二次根式一、二次根式的两个非负性.1）、被开方数非负的应用：【a ≥0】例1：已知：y=32-x +x 23-+2.则x y = .例2：已知：b=b a a 3462+-+ba a 3426+-则a 2-ab+b 2= . 例3：设a.b.c 均为不小于3的实数.则2-a +1+b +11--c 的最小值是 .针对性训练：1、代数式x +1-x +2-x 的最小值为 .2、求：4+a +a 29-+a 31-+2a -的值为 .2）、结果非负【a ≥0】的应用例1：已知：4+x +（2x+y ）2=0则x-y 的值为 .针对性训练习：1、已知：2-m +x 2+y 2+4x-6y+13=0则（x+y ）m 的值为 .2、①.110-x +1有最小值时x= ，这个最小值为= .②.42+x +1有最小值时x= ，这个最小值为=③.9-24x -的最大值为 ，最小值为 .3）、综合应用.8例1：已知：2001-a +a -2000=2003-a 求：a例题：已知：3x +5y =7其中（x>0）求m=2x -3y 的取值范围.针对性练习：1、已知：实数a 满足a -2004+2005-a =a 则a-20042的值为 .4）、一个非负数转化为另一个非负数的平方的应用【2)(a a =】 例1: 填空：y-21-y =( )2例2：已知：2（x +1-y +2-z ）=x+y+z.求x.y.z 的值.例3：已知a+b 2+11--c =42-a +2b-3 求：a+2b-21c 的值.针对性练习 1、a,b,c 是实数，若14261412--++++=++c b a c b a ，求()()()b a c a c b c b a +++++的值2、如果()9214+++=-+-+z y x z y x ，那么x+y+z 的值是多少二、2a =a 的应用 拓展为b a 2= a b 反过来a b =b a 2时要注意a 符号例1：设x<0.y<0.在x x y -y 13xy -y x 3化简= .例2：若3-x +()21-x =2则x 的取值范围是 . 例3：已知：-32<x<21则化简()223+x -2441x x +-+x 5= .1、若ab<0.则代数式b a 2应当化简为 .2、a a1-化为最简二次根式是 . 3、根式a a 1--b 13b -化简得 . 4、若21-<x<1将()()22412--+x x 化简得.=5、若数轴上表示a 的点在原点左边，则化简：22a a +的结果是 .6、412001200019991998+⨯⨯⨯的值等于.= 例1：当0<x<2时.2242++x x +2242-+x x = . 例2：162007200520032001+⨯⨯⨯= .针对性练习：11991199019891988+⨯⨯⨯-19892= 三、实数的比较大小1）、平方法 例1：设a=10.b=7+1.c=3+2比较a 、b 、c 的大小针对性练习：设a=3+7，.b=4+6，82+=c ，52=d ，比较a 、b 、c 、d 的大小为通过对上述问题的解决，你能得到怎样的规律？你能证明你的结论吗？2）、倒数法例题：已知：a=101-100.b=99-98比较a 、b 的大小.1、已知79,57,35,13-=-=-=-=d c b a比较a 、b 、c 、d 的大小为通过对例题和习题的解决，你认为具有怎样特点的二次根式，在比较大小时，适合用倒数法，比较的结果用怎样的规律？应用你总结的规律快速解决下面的问题问题：设a ＞1,a a q a a p 200612006,200612006--=-+=,120062006+-=a a r ,120062006--=a a s ,则p ，q ，r ，s 中值最小的一个是3）、化分子或分母相同比较另一个 例题：已知：a +bc 1<b +ac 1<c +ab 1比较a 、b 、c 的大小4）、化同底或同指比较大小例题：比较233 522 611的大小.5）、根据数轴的位置比较大小例题：已知：b<0 0<a <b <c 且cab 2=c b ac ，比较a 、b 、c 的大小6）、做差比较法例题：已知:a 、b 、c 均为正数且a ≠b 若x=a+b+c 、 y=ab +bc +ac ，比较x 、y 的大小已知：a 、b 、c 为正数且a ≠b 若x=a 1+b 1+c 1 y=ab1+bc 1+ca 1 则x 与y 的大小关系是 .7）、作商比较法 例题：比较21++a a 与32++a a 的大小四、二次根式的运算：1）、巧用乘法公式例1：计算：()532++()532-+()532+-()532++-例2：若a=5323++, b=2+106- 求ba 的值2）、巧用因式分解例1：计算：()2532-+－()2532+-例2：计算：()200215+-2()200115+-4()200015++2002例3：化简： ①y x yx +-= ②y x yxy x 244+++=③3514156++ = ④()b ab b b a 22---= 例4：化简：2115141075++++ .63121823346+++++针对性练习：1、计算：15106353+--+ .2115141032++++2、满足等式xy +x y-x 2003-y 2003+xy 2003=2003的正整数对(x 、y)的个数有多少个3）、巧用合并同类二次根式例题：已知：pq ≠0且p 与q 均为整数 .