2008年浙江大学高等代数试题解答
1。

解：由题意可知1123212233131231,1,1δλλλδλλλλλλδλλλ=++=-=++=== 从而知()()()2123121231g g g λλλδδδ++=-++=
()()()()()()2212233121312312122324231
g g g g g g λλλλλλδδδδδδδδδδ++=-+-+-+++=-()()()22123311223313212213g g g λλλδδδδδδδδδδδ=++++--++=-
故()323p x x x x =--+
2。

证明：由分析知()()21112221n n n n f x nx nx nx x ---'=+=+。

如果()f x 有重数大于2的非零根，在()f x '有重数大于1的非零根，根据()f x '的表达式可知
()f x '没有非零重根，从而()f x 没有重数大于2的非零根 3。

解：由于()111n
n
k
j
k k k j n
D x x
x =≤<≤=-∏∏，又可知
()()12
1
11111
121111*********
1
1211111
1n n
i i i i i n n n n k j k i i i i i k k j n
n n i i i i i n n
n
n
n n
n
n n
x x x x y
x x x x y y x x x x x x x y x x x x y x x x x y -------=≤<≤-+++++--=--∏∏ 从而知()()()
()1
11
1
111n
n i n i i i i i
j
k k j n
D y
x
x y δ+-----≤<≤-=--∏即()1n
i i
j
k k j n
D x
x δ≤<≤=-∏，从而
知
()111n
n
n i i j k i i k j n D x x δ==≤<≤⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑∏ 4。

解；由于11T T A E XY Y X α=+=+=+从而
()1当1α≠时，A 可逆
()2由于当1α=时()()()
1
11n T T
E E XY E XY λλλλ--+=--=-，从而A 的特征
多项式为()
1
1n λλ--故()1rank A n =-，又
()()()1T T rank A E rank X Y rank YX -===
从而()()rank A rank A E n =-=，从而2A A =，故A 的最小多项式()m λ能整除
()1λλ-，从而()m λ无重根，从而A 可对角化
5。

证明：若1n =时，11A a =显然满足。

若2n =时，由于2
112212A a a a =-，由于A 为正定矩阵，从而0A >，即2112212a a a >，从而1122A a a ≤等号成立时，
12210a a ==，即A 为对角矩阵时候成立显然为充要条件
若小于n 时成立，且等号成立时候充要条件A 为对角矩阵。

令11
nn A b A b
a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，则11A 为1n -阶正定矩阵，从而1
11A -存在且也为正定矩阵。

又
1
111111111111000101T T T nn nn A b A E
E A b b a a b A b b A ---⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦从而1111100T nn A a b A b -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦为正定矩阵，且有()1
1111T nn A A a b A b -=-，根据A 正定和111
A -正定可知：11nn A A a ≤，当等号成立时候0b =，由归纳假设可知11111,1n n A a a --≤，等号
成立时候充要条件11A 为对角矩阵，从而可知1122nn A a a a ≤等号成立充要条件
为A 为对角矩阵。

6.证明：由分析考虑A 的Jordan 块，则存在实可逆矩阵J ，有
()
()
()1210000000
0s J J J AJ J -⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦ ()
1()()(
)
121110001100
1s J J A E J AJ J J J --+=+=
=
()2若AB BA =则1111J AJJ BJ J BJJ AJ ----=，从而
12
1
00000
s B B J BJ B -⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦，其中12
1
2
1000i i i i
it
i i b b b B b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
则有()121121
110
1i i i t i i i i it
i i b b b J B b B b b b ++=
==+
从而可知()1
1
1
1
0s
s
i i i i i A B J AJ J BJ J B B B --==+=+=+==∏∏
7。

证明：当0λ≠时，由
0000A A I I A I AB I
A I I BA I
B I B I B I I I λλλλλλ⎡
⎤⎡
⎤⎡⎤
---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣
⎦
即BA I AB I I BA λλλλ⎛
⎫-=-=- ⎪
⎝⎭，先让()1n BA AB A B -=-=-，从而对任何λ均有I AB I BA λλ-=-，即AB 和BA 有相同的特征多项式。

8。

证明：由于A 为幂零矩阵，从而，则存在实可逆矩阵J ，有
()
()
()
121
0000000
0s J J J AJ J -⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎣⎦()()()111
211100
000
0r r r r s J J J A J J ++-++⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦，又由于()rank A r =则可知()()()11
1120000r r r s J J J +++====即就有
110r J A J -+=，即10r A +=
9：解；()()3
11111
11311
1
1
11I A λ
λ
λλλλ
λ
-----=
=-+----
从而A 的特征值为()13重和3-，解()0I A X -=可得基础解系为
[]11001T ε=-[]21010T ε=[]31100T
ε=
正交化后得[]11001T
η=-2110122T η⎡⎤=⎢⎥⎣⎦31
111333T
η⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
解()30I A X --=可得基础解系为[]41111T
η=--标准化后可得
10022T
α=-⎣
⎦20
63
6T
α=⎣⎦
36
2
6
6T α=-⎣⎦411112
222T
α⎡⎤
=--⎢⎥⎣⎦
从而可知存在正交矩阵矩阵1266210
022*******P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
使100
0010000100
003T
P AP ⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥
-⎣⎦ 十：证明：任取一组标准正交基1,,n αα，令线性变换,στ在此标准正交基下
的矩阵分别为,A B ，则,A B 均为对称矩阵，对于A 可有，存在正交矩阵1Q 有
{
}
1111,
,m T s m s Q AQ diag I I λλ=，由于AB BA =则有
11111111T T T T Q AQ Q BQ Q BQ Q AQ =，则{}111,,T m Q BQ diag B B =由于B 为对称矩阵，
从而对于任何()1,k k k m B ≤≤均为对称矩阵，则对于k B ，可知存在正交矩阵k P 有{
}
11,,T k k k k ks P B P diag λλ=
令{}21,
,m Q diag P P =，从而2Q 为正交矩阵且若取12Q Q Q =则可知
{}11,
,m T s m s Q AQ diag I I λλ=，{
}
11111,
,,
,,
,m T s m ms Q AQ diag λλλλ=
取[][]11,,,,n n Q ηηαα=，则可知1,
,n ηη也是一组标准正交基，则两线性变
换,στ在此标准正交基下的矩阵为对角矩阵。