初三数学复习——几何论证题中辅助线的添加方法
（一）辅助线的添加方法
正确熟练地掌握辅助线的作法和规律，也是迅速解题的关键，如何准确地作出需要的辅助线，简单介绍几种方法： 方法一：从已知出发作出辅助线：
例1．已知：在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，E 是AD 延长线与AC 的交点，求证：AF=FC 21
分析：题设中含有D 是BC 中点，E 是AD 中点，由此可以联想到三角形中与边中点有密 切联系的中位线，所以，可有如下2种辅助线作法：
（1）过D 点作DN ∥CA ，交BF 于N ，可得N 为BF 中点，由中位线定理得
DN=FC 21，再证△AEF ≌△DEN ，则有AF=DN ，进而有AF=FC 21
（2）过D 点作DM ∥BF ，交AC 于M ，可得FM=CM ，AF=FC 2
1
方法二：分析结论，作出辅助线
例2：如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径， 求证：AB ·AC=AE ·AD
分析：要证AB ·AC=AE ·AD ，需证AC
AE
AD AB =
（或
AC
AD
AE AB =），需证△ABE ∽△ADC （或△ABD ∽△AEC ）， 这就需要连结BE （或CE ），形成所需要的三角形，同时得
∠ABE=∠ADC=900(或∠ADB=∠ACE=900)又∠E=∠C （或∠B=∠E ） 因而得证。

方法三：“两头凑”（即同时分析已知和结论）作出辅助线
例3：过△ABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E ； 求证：AE ∶ED=2AF ∶FB
分析：已知D 是BC 中点，那么在 三角形中可过中点作平行线得中位线；
若要出现结论中的AE ∶ED ，则应有一条与EF 平行的直线。

所以，过D 点作DM ∥EF 交AB 于M ，可得
FM
AF
FM AF ED AE 22=
=，再证BF=2FM 即可。

方法四：找出辅助线的一般规律，助。

例如：在“圆”部分就有许多规律性辅助线： （1）有弦，作“垂直于弦的直径”
例4：已知，如图，在以O 弦
AB 交小圆于C 、D 两点，求证：AC=BD
分析：过O 点作OE ⊥AB 于E ，则 AE=BE ，CE=DE ，即可证得AC=BD
（2）有直径，构成直径上的圆周角（直角） 例5：已知：如图，以△ABC 的AC 边为直径，
作⊙O 交BC 、BA 于D 、E 两点，且⋂
⋂=DE CD ， 求证：∠B=∠C
分析：连结AD ，由于AC 为直径，则有AD ⊥BC ，又
⋂
⋂=DE CD ，有∠1=∠2，由内角和定理得∠B=∠C
（3）见切线，连半径，证垂直
例6：如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ，求证：AC 平分∠DAB 分析：连结OC ，由于CD 为切线，可知 OC ⊥CD ，易证：∠1=∠2，又因为∠2=∠3， 所以∠1=∠3，则可得AC 平分∠DAB
（4）证切线时，“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径” 例7：已知，直线AB 经过⊙O 上的一点，并且OA=OB ，CA=CB ； 求证：直线AB 是⊙O 的切线
分析：连结OC ，要证AB 是⊙O 的切线， 需证OC ⊥AB ，由已知可证△OAC ≌△OBC ， 可得∠OCA=∠OCB=900，结论得证。

例8：已知，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=900，BC 是⊙O 的直
径，BC=CD+AB ， 求证：AD 是⊙O 的切线
分析：过O 点作OE ⊥AD ，垂足为E ，
要证AD 是⊙O 的切线，只要证OE 是⊙O 的半径即可，
也就是说需要证OE=BC 2
1
，由于∠A=900，AB ∥CD ，可得AB ∥CD ∥OE ，再由平行
线等分线段定理得DE=EA ，进而由梯形中位线定理得OE=BC CD AB 21
)(21=+，
所以E 点在⊙O 上，AD 是⊙O 的切线。

（二）练习
1、已知： 如图，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ． 求证： DE ∥BC ，DE ＝2
1
BC ．
2、已知： 如图27.3.12所示，在梯形ABCD 中，
AD ∥BC ，AE ＝BE ，DF ＝CF ． 求证： EF ∥BC ，EF ＝2
1
（AD ＋BC ）．
E
D
A
C
B
3、已知：如图27.3.13所示,在△ABC中.AD=DB,BE=EC,AF=FC. 求证：AE、DF互相平分。

4、如图：已知：AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，M为
AC上一点，AM的延长
线交DC的延长线于F，
求证：∠AMD=∠FMC
5、如图：正方形ABCD中，E、F分别AB、BC的中点，AF和DE交于点P
求证：CP=CD
P
F
E
C A
B。