若2p +2q 2-32=0成立，求：满足条件的所有p.q 的值.针对性练习:已知整数x.y 满足x +2y =50.那么整数对（x.y ）的个数是 . A ：0 B ：1 C ：2 D ：34）、巧用无理数特点例题：已知a.b 是有理数且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2331a+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12341b-241-12093=0求a 、b 的值.针对性练习：1. 设a 是一个无理数且a.b 满足ab+a-b=1则b= .2. 设x.y 都是有理数.且满足方程⎪⎭⎫⎝⎛+321πx+⎪⎭⎫ ⎝⎛+231πy-4-π=0，求x-y 的值5）、巧用a c a b a c b +=+例题：化简 ()()233623346++++针对性练习：1、①()()353252-++ ②()()755337++-2、当n 为奇数时化简：)3212()1212(3212212)37)(75(3725)53)(31(5321+++++-++++-+++++++++++n n n n n n n Λ6）、有关把无理数分成整数部分与小数部分的计算例1：写出13的整数部分是 .小数部分是 .写出2+6的小数部分 .3-5的小数部分 . 写出2253+的小数部分 写出2347-的小数部分 写出的538-小数部分例2：已知：9+13与9-13的小数部分分别是a 和b.求ab-3a+4b+8的值.例3：设a,b 分别表示731-的整数部分与小数部分.求a 2+(1+7)ab 的值.例4、若设43239-的整数部分为a ，小数部分为b ，求b a b a -+++41111的值例5、求与212171-最接近的整数例6、m 是n 的小数部分，且2224m n +=，求m 、n7）、有关重二次根式的化简与计算例题：化简下列各式.1）若a≥0、b≥0化简：b a ab ++2.=2）若a≤0、b≤0化简：b a ab --2=3） 223223-++=4）15216157--- =5）223810++=6）、1112005200720082009+++⨯=7）、356356++-.5232-++y y8）、已知521041+-=x ，521042++=x ，求21x x +的值8）、.23246623+-- .223410623-+-五、二次根式的条件求值.（即代数式求值）1）、直接代入法例题：已知：x=2-3 求()()3323472++++x x 的值.2）、先化简所求再代入求值例题：已知：a 是4-3的小数部分，求代入式⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-+a a a a a a a a a 42442222的值为针对性练习：1. 当a=215+ . b=215-时，代数式22222b a b ab a -+-的值2. 已知x=1+3，求2141212---++x x x .3. 若a=121- . b=121+求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b b a ab 的值4. 已知：a=321+ .求a a a a a a -+--+-2221211的值3）、先化简已知再代入求值例题1：已知：x=1313+- .y=1313-+ 求x 4+y 4的值.例题2：设a>0,b>0 ,()()b a bb a a 53+=+求abb a ab b a +-++32的值.针对性练习： 1、已知：x=2323+- .y=2323-+那么2211yx +的值为 . 2、已知实数a 满足a+332a a +=0那么=++-11a a . 3、已知：=+--22x y xy 0且x 2-4x+4=0，求xy 的值4、正数m.n 满足m+34424=+--n n m mn ，求2002282++-+n m n m 的值5、nn n n x ++-+=11，nn n n y -+++=11，n 为自然数，如果19932197222=++y xy x 成立，求n 的值4）、整体代入包括：对称式整体代入.