2(1 +ν )
9
习题 9－11 图
τ
ε 45D
σ2 = 0
习题 9－11 解图
σ1
D
45
D
45
σ3
解：空心轴表面各力为纯剪应力状态，易求得
σ 45D = τ ， σ135D = −τ
应用广义胡克定律：
ε 45D
= σ 45D E
−ν
σ 135D E
= 1+ν τ E
利用 G = E 2(1 +ν )
100 2
+
4τ
2 xy
< 160
解得 | τ xy | <152MPa
（2）
习题 9-5 图
由（1）、（2）知，显然不存在。
2．当 r＜OC
1 2
(240
−140) 2
+
4τ
2 xy
>
240 +140 2
即 | τ xy | ＜183.3MPa 时
⎪⎧σ ⎨
1
=
240 +140 2
+
1 2
⎪⎩σ 3 = 0
FQ
习题 9－10 图
解：第一点：
σx
=−M W
= − 6×10 ×103 60 ×1002 ×109
= −100MPa
τ xy = σ y = 0
σ 1 = σ 2 = 0，σ3 = −100MPa；
τ max = 50MPa
第二点：
σx =σy =0，
τ xy
=
3FQ 2A
=
3×120 ×10−3 2 × 60 ×100 ×10−6
∴ σ 1 = 45 MPa， σ 2 = 0， σ 3 = −45 MPa
σ r3 = 90 MPa
σ r4 =
1 2
(45 2
+ 452
+ 90 2 )
=
77.9
MPa（ σ r4
=
3τ xy = 77.9 MPa）
9－10 已知矩形截面梁的某个截面上的剪力 FQ=120kN，弯矩 M＝10kN·m，截面尺寸 如图所示。试求 1、2、3、4 点的主应力与最大剪应力。
垂直于木纹方向的正应力：
σθ = −(−1.25)sin(2× (−15°)) = −0.625 MPa
15 D
x
1.25MPa -15D σ τ x' y' x'
x'
(b-1)
9－2 层合板构件中微元受力如图所示，各层板之间用胶粘接，接缝方向如图中所示。 若已知胶层剪应力不得超过 1MPa。试分析是否满足这一要求。
= 45.63 MPa
σy
=
pD 2δ
=
5× (300 − 8) 2×8
= 91.25 MPa
σθ
=
45.63 + 91.25 2
+
45.63 − 91.25 cos(2 × 20°) 2
= 50.97 MPa
τθ
=
45.63 − 91.25 sin(2× 20°) 2
=
−14.66 MPa
3. 图 a、图 b 叠加： σ x = 45.63 − 34.07 = 11.56 MPa
τθ
=
−4 − (−1.6) sin(2× (−15°)) + 0 ⋅ cos(2× (−15°)) 2
=
0.6 MPa
垂直于木纹方向的正应力：
σθ
=
−4 + (−1.6) 2
+
−4 − (−1.6) cos(2× (−15°)) + 0 = 2
−3.84 MPa
（b）题
平行于木纹方向的切应力：
τθ = −1.25cos(2× (−15°)) = −1.08 MPa
解：
习题 9－2 图
τ x'y'
30D 2MPa
0.5MPa
σ x'
-60D
x'
(a)
τθ
=
−2 − (−1) sin(2× (−60°)) + 0.5⋅ cos(2× (−60°)) 2
=
−1.55 MPa
|τθ |= 1.55 MPa > 1 MPa，不满足。
2
9－3 从构件中取出的微元受力如图所示，其中 AC 为自由表面（无外力作用）。试求 σ x
6
力准则和形状改变比能准则分别计算此几种情形下的计算应力。
1． σ x = 40MPa， σ y = 40 MPa， τ xy = 60 MPa； 2． σ x = 60MPa， σ y = −80 MPa， τ xy = −40 MPa； 3． σ x = −40 MPa， σ y = 50 MPa， τ xy = 0；
= 30MPa
σ1
=
1 2
4×302 = 30MPa
σ 2 = 0，
σ3
=
−
1 2
4 × 302 = −30MPa
τ max
=
σ1
−σ3 2
= 30MPa
8
σx 1
τ xy 2
第三点：
3
σx
=
Mz Iy
=
12
×10 ×10−3 60 ×1003
× 25×10 ×10−12
−3
= 50MPa
τ xy
σ x = 20MPa， σ y = -25MPa， σ z = 30MPa， τ xy = 0， [σ ] = 30MPa。 解：
1． σ r3 = σ 1 − σ 3 = 135MPa < [σ ] 强度满足。 2． σ r1 = σ 1 = 30MPa = [σ ] 强度满足。
9－9 对于图示平面应力状态，各应力分量的可能组合有以下几种情形，试按最大剪应
=
FQ S y bI y
= 120 ×10−3 × 60 × 25× (12.5 + 25) ×10−9 60 × 60 ×1003 ×10−15
= 22.5MPa
12
τ xy σx
σ1
=
50 2
+
1 2
502 + 4× 22.52 = 58.6MPa
σ 2 = 0，
σ3
=
50 2
−
1 2
502 + 4× 22.52 = −8.6MPa
σ r4 =
1 (1002 + 202 +1202 ) = 111.4 MPa 2
2． σ = σ x + σ y ± 2
σ (
x
+σ 2
y
)2
+τ
2 xy
= −10 ±
702 + 402
σ 1 = 70.6 MPa， σ 2 = 0， σ 3 = −90.6 MPa
σ r3 = σ 1 −σ 3 = 161.2 MPa
σx
(a)
(b)
σx
= FP πDδ
=
250 ×10 3 π× (300 − 8)
×
8
=
34.07
MPa（压）
σθ
=
−34.07 2
+
−34.07 cos(2× 20°) 2
=
−30.09 MPa
τθ
=
−34.07 sin(2× 20°) 2
= −10.95 MPa
2. 图 b：
σx
=
pD 4δ
= 5× (300 − 8) 4×8
5
习题 9－7 图
解：
σm
=
3.5× (254× 2 + 4× 7.6
7.6)
=
59.36
MPa
σt
=
3.5× (254× 2 + 2× 7.6
7.6)
= 118.72
MPa
εt
=
2π(r
+ Δr) − 2πr 2πr
=
Δr r
Δr
=
εt
⋅r
=
1 E
[σ t
−νσm ]
=
1 75 ×103
(118.72
= 0.94
(σ x + 92 +14) −14 + (−14) − (σ x + 92 +14) −14 (−0.342) = 92
2
2
解得 σ x = 37.97 MPa
3
τ yx
=
(−14) − (37.97 + 92 +14) × 0.94 = −74.25 MPa 2
9－5 对于图示的应力状态，若要求其中的最大剪应力 τ max ＜160MPa，试求 τ xy 取何值。
习题 9－9 图
4． σ x = 0， σ y = 0， τ xy = 45 MPa。
解：
1．
σ = σ x +σ y 2
±
σ (
x
−σ 2
y
)2
+τ
2 xy
= 40 ± 60
σ 1 = 100 MPa， σ 2 = 0， σ 3 = −20 MPa
σ r3 = σ 1 −σ 3 = 120 MPa
1．只承受轴向载荷 FP = 250 kN； 2．只承受内压 p = 5.0MPa（两端封闭） *3．同时承受轴向载荷 FP = 250kN 和内压 p = 5.0MPa（两端封闭）
4
x x'
20D σ x σ x'
x'