y fX
f aX
f aX b
x
第一步，计算aX的密度函数。aX的值域比X的值域大a倍。所 以，aX的密度函数是将X的密度函数在x轴方向拉长a倍。但为 了使aX的密度函数与x轴围成的面积为1，必须将X的密度函数 下拉到原来的1/a. 随机变量aX+b与aX一样,只是将图形平移了b个单位。 最后，得到随机变量Y=aX+b的密度函数为：
1 180
30 y 2
6 y2
例设随机变量X的密度函数为
f X (x)
求 Y eX 的密度函数. （教材P65）
1
x2
e2
2
解 y ex 是单调增加的函数，其导函数恒不为零，
值域为y>0， 反函数为 x ln y , dx 1
dy y
由定理可得，当 y 0 时，概率密度为
fY ( y)
f X (ln
y) 1 y

1
ln 2 y
e2

1

2
y
1
ln 2 y
e2
2 y
当 y 0 时，Y的概率密度 fY ( y) 0
从而 Y e X 的概率密度为
fY ( y)
1
ln2 y
e 2,
2 y
0,
y0 y0

P(180 y

X)
180 1 FX ( y )
1,若y 180/ 30

1
(180 y

30) /
30,若 180 60

y

180 30
0,若y 180/ 60
0,若y 3
即：FY ( y)

2
6 y
, 若3

y

6
1,若y 6

1 2
1 2 0
0
y1 2 2
1


4
其它
0
1 y5 其它
例4.5 (指数随机变量的线性函数)随机变量X服从参数为λ的指数
分布，密度函数为：
e x , x 0
fX (x)
0,
, 0
x0
定义Y=aX+b,则
fY
( y)

|
1 a
|
fX
求导得：fY ( y)

dFY dy
( y)

d( y2 ) dy

2 y,0
y
1
当 y 0 时, FY ( y) 0; 当 y 1 时, FY ( y) 1
故：fY
(
y)

2 y,0 0, 其他
y

1
例4.2 某人驾车从甲地到乙地，两地相距180公里，速度值服从 [30,60](单位:公里/小时)区间内的均匀分布。求这段旅程所费时 间的密度函数。
解 当y>0时，FY ( y) P(Y y) P( X 2 y)
P( y X y ) FX ( y ) FX ( y )
应用复合函数求导法：fY ( y)
1 2y
fX (
1
y) 2
y f X (
y)
4.2 线性函数
用X的密度函数表示线性函数aX+b的密度函数：
(
y a
b)



yb
ea
| a |
0,其 他
,
y a
b

0
注：b=0,a>0,Y仍是指数分布，但一般情况Y不是指数分布。
4.3 单调函数
设 X ~ f X (x), y=g(x)是x的单调可导函数,其反函数为x=h(y)， 则在 { y | fY ( y) 0} 内， Y=g(X)的密度函数为：
fY
( y)

|
1 a
|
fX
(
y
a
b)
随机变量X的线性函数的分布密度函数
假设X是连续变量，密度函数为 f X , a,b R且a 0
Y aX b
则
1 yb fY ( y) | a | fX ( a )
定义：
证明：(只证a>0的情形)
FY ( y) P(Y y) P(aX b y) P(X y b) a
(2)对 FY
求导，得到Y的密度函数：fY ( y)
dFY dy
( y)
例4.1设X服从[0,1]上的均匀分布，令Y X , 求Y的密度函数.
分析：1均匀分布的密度函数与分布函数
2、X的密度函数： 3、X的分布函数：
解：FY ( y) P( g( X ) y) P( X y) P( X y 2 ) y 2
对上式求导，得Y的密度函数为：
fY
( y)

0,若y 3


6 y2
, 若3

y

6
本题计算步骤：
0,若y 6
X的密度函数— X的分布函数— Y的分布函数— Y的密度函数
例4.3 已知X 密度函数 fX ( x), x 求随机变量 Y X 2
的密度函数(教材P64)

FX
(
y
a
b)
用复合函数求导法得：fY ( y)
dFY dy
( y)
1 a
yb fX( a )
例4.4 设X 服从[0,2]上的均匀分布,密度函数
fX
(
x)

1 2
0 x2
求Y=2X+1的密度函数.(P63）
0 其 它
解:
Y的密度函数为
1 yb fY ( y) | a | fX ( a )
fY ( y) f X [h( y)]. | h' ( y) |
证：
例4.2 在区间[30,60]内，h(y)=180/y,所以
fY (h( y))
1, 30
| h( y) | 180 , y2
所以当 y [3,6] 时，运用公式得到：
fY (h( y))
f X (h( y)) | h( y) |
第四节 随机变量函数的分 布密度
已知连续型随机变量X的密度函数 f X ( x) 随机变量 Y = g( X ) ，求随机变量 Y 的密度函数。
4.1 分布函数法
连续随机变量X的函数Y=g(X)的分布密度函数
(1)使用如下公式计算Y的分布函数 FY :
FY ( y) P( g( X ) y) { x|g( x) y} f X ( x)dx
解：设X是速度,Y=g(X)是这段旅程所花费的时间，则
Y

180 X
X的密度函数
fX
(x)

1

30
, 若30

x

60
0, 其 他
0,若x 30
分布函数为：FX
(x)Biblioteka x 30 30
, 若30

x

60
1,若x 60
Y的分布函数：FY
(
y)

P(180 X

y)