完全平方根式整体代入，构造已知整体代入. 例1：已知：a>1，且a 2+1412=a 求aa 1-的值例2：设a<b<0，a 2+b 2=4ab,求ba ba -+的值例3：已知：a+b=19911992+,a-b=19911992-求ab 的值例4：已知：a-b=2+3 b-c=2-3求a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac 的值. 例5：x=()111321+.y=()111321-求:x 2-xy+y 2的值.例6、已知：,,32,3222y x x y y x ≠=+=+求yxx y +的值针对性练习 1、已知：a=321+, b=321-求下列各式的值.（1）.1111+++b a = （2）.a 2-ab+b 2 = （3）.a 2b+ab 2= 2、已知：a+41=a .(0<a<1)则aa 1-= . 3、已知：x+y=2537-,x-y=3527-, 则xy= 4、已知：a-b=12,ab=1,b>0则a+b=5、已知：21=+xx ，求191322++-++x x xx x x的值5）、平方法例1：已知：aa x 1-=，求xx x x x x 424222+-++++(用a 的代数式表示)例2：已知：x=-22432y xy x -+(y<0)，求yx的值例3：已知：4152522=+--x x ，求221525x x ++-的值.例4、若28181221-+=a ，求142+++a a a 的值6）、放缩法例题1：已知x+y=-4,xy=1求xyy x +的值例题：求代数式638638-++的值7）、余式（或降次）法例题：当x=273+时.4x 4-10x 3-12x 2+27x-4的值是 . 针对性练习 1、设x=2533-则（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)= . 2、若x=3-1那么1242322-+--x x xx = .3、已知：x=121+那么145254323+++x x x 的值为 . 4、已知211121=+x ,求多项式（2x 5+2x 4-53x 3-57x+54）2003的值 5、已知：220021+=x ，则()=--20023200220054x x （ ） A 、0 B 、1 C 、4 D 、41 8）、制造有理化因式法例题：已知：14-++a a =5求a 26-的值.9）、勾股构造法例1：求代数式()912422+-++x x 的最小值例2：已知：a.b 均为正数且a+b=2求U=1422+++b a 的最小值.10）、规律探索法例题：化简：1009999100143341322312121++++++++Λ例题：......+计算：=++++++++201120101431321211K11）、换元法例题：化简5225232-+---++y y y y奥数训练之二次根式检测题1、设20002001-=x ，19992000-=y ，则x,y 的大小关系是（ ）A 、x ＞yB 、x=yC 、x ＜yD 、无法确定 2、当219941+=x 时，多项式20013)199419974(--x x 的值是（ ） A 、1 B 、—1 C 、20012 D 、20012-3、化简ba ab b a ---2的值是（ ）A 、b a -B 、b a ---C 、b a -+-D 、a b ---4、当m 在可以取值范围内取不同的值时，代数式22427m m +-的最小值是（ ）A 、0B 、5C 、33D 、9 5、满足等式y x 2322-=的整数解有A 、一组B 、两组C 、三组D 、四组 6、设正整数a,m,n 满足n m a -=-242，则这样的a,m,n 的取值( )A 、有一组B 、有两组C 、多于两组D 、不存在 7、已知a=28181221-+，则142+++a a a 的值等于（ ） A 、22 B 、2 C 、22 D 、42 8、设15+=m ,则m+m1的整数部分为 9、计算：2200212004200320022001-+⨯⨯⨯= 10、若12--x x 和44--y y 互为相反数，则yx的值为11、已知215+=x ，那么531xx x ++= 12、化简：23246623+--=13、设实数x,y,z 满足()3454-+-+-=++z y x z y x ，求x,y,z 的值14、已知0＜x ＜1＜y ＜2,求442144422222+--+-++-+-+y y x x y x xy y x 的值15、设1111,1111-++--+=--+-++=k k k k y k k k k x ，k 为自然数，且3x 2+34xy+3y 2=1000求k 的值16、设a 为5353--+的小数部分，b 为336336--+的小数部分。