典型例题一
例 求证：如果关于x 的方程922+=+m x x 没有实数根，那么，关于y 的方程0522=+-+m my y 一定有两个不相等的实数根.
分析：由已知，可根据一元二次方程的根的判别式证之.
证明 设方程922+=+m x x 即0922=--+m x x 的根的判别式为1∆，方程
0522=+-+m my y 的根的判别式为2∆，则
.
36)4( 208)25(4.
440)9(42222221-+=-+=--=∆+=++=∆m m m m m m m
∵方程922+=+m x x 无实数根，
01<∆∴，即0404<+m ，解得：.10-<m
当10-<m 时，.64-<+m
36)4(2>+∴m ，即036)4(2>-+m .
故方程0522=+-+m my y 有两个不相等的实数根.
说明：上述证明中，判定02>∆用到了01<∆所得的结论，即10-<m ，这种条件和结论的相互转化在解综合性的题目中常常遇到.
典型例题二
例 不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况.
（1）0)1(422=-+-k kx x ；
（2）)0(02≠=+a bx ax
； （3）)0(02≠=+a c ax .
分析：运用根的判别式判定根的情况时，要首先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后从求出的判别式的值来判定根的判别式的符号，尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“∆”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“∆”的符号，从而判定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论.这是不解方程判别根的情况的关键.
解：（1）),1(4,2,1-=-==k c k b a
)1(414)2(422-⋅⋅--=-=∆∴k k ac b
)2(4)44(416
16422
2≥-=+-=+-=k k k k k ∴方程有两个实数根.
（2）0≠a ，
∴方程02=+bx ax 是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项，将常数项看作零.
∴2204b a b =⋅-=∆.
∴不论b 取任何实数，2b 均为非负数，
02≥=∆b 恒成立.
∴方程有两个实数根.
（3）0≠a ，
∴方程02=+c ax 是缺少一次项的不完全的一元二次方程，它的一次项系数0=b . ac a 40402-=⋅-=∆，
∴需要讨论a 、c 的符号，才能确定∆的符号.
当0=c 时，0=∆，方程有两个相等的实数根；
当a 、c 异号时，0>∆，方程有两个不相等的实数根；
当a 、c 同号时，0<∆，方程没有实数根.
说明：运用一元二次方程的根的判别式时，必须先把方程化为一般形式，正确地确定各项系数，当方程系数有字母时，要注意对字母取值情况的讨论.。