1．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和勾股定理．。