边缘数据点去计算参数空间P-Q中的参考点的轨迹，
从而将不连续的边缘像素点连接起来，或将边缘像素
点连接起来组成封闭边界的区域，从而实现对图像中
直线段、圆和椭圆的检测。
7.2.4
Hough变换
1. Hough变换的基本原理
设在图像空间中，所有过点(x,y)的直线都满足方程：
y = px q
若将其改写成： q = px y 这时，p和q可以看作是变量，而x和y是参数，上式就 可表示参数空间P-Q中过点(p,q)的一条直线。 一般地，对于过同一条直线的点(xi,yi)和(xj,yj)，有 图像空间方程：yi = pxi q
反之，参数空间P-Q中的一点和图像空间X-Y中的一条
直线相对应。
7.2.4
Hough变换
1. Hough变换的基本原理
Y
Q
(x ·,y )
i i
q = pxi yi
( ·x , y )
j j
· (p,q)
q = px j y j
X P
图7.4
图像空间直线与参数空间点的对偶性
7.2.4
（7.27）
f ( x, y） g ( x, y ) = 0
f ( x, y ) T f ( x, y ) T
（7.28）
7.3.1
基于阈值的分割方法
2.半阈值化分割方法
（7.23）
Y (x,y)
θ max
θ
┆

О
·

0 … Θ min X ρ
…
┆
┆ 0
ρ max ρ
图7.6
直线的极坐标表示
图7.7
将平面细分成网格阵列
7.3 基于阈值的图像分割
基于阈值的图像分割适用于那些物体（前景） 与背景在灰度上有较大差异的图像分割问题。
7.3.1 基于阈值的分割方法
基于阈值的图像分割方法是提取物体与背景在灰 度上的差异，把图像分为具有不同灰度级的目标区域 和背景区域的一种图像分割技术。
（7.14）
以上是以(i+1,j)为中心，用i替换i+1可得以(i,j)为中心 的二阶偏导数公式：
7.2.3
也即有： 同理有：
二阶微分边缘检测
2 f = f (i 1, j ) 2 f (i, j ) f (i 1, j ) 2 x 2 f = f (i, j 1) 2 f (i, j ) f (i, j 1) 2 y
突变的象素的集合。
7.2 基于边缘检测的图像分割
7.2.1 图像边缘
◆图像边缘有两个特征：方向和幅度 沿边缘走向，像素值变化比较平缓； 沿垂直于边缘的走向，像素值则变化比较剧烈。 ◆一般常用一阶和二阶导数来描述和检测边缘。
7.2 基于边缘检测的图像分割
7.2.1 图像边缘
图像
剖面
一阶导数
二阶导数
7.1 图像分割的概念
7.2 基于边缘检测的图像分割
基于边缘检测的图像分割方法的基本思路是先 确定图像中的边缘像素，然后就可把它们连接在一 起构成所需的边界。
7.2 基于边缘检测的图像分割
7.2.1 图像边缘
◆图像边缘意味着图像中一个区域的终结和另一 个区域的开始，图像中相邻区域之间的像素集合构成 了图像的边缘。 ◆进一步讲，图像的边缘是指图像灰度发生空间
（7.26）
7.3.1
基于阈值的分割方法
2.半阈值化分割方法
图像经阈值化分割后不是表示成二值和多值图像，而 是是将比阈值大的亮像素的灰度级保持不变，而将比阈值 小的暗像素变为黑色；或将比阈值小的暗像素的灰度级保 持不变，而将比阈值大的亮像素变为白色。
f ( x, y ) g ( x, y ) = 0 f ( x, y ) T f ( x, y ) T
7.2.4
Hough变换
1. Hough变换的基本原理
Y
θ
A A
· ·
B
B
C C X P
·
（b）一条直线上的多个点与相交于一点的正弦曲线簇相对应
7.2.4
Hough变换
2. Hough变换的应用
x = x cos y sin = x y sin( arctab ) y
2 2
上升阶跃边缘 （a）
下降阶跃边缘 （b）
脉冲状边缘 （c）
屋顶边缘 （d）
图7.1
图像边缘及其导数曲线规律示例
7.2 基于边缘检测的图像分割
7.2.1 图像边缘
综上所述，图像中的边缘可以通过对它们求导数 来确定，而导数可利用微分算子来计算。对于数字图 像来说，通常是利用差分来近似微分。
7.2 基于边缘检测的图像分割
1 1 1
1 8 1
1 1 1
7.2.3
