专项-离散型随机变量及其分布列
知识点
1．随机变量的有关概念
(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质
(1)概念：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：
此表称为离散型随机变量P (
X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列．
(2)分布列的性质：① p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；① 11
=∑=n
i i
p
3．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布
若随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称X 服从两点分布，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率． (2)超几何分布
在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －
k
N －M
C n N
，k ＝0,1,2，…，m ，
其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ①N *.
如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．
题型一离散型随机变量的理解
【例1】下列随机变量中，不是离散型随机变量的是( ) A ．某个路口一天中经过的车辆数X
B ．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度X
C ．某超市一天中来购物的顾客数X
D ．小马登录QQ 找小胡聊天，设X ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1，小胡在线
0，小胡不在线
【例2】写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和X ；
(2)某汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y 表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数．
【例3】袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示事件“放回5个红球”的是( ) A ．ξ＝4 B ．ξ＝5 C ．ξ＝6
D ．ξ≤5
【例4】袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，在有放回取出的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是 ( ) A ．5 B ．9 C ．10 D ．25
【过关练习】
1.指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． ①掷一枚质地均匀的硬币5次，出现正面向上的次数； ②掷一枚质地均匀的骰子，向上一面出现的点数； ③某个人的属相随年龄的变化； ④在标准状态下，水结冰的温度．
2.某人射击的命中率为p (0<p <1)，他向一目标射击，若第一次射中目标，则停止射击，射击次数的取值是( ) A ．1,2,3，…，n B ．1,2,3，…，n ，… C ．0,1,2，…，n
D ．0,1,2，…，n ，…
3.同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为________．
4.一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种．
5．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ， (1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；
(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．
题型二 离散型随机变量分布列的求法及性质
【例1】某一随机变量ξ的概率分布列如表，且m ＋2n ＝1.2，则m －n
2
的值为( )
A.－0.2 C ．0.1
D ．－0.1
【例2】已知离散型随机变量X 的分布列如下：
则P (X ＝10)A.239 B.2310 C.13
9 D.110
9 【例3】已知随机变量X 只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围为________．
【过关练习】
1.随机变量ξ的分布列如下：
则ξ为奇数的概率为
2.若离散型随机变量X 的分布列为：
则常数c 的值为( ) A.23或13 B.23 C.13
D ．1
3.由于电脑故障，随机变量X 的分布列中部分数据丢失，以
代替，其表如下： 0.
5
0.1
根据该表可知
题型三 两种特殊分布的应用
【例1】某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X 表示4人中的团员人数，则P (X ＝3)＝( ) A.421 B.921 C.621 D.521
【例2】一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．从中任意摸出两个球，用“X ＝0”表示两个球全是白球，用“X ＝1”表示两个球不全是白球，求X 的分布列．
【过关练习】
1.从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，随机变量ξ的概率分布列如下：
则x 1，x 2，x 3的值分别为________．
2.在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率；
(2)该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列．
课后练习
【补救练习】
1．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1,2,3,4,5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X ，则X 所有可能值的个数是( ) A ．6 B ．7 C ．10
D ．25
2.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________．
3.在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X 的分布列．
【巩固练习】
1.设实数x ∈R ，记随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1，x ∈(0，＋∞)，0，x ＝0，－1，x ∈(－∞，0).则不等式1x
≥1的解集所对应的ξ的值为( )
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．1或0
2.若P (ξ≤n )＝1－a ，P (ξ≥m )＝1－b ，其中m ＜n ，则P (m ≤ξ≤n )等于( ) A ．(1－a )(1－b ) B ．1－a (1－b ) C ．1－(a ＋b )
D ．1－b (1－a )
3.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的
村庄数，下列概率中等于C 47C 68
C 1015
的是( )
A ．P (X ＝2)
B ．P (X ≤2)
C ．P (X ＝4)
D ．P (X ≤4)
4.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分ξ的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab ，
则这名运动员投中3分的概率是________5.在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场． (1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和； (2)若胜场次数为X ，求X 的分布列．
【拔高练习】
1.随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝n )＝a
n (n ＋1)，n ＝1,2,3,4，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<ξ<52的值为( ) A.2
3 B.3
4 C.45
D.56
2.小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1 000元，3 000元，6 000元的奖品(不重复设奖)，每个问题回答正确与否相互之间没有影响，用X 表示小王所获奖品的价值，写出X 的所有可能取值及每个值所表示的随机试验的结果．。