二阶微分边缘检测
图7.3
Laplacian二阶边缘检测算子的边缘检测示例
7.2.4
Hough变换
Hogh（哈夫）变换的基本思想是将图像空间X-
Y变换到参数空间P-Q，利用图像空间X-Y与参数空
间P-Q的点－线对偶性，通过利用图像空间X-Y中的
7.2.2
梯度边缘检测
(1) Roberts算子 是一个交叉算子，其在点(i,j)的梯度幅值表示为：
G(i, j ) = f (i, j ) f (i 1, j 1) f (i 1, j ) f (i, j 1)
（7.6） （7.7）
用卷积模板可表示为 ：
G (i, j ) = Gx G y
其中，Gx和Gy分别为 ：
1 Gx = 0 0 1
0 Gy = 1
1 0
（7.8）
7.2.2
梯度边缘检测
(2) Sobel算子 Sobel算子在点(i,j)的梯度幅值表示为：
2 2 S (i , j ) = s x s y
（7.9） （7.10）
简化的卷积模板表示形式为 ： S (i, j ) = s x s y
其中，sx和sy分别x方向和y方向梯度的模版形式 ：
（7.12）
7.2.3
二阶微分边缘检测
拉普拉斯二阶导数算子 ：
2 f 2 f f = 2 2 x y
2
（7.13）
二阶差分的偏导数近似式为 ：
2 f Gx ( f (i 1, j ) f (i, j )) = = 2 x x x f (i 1, j ) f (i, j ) = x x = f (i 2, j ) 2 f (i 1, j ) f (i, j )
（7.24）
f ( x, y ) T f ( x, y ) T
（7.25）
7.3.1
基于阈值的分割方法
1. 阈值化分割方法
例7.3.1 利用阈值化方法提取物体的轮廓。
（a）细胞图像 图7.9
（b）提取的边界轮廓图
用阈值化方法提取细胞边界轮廓
7.3..15） （7.16）
所以有： 2 f 2 f = f (i 1, j ) f (i, j 1) 4 f (i, j ) f (i 1, j ) f (i, j 1) 2 2
x y
对应的集中模板为：
0 1 0 1 4 1 0 1 0
7.3.1
基于阈值的分割方法
1. 阈值化分割方法
图7.3.1 基于单一阈 值分割的灰度直方图
T
利用阈值T分割后的图像可定义为：
从暗的背景上分 g ( x, y ) = 1 割出亮的物体： 0 从亮的背景上分 1 g ( x, y ) = 割出暗的物体： 0
f ( x, y ) T f ( x, y ) T
1 s x = 2 1 1 2 1
其中，sx和sy分别x方向和y方向梯度的模版形式 ：
0 0 0
1 s y = 0 1 2 0 2 1 0 1
（7.11）
7.2.2
梯度边缘检测
(3) Prewitt算子 Prewitt算子在点(i,j)的梯度幅值表示为：
q 参数空间方程： = pxi yi
（7.17） （7.18）
y j = px j q
（7.19,20）
q = px j y j （7.21,22）
7.2.4
Hough变换
1. Hough变换的基本原理 由此可见，图像空间X-Y中的一条直线(因为两点
可以决定一条直线)和参数空间P-Q中的一点相对应；
当在较暗的背景上有2个较亮的物体，且有如下的直 方图和约定时： （1） f ( x, y ) T1
（2）
（3）
T1 f ( x, y) T2
T2 f ( x, y)
可用两个阈值进行分割，更一般的多个阈值的情况为：
k g ( x, y ) = 1 0 Tk 1 f ( x, y ) Tk f ( x, y ) T1 Tk f ( x, y )
Hough变换
1. Hough变换的基本原理 把上述结论推广到更一般的情况：
如果图像空间X-Y中的直线上有n个点，那么这些
点对应参数空间P-Q上的一个由n条直线组成的直线簇，
且所有这些直线相交于同一点。
7.2.4
Hough变换
1. Hough变换的基本原理
Y
.B · A
.
Q C C
B
A
·
X
P
（a） 一条直线上的多个点与相交于一点的直线簇相对应
7.1 图像分割的概念
◆目标或前景
◆背景 ◆目标一般对应于图像中特定的、具有独特性质的
区域。